Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10, 11 класс) на тему

№ 8

В треугольнике даны стороны     AC= ,AB= 2 . Угол B, противолежащий стороне AC, равен 30°. Найдите третью сторону.

Решение:

АС2=ВС2+АВ2-2ВСАВcos∠В

Сторону BC обозначим  через  x

3= x2+12-2

x2 – 6x + 9=0

(x – 3)2=0

x = 3

                                                                                                Ответ: BC = 3

№  18

Треугольник со сторонами 13, 14,15 разделен на три равновеликие части

прямыми, перпендикулярными большей стороне. Найдите расстояния до этих прямых от ближайших к ним вершин  треугольника, находящихся на большей стороне.

Решение:    По формуле Герона найдем площадь треугольника  ABC,

 p=21,      SABC==84     =>   SADE=SFGC=28 ,

 по формуле площади 0,5∙AC∙BH=84 , BH=11,2  ,AH=8,4

Найдем площади    SABH= , SCBH= 

Треугольники AED~ABH=> в подобных треугольниках площади относятся как квадраты соответственных сторон  

 =  ;      =  

x² === 33         AD=

по той же теореме находим GC=  из подобия треугольников  FGC и BHC

                                                                                     Ответ: AD=  GC=

№ 19

В треугольнике АВС АВ = 12. Сторона ВС разделена на 4 равные части и через точки деления проведены прямые параллельные АВ. Найдите отрезки этих прямых, заключенных внутри треугольника.

Решение:  Треугольники CFE, CJG, CHI и CBA подобны  => 12:4=3 – EF,      JG=6     IH=9

                                                                                  Ответ: EF=3   JG=6   HI=9

№22

В треугольник со сторонами 10, 17, 21 см вписан прямоугольник с Р =24 см так, что одна из его сторон лежит на большей стороне треугольника.  Найдите стороны прямоугольника.

=24       MN+NK=12=P  MN, NK-?

Решение:  NBKABC       =  =>  == 48    p = 24  

  = ==84

    84= ·BH·21      BH=8

=           =         

       x+y=12                      y=12 – x  

 (8 – x)·21=8·(12 – x)                                                                                                               8·21 – 21x=8·12 – 8x

         –13 x= – 72                                                                                                                                                                            

               x =     

            y =12 –=                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Ответ: x =;    y =       

№31

  Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Найдите его высоты.

Решение:  По формуле Герона,     p=28

SABC=          SABC =84

По формуле площади треугольника, возможны три случая:

1. 84=0,5∙25∙BH ,BH=6,72
2. 84=0,5∙7∙BH ,BH=24
3.        3)  84=0,5∙24∙BH ,BH=7                          Ответ: BH=6,72  BH=24  BH=7
4.    

№54

 Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его катета, равного 12, если гипотенуза равна 15.

BC=12     AB=15    OK-?

Решение:

AC2 =152  – 122 =81,  AC = 9,   DC = 4,5  

DB 2  = 144 – 20,25 = 164,25 , DB  

По свойству медианы,  OD : OB = 1: 2, значит  

OB =  , из этого следует что KB = 8

так как    (по двум углам)   

,    OK = 3

                                                                                                     Ответ: OK = 3

№61

 Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 28 и 56 см. Найдите боковые стороны.

Решение:

BH=24,  AC=28,  AB+BC=56,  BC=x,  HC=y,

                                                    AH=28 – y,  AB=56 – x

   x2 – HC2=242   (1) из треуг.BHC

 (56 – x)2– AH2=242  из  треуг. ABH

(56 – x)2 –(28 – y)2 = x2 – y2 из этого получаем

                             y=2x – 42,

     подставляем  в формулу (1) и получаем      

       x2 – (2x – 42)2 = 242  

находим корни       x1=30  и   x2=26

                                                                                              Ответ: 26;30

   № 68(ЕГЭ 2005)     

 Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 10, а боковая сторона равна 5. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты ВМ и АН, пересекающиеся в точке K. Найдите площадь треугольника АВK.

Решение:

SABC = BM∙AC = 10,    BM∙AC = 20 = AH∙BC

Значит AH = 4, т.к. BC =5 , BH =3, HC =2

AC == 2 , значит AM =

BM = = 2,

SABC = ∙AH ∙ AC = ∙ 4 ∙ 2 = 4,

BKH ~ BMC  =  =  

X = = =1,5, SBKM =∙3 =

SABK =10 – 4 – 2,25 = 3,75                                       Ответ: SABK=3,75

№ 69

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты BD и АН пересекаются в точке Т, причем АТ = 10, ТН = 8. Найдите площадь треугольника  АВТ.

Решение:

AH=18    SABC=0,5∙AH∙BC=0,5∙18∙x=9x

  == ,    = ,    

AD-t,     2t2=180 ,

 t=3– AD,     AC=6 ,     HC== 6 =>=

DT == ,     = 0,5∙18∙6 = 54

Треугольник AHC~BDC =

x==30 – BC, => BH=24 , =0,5∙BH∙TH=0,5∙24∙8=96

=0,5∙18∙30=270

=270-54-96=120                                                           Ответ:  =120          

№ 70

Высоты АН и ВK равнобедренного  треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО=5,ОK = 3. Найдите АН.

Решение:

Треугольник BOH~BKC ,     =

2x2=40 , x=2 – BH  =>  BC=4=>

KC= =4 треугольникBKC~AHC ,

         =         y= = 4– AH

                                                                                               Ответ: AH=4   

№ 81

Биссектриса треугольника делит  противоположную сторону на отрезки 2,8см и 4,2 см. Периметр треугольника равен 22 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

BK=2,8;   KC=4,2;   P= 22

BC = BK + KC = 7,  BA + AC = 15 ,

BK = BC,  KC =BC    =  3AB=2AC

AB =AC   AC+AC=15

AC=15

                                                                       Ответ: 6; 7; 9.

№97

 Найдите площадь треугольника  АВС, если в него вписана окружность с центром О, причем угол AOC =165 , АВ = 8,

ВС = 7.                                SABC-?

Решение:

Угол AOC=165=>углы   OAC+OCA=15°=>углы A+C=30°

=>угол B=150°

SABC=0,5∙AB∙BC∙sinB=0,5∙8∙7∙sin150=14

                                                                                                 Ответ: SABC=14

№100

    В треугольник со сторонами   AB = 8,  

ВС = 6  АС = 4 вписана окружность.  Найдите длину отрезка  DE, где D и E – точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.

Решение:

AE = AD =  = 3

OD = r  S =  P r,  P = 18

p = 9,  S = 3  по формуле Герона =>

r =  ,  AO =  из ∆AOD по т. Пифагора ∆ADO~∆HDO => HD= => ED=

                                                                                            Ответ:   ED=

№105

В треугольник АВС  вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке K. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13,

 АС = 15, ВK = 6,5.

 Решение: AO-биссектриса

Получим отношение сторон    =  KC=7,5  BC=14 , P=13+14+15=42 ,  p=21

==84

-по формуле Герона

Ответ: =84

№106

Основание равнобедренного треугольника равно 36,  вписанная окружность касается боковых сторон в точках А и Р,  АР = 12. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Треугольники  KPAKBC, BC=3PA, => KC=3KA,   KA=x,   KC=3x ,

3x – x=18 (т.к. AC=CH),  x = 9 =>

KA=9,  KC=27.

P = 90

 Ответ: Р = 90

№111

В равнобедренный треугольник с  боковой стороной, равной 50, с основанием, равным 30, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания на боковых сторонах.

Решение:

BC=30, AC=50, HM - ?

CM = KC = 15 по св-ву касательных, провед. из одной точки,  AM=35

∆ HAM ~ ∆ABC => HM = 21

Ответ: HM = 21

№142

Из точки A проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a

Решение:

OM=r , OA=a , MN-?

AM=        =  , =

 MH=  =>MN=

                                        Ответ: MN=

№143

Из одной точки проведены к окружности две касательные длиной 12 см,а расстояние между точками касания 14,4см. Определите радиус окружности.

Решение:

MN=14,4        AM=AN=12            r-?

MN=∙AM    =>       7,2=∙12

• ===

    AO2=AM2+MO2 =>

 a2=144+ a2 ,    x2=144 ,

x2=144∙  , x=15  ,=

r = ∙15=9  

                                                                                              Ответ: r=9

Вариант 1  (Alexlarin.net )

Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ и ВС  (АВ=5, ВС=12). Пусть точкаO- центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая  через точку O, параллельна одной из сторон треугольника АВС  и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Решение: Неоднозначность заключается в том, что не сказано,  какой   стороне параллельна прямая KP

1 случай

,

60=30r, r=2  =>  ,

,  

2 случай

- KP

 3 случай

,  

,   ,    ,  

Ответ: 7,2;  

Вариант 2  (Alexlarin.net)

Дан треугольник АВС, где ВА=5,  ВС=8. В треугольник вписана  окружность, касающаяся стороны ВС в точке Р. Известно, что ВР=3.Найдите площадь треугольника ВМР, где М- точка касания окружности со стороной треугольника АВС.

Решение:

1 случай. М – точка касания окружности со стороной АВ

ВР=3, ВС=8, СР=5, ВА=5, ВМ=3

СК=СР=5

АК=АМ=2     АС=7      

По теореме косинусов

 АС2=ВС2+ АВ2-2ВСАВcosВ  

    49=64+25-285 cosВ                                cosВ=    В=60°   РМ=3

∆РВМ – равносторонний    

      =  =    

2 случай. М – точка касания окружности со стороной АС

СР= СМ = 8 – 3 = 5,  ВК=3,   АК= АМ =2,  АС=7

АВ2=ВС2+АС2 – 2ВСАС cos 

 25=64+49-287 cos   

56 cos= 113-25 ,

 cos==       

  sin= =

=

= 8             => =  -  ,        =

                                                                                         Ответ:    

Вариант №23 (alexlarin.net)

Дан параллелограмм ABCD  т. M лежит на диагонали  BD и делит ее в отношении 2:3. Найдите площадь параллелограмма  ABCD, если площадь четырехугольника  ABCM  равна 60.

1 случай:

  ,         

2 случай:        

                                                                                                           Ответ: 150;  100.

Вариант №276 (ЕГЭ 2012-2013)

В параллелограмме ABCD  биссектрисы углов при стороне AD делят сторону  BC точками  M и  N так, что  BM: MN =1:7.   Найдите  BC, если  AB=12.

Решение:

1 случай:

2 случай: BN=12  составляет  8 частей

MC =12,    BM=1,5

AB=BN=12         MB=CN        

CD=CM=12

 MN – 7частей             BN – 6 частей  

MB – 1 часть  

  1 часть:  MB=2       BC=10            

                                                                                                          Ответ:  13,5; 10

ЕГЭ 2011-2012

В прямоугольнике ABCD, АВ=2, ВС= , т.Е на прямой АВ выбрана так, что угол АЕD равен углу DЕС. Найдите АЕ.

 Решение:

1 Cлучай

АЕ=Х, ВЕ=2-Х

  AE = 1

2Случай

DC=CE

                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Ответ: ВЕ=3,   ВЕ=1

ЕГЭ 2011-2012 

В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3:5.Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание, т.Н-основание высоты. Из точки Н опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону трапеции. В каком отношении т.Е делит боковую сторону трапеции?

Решение:

1 случай.

ВС=3х, AD=5x

HD=x

2Случай.

AH=4x ,   AB=4x,    A-общий угол,

                                                                                                           Ответ:     ;  

ЕГЭ 2011-2012

Дана трапеция ABCD, основание которой ВС=44, AD=100, АВ=CD=35.Окр-ть, касающаяся прямых AD и АС касается стороны CD в точке К.Найдите длину отрезка СК.

Решение:

1 случай.

 ,  

2 Случай

AP=AM

AP=AC+CP=75+CP +AM=AD+DM=100+DM  =>

AP+AM=75+100+CD=175+35=210

AP=105=>DM=5=> CP=30

  r=CK=10

                                                                                                       Ответ: СК=10.СК=5

ЕГЭ 2011-2012

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120 градусов. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение:

1Случай.

r-?

, , , ,

, ,

2Случай

,  ,

,  

,        

,

.

                                                                                               Ответ: r= , r=

Пробный вариант №12  (Сибирь, 2012-2013)

В  а радиус описанной окружности равен 169.Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

1случай.

S=,  R=,   

,

,

,

,

,

P=312+312+240=864

R=

2 случай.

Угол В- тупой  ,

HC=

,

,

AC=240, BH=50 P=240+130+130=500

     r=

                                                                                                               Ответ:  80 и 24.