Замечательные точки в треугольнике
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему
Методическая разработка темы по геометрии в 8 классе, конспекты уроков + презентация к каждому уроку.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 59 КБ |
![]() | 1.34 МБ |
![]() | 124 КБ |
![]() | 39.03 КБ |
![]() | 2.12 МБ |
Предварительный просмотр:
Урок по геометрии в 8 классе
разработан
Лисицыной Татьяной Петровной,
учителем математики МБОУ СОШ №22,
п. Пересыпь, Темрюкский район, Краснодарский край
Урок 56 Г-8
Тема: Свойство биссектрисы угла
Цели:
1. Рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие.
2. Учить применять данные теоремы и следствие при решении задач.
3. Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.
4. Продолжать развивать познавательную активность, умение формулировать свои выводы и доказывать их.
5. Воспитывать уверенность в себе, познавательный интерес.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, чертёжные инструменты.
Ход урока
I. Организационный момент. Объявление темы и постановка целей урока.
II. Проверка домашнего задания.
1. № 669 - решение на доске.
2. Решить устно:
1) Докажите, что SАОС = SВОС.
III. Мотивация изучения материала (Слайд 3).
Геометрия - удивительная наука. Её история насчитывает не одно тысячелетие. Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Удивительно, но треугольник, несмотря на свою простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. (Слайд 4).
Для того, чтобы начать изучение нового материала, нам придётся опереться на уже изученный материал. Какие линии в треугольнике вам известны? К числу линий, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:
• высоты треугольника;
• медианы треугольника;
• биссектрисы треугольника;
• серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.
Повторение определений основных линий в треугольнике путём фронтальной беседы.
IV. Изучение нового материала.
1. Работа с чертёжными инструментами на доске (4 ученика):
построение биссектрисы, медианы, высоты, серединного перпендикуляра в треугольнике.
2. Работа с бумагой (работа по рядам)
Каждый ряд получает задание (используя треугольный лист бумаги): построить сгибанием точку пересечения биссектрис.
Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
I ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в остроугольном треугольнике.
II ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в тупоугольном треугольнике. III ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в прямоугольном треугольнике.
Вывод: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.
3. Доказательство теоремы. (Слайд 5)
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно:
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. (Слайд 6)
4. Доказательство следствия из теоремы. (Слайд 7)
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
V. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 676 (б). (Слайд 8)
Дано: стороны угла А, равного 90°, касаются окружности с центром О и радиусом r, ОА = 14 дм.
Найдите: r.
Решение: 1) ( так как касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.)
2). АО – биссектриса угла А (так как точка О равноудалена от сторон угла).
3). ∆АОР – прямоугольный. По теореме Пифагора ОР² +АР² =АО².
r ² + r ² = 14², 2r ² = 14², r = .
Ответ: .
Дополнительно: № 678 (а).
Дано: ∆АВС, АА1 и ВВ1 биссектрисы углов А и В .
Найти:
Решение: 1) СМ – биссектриса угла С, так как биссектрисы углов в треугольнике пересекаются в одной точке.
2) ∆АМВ,
3)
Ответ: 46°.
VI. Итоги урока. Рефлексия.
V. Домашнее задание: вопросы 15, 16, с. 187; №№ 676 (а), 678 (б).
Г-8 №56 МБОУ СОШ №22 Лисицына Т.П. Страница
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: Рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие. Учить применять данные теоремы и следствие при решении задач.
Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.
C каждым треугольником связаны четыре точки: • точка пересечения медиан; • точка пересечения биссектрис; • точка пересечения серединных перпендикуляров; • точка пересечения высот. Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника. Почему они «Замечательные»? Это нам и предстоит узнать.
Свойство биссектрисы Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. ?
Предварительный просмотр:
Урок геометрии в 8 классе
разработан
Лисицыной Татьяной Петровной,
учителем математики МБОУ СОШ №22,
п. Пересыпь, Темрюкский район, Краснодарский край
Урок 58 Г-8
Тема: Теорема о пересечении высот треугольника.
Цели: 1) Рассмотреть теорему о точке пересечения высот и следствие из неё;
2) Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.
3) Воспитывать ответственное отношение к обучению, умение оценивать свой труд, а также аккуратность, точность и внимательность при работе с чертёжными инструментами.
Оборудование: ПК, проектор, презентация, бумага, чертёжные инструменты.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Объявление темы. Постановка целей урока вместе с учащимися.
III. Проверка домашнего задания.
1. Сформулировать и доказать теоремы о свойстве биссектрисы и серединном перепендикуляре – 2 учащихся у доски.
2. Фронтальная работа с классом.
Решить устно: (Слайд )
а)
1. Найти: РВKС, РАВС. | |
Решение: 1) ΔABK: DK-серед. перпендикуляр⇒BK=AK=5. 2) ΔBCK-египетский⇒CK=3. 3) CP=KD=3⇒DA=BD=4. 4) РВKС=3+4+5=12, РАВС=4+8+8=20 Ответ: 12, 20. | |
FK, FN серединные перпендикуляры. АВ = 16 СF = 10 Найти расстояние от точки F до стороны АВ. | |
Решение: 1. FK, FN серединные перпендикуляры⇒MC также серединный перпендикуляр, ⇒AM=BM=8 2. FC=10⇒FB=AF=10. 3. ΔMFA: FA=10, АM=8⇒MF=6. Ответ: 6. |
IV. Мотивация изучения новой темы (Слайд )
« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Г.Галилей
– Сегодня мы продолжим изучение темы «Замечательные точки треугольника» и познакомимся с теоремой о точке пересечения высот в треугольнике.
V. Изучение нового материала.
1. Вспомните определение высоты в треугольнике. (Слайд 8)
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
2. Практическая работа с применением техники оригами.
а) С помощью сгибов постройте высоты в остроугольном треугольнике.
1. Проведите ВК ⊥ АС 2. Проведите AN ⊥ ВС. 3. Проведите CM ⊥ AB. | |
Все высоты пересеклись в одной точке О. | |
Вывод: В остроугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка расположена в плоскости треугольника. |
б) С помощью сгибов постройте высоты в тупоугольном треугольнике.
1. Проведите ВК ⊥ АС, основание высоты лежит на продолжении АC. 2. Проведите AN ⊥ ВС, основание высоты лежит на продолжении ВC.
3. Проведите CM ⊥ AB. | O N C K
A M B
|
Продолжения высот тупоугольного треугольника пересеклись в одной точке О. | |
Вывод: В тупоугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка расположена вне плоскости треугольника. |
в) С помощью сгибов постройте высоты в прямоугольном треугольнике:
1. Проведите CК ⊥ АB. 2. Проведите AC ⊥ ВС, основание высоты лежит на продолжении ВC.
3. Проведите BC ⊥ AC. |
O, С A |
Высоты прямоугольного треугольника пересеклись в одной точке О. | |
Вывод: В прямоугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка лежит в плоскости треугольника и совпадает с вершиной прямого угла треугольника. |
3. Теорема о пересечении высот треугольника.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
О | Дано: ΔABC, AA1⊥BC, BB1⊥AC, CC1⊥AB. Доказать: O= AA1∩ BB1 ∩ CC1. |
Доказательство: 1. Проведём: С2B2║BC, A2C2║AC, A2B2║AB так, что B Є A2C2, C Є A2B2, A Є B2C2. Получим Δ A2 B2 C2. 2. AB= A2C, AB= С2B2 точки A, B и C– середины сторон Δ A2 B2 C2, т.е. прямые АА1, BB1, CC1-серединные перпендикуляры к сторонам Δ A2 B2 C2⇒ O= AA1∩ BB1 ∩ CC1. |
VI. Закрепление изученного материала.
VII. Итоги урока.
Рефлексия.
Карта рефлексии и самооценки ученика на уроке
1. Работа в классе: (поставить «+» или « - »)
- отвечал на вопросы учителя
- дополнял ответы других учеников
- работал самостоятельно в тетради
- рецензировал ответы других
- выполнял задания
- другое ( что?)
- участвовал в обсуждении проблемы
- доказывал свою точку зрения
- другое ( что?)
2. Для меня не было подходящего задания
3. За урок я бы себе поставил оценку………….
VIII. Домашнее задание: вопросы 1– 20, с. 187–188; №№ 688, 720.
Предварительный просмотр:
Урок по геометрии в 8 классе
разработан
Лисицыной Татьяной Петровной,
учителем математики МБОУ СОШ №22,
п. Пересыпь, Темрюкский район, Краснодарский край
Урок 57 Г-8
Тема: Теорема о серединном перпендикуляре.
Цели:
1) Ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку;
2) Рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре и следствие из него;
3) Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.
4) Воспитывать умение оценивать свой труд
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, листы бумаги.
Ход урока
I. Организационный момент. Объявление темы и постановка целей урока.
II. Проверка домашнего задания.
1. № 778 (а) вынести решение на доску.
2. Решить устно: (Слайды 3-6)
треугольник; 2) BM-биссектриса ⇒ EM=MK=3 Ответ: 3 |
=14∙5∙0,5=35 Ответ: 35 |
III. Мотивация изучения новой темы (Слайд 7)
1. Геометрия - удивительная наука. Её история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.
Сегодня мы продолжим изучение темы «Замечательные точки треугольника» и познакомимся с серединным перпендикуляром к отрезку.
IV. Изучение нового материала.
1. Определение серединного перпендикуляра. (Слайд 8)
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.
2. Практическая работа с применением техники оригами.
а) С помощью сгибов постройте серединные перпендикуляры в остроугольном треугольнике.
1. Наметьте середину BС и проведите через нее прямую, перпендикулярную BС - серединный перпендикуляр. 2. Точно так же проведите остальные серединные перпендикуляры в треугольнике | |
Сравните серединные перпендикуляры с помощью наложения. | |
Вывод: В остроугольном треугольнике все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке. Эта точка равноудалена от вершин треугольника, точка расположена в плоскости треугольника. |
б) С помощью сгибов постройте серединные перпендикуляры в прямоугольном треугольнике.
1. Наметьте середину АB и проведите через нее прямую, перпендикулярную АB - серединный перпендикуляр. 2. Точно так же проведите остальные серединные перпендикуляры в треугольнике | C А |
Сравните серединные перпендикуляры с помощью наложения. ( получили ВО = ОС = АО). | |
Вывод: в прямоугольном треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, эта точка равноудалена от вершин треугольника и эта точка совпадает с серединой гипотенузы. |
в) С помощью сгибов постройте серединные перпендикуляры в тупоугольном треугольнике.
1. Наметьте середину АC и проведите через нее прямую, перпендикулярную АО - серединный перпендикуляр. 2. Точно так же проведите остальные серединные перпендикуляры в треугольнике | |
Сравните отрезки АО, ОС и ВО с помощью сгибов наложением. | |
Вывод: в тупоугольном треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, эта точка равноудалена от вершин треугольника и расположена вне плоскости треугольника. | |
Вывод: в любом треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от вершин треугольника. |
3. Доказать теорему о свойстве серединного перпендикуляра.(Слайд 9).
Дано: М - произвольная точка а,
а- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Доказать:
МА=МВ
Доказательство:
- Если М∈ АВ, то М совпадает с точкой О ⇒ МА=МВ.
2) Если М ∉ АВ, то Δ АМО= Δ ВМО по двум катетам (АО=ВО, МО- общий катет) ⇒ МА=МВ.
4. Доказать обратную теорему.(Слайд 10).
Дано:
NА=NВ, прямая m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Доказать: N – лежит на прямой m.
Доказательство:
1)Пусть N ∈ АВ, тогда N совпадает с O, и N лежит на прямой m.
2) Пусть N∉ АВ, тогда: Δ АNВ – равнобедренный (AN=BN) ⇒ NO медиана ⇒ высота Δ АNВ ⇒ NO ⊥AB.
3) Через точку О к прямой АВ можно провести только один серединный перпендикуляр ⇒ NO и m совпадают ⇒ N ∈ а.
5. Доказать следствие из этой теоремы. (Слайд 11).
Дано:
m⊥AC, n⊥BC, AM=MC, CN=NB.
Доказать: O= m∩n ∩p.
Доказательство:
- Предположим: m║n, тогда: AC⊥m и AC⊥n, что невозможно.
2) По доказанному:
OC=OA и OC=OB ⇒ OA=OB, ⇒ т.O∈ p ⇒
O= m∩n ∩p.
V. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 679 (б).– самостоятельно с проверкой решения и ответа.
Дано: ΔABC, DM-серединный перпендикуляр, BD=11,4, AD=3,2.
Найти: AC.
Решение:
- АС=AD+DС;
- Δ CDB: DM- серединный перпендикуляр ⇒ DC=BD=11,4см
- АС=AD+DС=11,4+3,2=14,6см.
Ответ: АС=14,6см.
2. Решить № 680.– на доске.
Дано: ΔABC, FD⊥AC, PD⊥AB;
CF=FA, AP=PB.
Доказать: D-середина BC.
Доказательство:
- PD⊥AB, AP=PB⇒ BD=AD по свойству серед. перп.
2) FD⊥AC, CF=FA ⇒ CD=DA по свойству серед. перп.
3) AD=BD, CD=DA ⇒BD=CD, значит В-середина ВС.
3. Решить № 682.– дополнительно.
Дано: Δ ABC, AC=CB;
Δ ADB, AD=DB
Доказать: CD ⊥AB, AK=KB.
Доказательство:
Пусть l-серединный перпендикуляр, AC=CB,
С∈ l, l⊥AB, AD=DB ⇒ D∈ l₁, где l₁⊥AB.
Следовательно: C и D лежат на одном серединном перпендикуляре
к AB и l и l₁ совпадают т.к. AK=KB⇒ CD⊥AB, K= CD∩AB и
AK=KB
VI. Итоги урока.
1. Самооценивание (Слайд 16)
- Устные задачи-
- Работа у доски –
- Работа на месте –
Итого: ____
(сложите получившиеся баллы и разделите на 3)
2. Выставление оценок.
VII. Домашнее задание: вопросы 17–19, с. 187–188; №№ 679 (а), 681, 686 (решена в учебном пособии).
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Урок геометрии в 8 классе Тема: Теорема о серединном перпендикуляре Цели: ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку; рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре и следствие из него; Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.
Устно: 1. Найти: MK B 5 4 C A E M K Ответ: 3 ?
B 5 4 C A E M K Δ BME: ME=3- египетский треугольник ; 2) BM- биссектриса EM=MK= 3 Ответ: 3
Устно: 2 . Найти: S АВ M . Ответ: 35 ? B А 5 M C 14 D
B А 5 M C 14 D Ответ: 35 А M- биссектриса т. M Є AM , CM=MD S АВ M =AB∙MD∙0,5= =14∙5∙0,5=35
Геометрия - удивительная наука. Её история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.
Серединный перпендикуляр Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему аАВ и АО=ВО ( О=аАВ ) A a B O
Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Дано: М - произвольная точка а, а - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Доказать: МА=МВ Доказательство: Если М АВ, то М совпадает с точкой О МА=МВ. 2) Если М АВ, то АМО= ВМО по двум катетам (АО=ВО, МО- общий катет) МА=МВ. А М B O a
Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов этого отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. А N m B O Дано: N А= N В, прямая m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Доказать: N – лежит на прямой m . Доказательство: 1)Пусть N АВ, тогда N совпадает с O , и N лежит на прямой m . 2) Пусть N АВ, тогда: А N В – равнобедренный ( AN = BN ) NO медиана высота А N В NO AB . 3) Через точку О к прямой АВ можно провести только один серединный перпендикуляр NO и m совпадают N а.
Следствие: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. n m А В С p О М N P Дано : m AC, n BC, AM=MC, CN=NB. Доказать: O = m n p . Доказательство: 1) Предположим : m║n , тогда: AC m и AC n , что невозможно. 2) По доказанному: OC = OA и OC = OB OA=OB, т .O p O= m n p.
№679 б Дано: Δ ABC, DM - серединный перпендикуляр , BD=11,4, AD=3,2. Найти : AC. Решение: АС= AD + D С ; Δ CDB: DM- серединный перпендикуляр DC = BD=11,4 см АС= AD + D С=11,4+3,2=14,6см. Ответ: АС= 14,6см. 3,2 D 11,4 С А B M ?
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
№ 680 а F C D B P A Дано: Δ ABC , FD AC, PD AB; CF=FA, AP=PB. Доказать: D -середина BC. Доказательство: PD AB, AP=PB BD=AD по свойству серед . перп . 2) FD AC, CF=FA CD=DA по свойству серед . перп . 3) AD=BD, CD=DA BD=CD, значит В-середина ВС. ?
№682 C B A K D Дано: Δ ABC, AC=CB; Δ ADB, AD=DB Доказать: CD AB, AK=KB. Доказательство: Пусть l- серед . перпенд ., AC=CB , С l, l AB, AD=DB D l₁, где l₁ AB. Следовательно: C и D лежат на одном серед . перпенд . к AB и l и l₁ совпадают т.к. AK=KB CD AB, K= CD AB и AK=KB
Оцените свою деятельность по пятибалльной шкале: Устные задачи- Работа у доски – Работа на месте – Итого: ____ (сложите получившиеся баллы и разделите на 3) Самооценивание
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9 классы. – М:, Просвещение, 2008г. 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. «Изучение геометрии в 7-9 классе». Методические рекомендации. М:, Просвещение, 2007г. 3. Зив Б.Г., Мейлер В.М. «Дидактические материалы по геометрии. 8 кл ». М:, Просвещение, 2007г. Использованная литература
Для создания шаблона использовались источники: http://www.myjulia.ru/data/cache/2009/07/17/152778_2266-0x600.jpg http://files.botevcheta.webnode.com/200000016-45175461c2/1stationery15-med.jpg http://www.mathknowledge.com/images/custom/LOGO.GIF http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://lake.k12.fl.us/cms/cwp/view.asp?A=3&Q=427619 http://www.533school.ru/nach.htm Автор шаблона: Ермолаева Ирина Алексеевна учитель информатики и математики МОУ «Павловская сош» с.Павловск Алтайский край
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/11/14/picture-143537-1352911509.jpg)
презентация по теме "4 замечательные точки треугольника"
в презентции рассмотрены основные свойства высот, биссектис, высот и серединных перпендикуляров...
![](/sites/default/files/pictures/2012/11/12/picture-142761-1352737733.jpg)
Презентация и конспект урока "Четыре замечательные точки треугольника" (Геометрия, 8 класс)
Здесь помещены презентации и конспекты уроков, созданные мной с целью повышения качества обученности учащихся....
![](/sites/default/files/pictures/2018/02/19/picture-253399-1519070192.jpg)
Урок по геометрии в 8 классе по теме “Замечательные точки треугольника”
Конспект урока по геометрии в 8 классе.Цель урока: ”Дать наглядное представление о свойствах медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров треугольника и с...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/04/picture-334055-1383581420.jpg)
Задачи по теме: "Четыре замечательные точки треугольника"
Разные задачи по теме: "Четыре замечательные точки треугольника"...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/14/picture-341385-1384440044.jpg)
Практическая работа по геометрии. Тема: "Замечательные точки треугольника" (с использованием программы "Живая геометрия")
Дать представление о свойствах медиан, биссектриси высот треугольника можно при помощи учебника. А можно дать возможность учащимся самим выявить эти свойства, используя программу "Живая геометрия"...
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/24/picture-252410-1393271268.jpg)
интегрированный урок математика и физика "Замечательные точки треугольника или что такое центр тяжести"
презентация к уроку ""Замечательные точки треугольника или что такое центр тяжести", геометрия 7 класс...