Решение задач по теме "Касательная к окружности".
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Урок № 51

Дата: 15.03.18-8А,В    17.03.18-8Б    

Программно-методическое обеспечение:

УМК: геометрия 7 – 9 класс Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Тема урока: Градусная мера дуги окружности. Решение задач по теме касательная к окружности.

Тип урока: Урок получения новых знаний и умений

Цели: Образовательные:    Ввести понятие дуги окружности.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи, внимания и памяти; формирование умений применять приемы наблюдения, сравнения, анализа;

Воспитательные: воспитание интереса к геометрии и ее приложениям, активности, общей культуры.

Оборудование: учебник, доска, чертежные инструменты

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

П. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос

(Три ученика готовятся у доски.)

-  Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

-  Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

-   Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Проверка домашнего задания (готовит ученик у доски)

Задачам 639

 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если АОВ = 60°, а r = 12 см.

Решение (см. рис.):

∆АОВ- прямоугольный, А = 90° - О = 30° =>ОВ =  ОА => ОА = 24 см.

По теореме Пифагора АВ = (см). Ответ: (см).

Наводящие вопросы

-  Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.

-  Как найти катет АВ треугольника АОВ?

Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски доказательства теорем.

Решение задач на готовых чертежах

(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)

1. Рис. Дано: К = 5, АВ- касательная.

Найти: ОВ.

ОТВЕТ: OB=

2. Рис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.

Найти: R окружности.

ОТВЕТ: R = 5.

3. Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.

Найти: ВОС.

ОТВЕТ:  ВОС=120

4. Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.

Найти: АО.

ОТВЕТ: АО=10.

5. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.

Найти: PABC.

ОТВЕТ: PABC= 34.

6. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, СD - касательная, АЕ || СD. Найти: ОС.

ОТВЕТ: ОС = .

III. Решение задач

1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав краткое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную помощь менее подготовленным учащимся).

Задача № 641

Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ОАС  С = 90°, ОС =  ОА => ОАС = 30° => ВАС= 60°.

Задача № 644

Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что АМС =3ВМС.

Краткое решение (см. рис.):

МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 1=2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆OMB = ∆СМВ по двум катетам => 2 =3 =>АМС = 3ВМС.

Задача № 647

Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА= 5 см, АН = 4 см; б) НАО = 45°, ОА= 4 см; в) НАО= 30°, ОА= 6 см?

Краткое решение (см. рис.):

а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН =  = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.

б) HОA = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН2 + НА2 = ОА2=>2 ОН2 = 16 => ОН =  см  3 см => АН является касательной к окружности.

в) HОA = 30°, ОА = 6 см =>OH = OA = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

IV. Самостоятельная работа

К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое решение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.

1уровень

I вариант

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К— точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажите, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.

II вариант

1. Прямая МN касается окружности с центром в точке О, М- точка касания, МNО = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.

2. В треугольнике МNК МN = 6 см, МК = 8 см, NК = 10 см. Докажите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.

II уровень

I вариант

1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если АОС = 60°.

2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиусом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.

II вариант

1. МN и NК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, MNК = 90°. Найдите радиус окружности, если ОN= 2 см.

2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис.

III уровень

I вариант

1. ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, КОF = 120°, А - точка пересечения КF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.

II вариант

1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, МОN= 120°, Е - точка пересечения МN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на расстояние, равное длине данного отрезка.

4. Изучение нового материала (в плане учебника стр. 167)

5. Подведение итогов урока

6.Домашнее задание

Решить задачи № 641, 643, 645.