Планы конспекты уроков по геометрии !0 класс
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Урок 1
ПРЕДМЕТ СТЕРЕОМЕТРИИ.

Цель: рассмотреть основные свойства плоскости.

Ход урока

I. Вступительная беседа.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве  каждой  теоремы  или  при  решении  задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.

В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:

1) имеются  точки,  ребра,  углы,  лежащие на данной плоскости Р (на столе);

2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;

3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;

4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;

5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.

Вывод. Плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.

Отсюда вытекает необходимость изучать различные случаи комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Это изучение является одной из задач курса стереометрии. В первую очередь надо выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.

Введем обозначения:

точки – А, В, С и т. д.

прямые – a, b, с и т. д. или (АВ, СD и т. д.)

плоскости – α, β, γ и т. д.

II. Основные свойства плоскости.

Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, то есть опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Этот пример служит наглядным подтверждением того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Так как три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость, то можно обозначать плоскость как (АВС), (BCD) и т. д.

Можно ли провести плоскость через три точки, лежащие на одной прямой? Сколько существует таких плоскостей?

Верно ли, что:

а) любые три точки лежат в одной плоскости;

б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;

в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Ответы: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.

Рассмотрим следующую ситуацию: для проверки «ровности» при укладке тротуарной плитки используют брусок, который прикладывают к поверхности дорожки. Если на дорожке есть ложбинки или бугорок, то в каких-то местах между бруском и плоскостью дорожки образуется просвет. Если поверхность дорожки ровная, то между бруском и дорожкой никакого просвета нет, то есть брусок всеми своими точками прилегает к ее поверхности.

Можно встретить и обратную ситуацию, когда проверяют «ровность» линейки при помощи проверенной модели плоскости.

Эти примеры служат наглядным подтверждением того факта, что если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

а) пересекает две стороны треугольника;

б) проходит через одну из вершин треугольника?

Ответ обоснуйте.

Обратимся к модели куба.

Учащимся прелагается на модели куба указать:

1) точку, принадлежащую одновременно двум данным пересекающимся граням;

2) точку, принадлежащую трем данным пересекающимся граням;

3) грани,  которым  принадлежит  точка,  взятая на каком-нибудь ребре куба;

4) грани, которым принадлежит данная вершина куба.

Вывод. Точка, лежащая на линии пересечения двух плоскостей, лежит на каждой из этих плоскостей, и обратно: точка, лежащая одновременно на двух каких-нибудь плоскостях, лежит на линии пересечения этих плоскостей.

На вопрос, что является линией пересечения двух плоскостей (в теоретико-множественном смысле: если прямые имеют хотя бы одну общую точку), отвечает третья аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через данную точку.

Наглядной иллюстрацией третьей аксиомы является пересечение двух смежных сторон классной комнаты, пересечение двух листов книги и т. д.

Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Прямые а и b пересекаются в точке С. Через прямую а проходит плоскость α, а через прямую b – плоскость β, отличная от α. Как проходит линия пересечения этих плоскостей?

Следует обязательно отметить, что в пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

III. Решение задач.

№ 9 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики).

Постройте изображение куба АВСDА1В1С1D1:

а) назовите плоскости, в которых лежат точка М, точка N;

б) найдите точку F – точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством  обладает  точка  F?  (Принадлежит  и  прямой MN, и плоскости (АВС));

в) найдите точку пересечения прямой KN и плоскости (АВС).

Домашнее задание: теория (п. 1 – 2), № 1 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики), № 2а

Урок 2
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Цель: доказать некоторые следствия из аксиом.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (фронтальная).

II. Устная работа.

Найдите ошибку. Обоснуйте ответ.

     MN BD = O                        AB1  A1D = Q

Постройте:

а) точку пересечения прямой MN и плоскости (АВС);

б) точку пересечения прямой MN и плоскости (А1В1С1);

в) линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNK);

г) точку пересечения прямой КN c плоскостью (АВС);

д) линию пересечения плоскостей (АА1В1) и (MNK).

Каждый раз при построении аксиомы проговариваются, результат построения записывается с помощью символики.

III. Объяснение нового материала строится согласно п. 3 учебника.

IV. Решение задач.

№№ 4, 5, 7, 9, 11.

Образец оформления.

№ 11.

Доказательство

1. Проведем плоскость α = (а, А).

2. Проведем b: А b, b а = В.

Домашнее задание: теория (п. 3), №№3,4,5.

Урок 3

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ
АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЙ

Цель: сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Устная работа.

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а) если A a, a α, то A...α.

б) если A α, B α, то AB...α.

в) если A α, B α, C  AB, то C...α.

г) если M α, M β, α β = a, то M...a.

2. По рисунку ответьте на вопросы:

д) по  какой  прямой  пересекаются  плоскости  (ABD) и (BDC); (АВС) и (ADC); (АВС) и (ABD); (ABD) и (ADC); (PDC) и (ABC)?

3. Ответьте на вопросы:

а) могут ли прямая и плоскость иметь только одну общую точку? (Да.) Только две общие точки? (Нет.)

б) можно ли провести плоскость через четыре произвольные точки пространства? (Нет.)

в) можно ли через точку пересечения двух прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? (Да.)

III. Решение задач.

1. Начертите изображение тетраэдра АВСD, выберите произвольно точки М  АВ, N  AD.  Постройте  линии  пересечения  плоскостей (ABD) и (CMN); (CMN) и (АВС); (CMN) и (ADC).

2. Начертите изображение куба ABCDA1B1C1D1, выберите точки M и N грани ABCD. Постройте  линии  пересечения  плоскостей (АВС) и (А1MN); (В1MN) и (ВСС1); (С1MN) и (СС1D).

Замечание. В курсе основной школы вы получили представление о многограннике как о геометрическом теле, поверхность которого состоит из многоугольников.

Рассмотрим пересечение некоторого многогранника, например куба, и плоскости α; оно может быть пустым множеством, точкой, отрезком, многоугольником. Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника данной плоскостью.

Домашнее задание:№8,13,15

1. Дано: ABCA1B1C1 – треугольная призма. М  АВ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ
АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЙ

Цель: сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Устная работа.

1. Перечислите несколько способов задания плоскости.

2. Сколько  плоскостей  можно  провести  через  выделенные  элементы куба?

Заштрихуйте соответствующие плоскостям грани куба.

3. Сколько граней проходит через а) одну, б) две, в) три, г) четыре точки, выделенные на рисунке куба?

Сколько плоскостей можно провести через те же точки? Определится ли при этом положение плоскости однозначно? Ответ обоснуйте.

4. Если прямая пересекает две стороны квадрата (смежные, противоположные), то она лежит в плоскости этого квадрата?

5. Если две точки окружности лежат в одной плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

6. Если два диаметра окружности принадлежат одной плоскости, то и вся окружность принадлежит этой плоскости?

8. Найдите ошибку. Ответ обоснуйте.

III. Решение задач.

Постройте изображение тетраэдра (треугольной призмы, четырехугольной пирамиды, четырехугольной призмы). Отметьте произвольно точки М, N, и К на ребрах многогранника. Постройте сечение многогранника плоскостью (MNK).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант I

1. Основание  AD  трапеции  ABCD  лежит  в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?

б) Чему  равен  угол  между  прямыми  ЕF и АВ,  если АВС = 150°? Поясните.

2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб.

Вариант II

1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?

б) Чему  равен  угол  между  прямыми  РK  и  АВ,  если АВС = 40° и  ВСА = 80°? Поясните.

2. Дан  пространственный  четырехугольник  АВСD,  М  и  N  –  середины  сторон  АВ  и  ВС соответственно;  Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.

Урок 1
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цели: рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве; ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, являются параллельными)? Дайте определение параллельных прямых на плоскости.

Определение параллельных прямых в пространстве – то же.

Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются, но не являются параллельными, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (а ÷ b).

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

По рисунку назовите пары скрещивающихся ребер; пары параллельных ребер.

Итак, алгоритм распознавания взаимного расположения двух прямых в пространстве.

II. Решение задач.

1. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны? (Устно.)

2. Какие две прямые называются параллельными? (Устно.)

3. Дано а || b. Докажите, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости.

4. Сколько можно провести в пространстве прямых, проходящих через данную точку, параллельных данной прямой? (п. 4).

Домашнее задание: теория (п. 4), №№17,18б,19. Постройте сечение многогранника плоскостью (MNK).

Урок 2

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ТРЕХ ПРЯМЫХ

Цели: доказать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, теорему о трех параллельных прямых; показать их применение при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

1. АВСDА1В1С1D1 – куб. Все грани – квадраты. Установите взаимное расположение прямых.

2. Какие прямые называются параллельными? Скрещивающимися?

III. Объяснение нового материала построить в соответствии с п. 5 учебника.

IV. Решение задач.

Решение

1.

2.

3. По определению MNQP – параллелограмм.

4. PQ = 7, PM = 6  PMNQP = 2 (7 + 6) = 26.

(Докажите устно, несколькими способами, что MNQP – параллелограмм. Используя признаки параллелограмма.)

Получили противоречие, так как MN α. Следовательно, ВС α.

Аналогично АD α.

Решение

I. Необходимо доказать, что точки А, С1 и В1 лежат на одной прямой.

1. (А, ВВ1) ≡ β.

2. β α = АВ1. Докажем, что С1  АВ1.

3. Пусть С1  АВ1, тогда СС1 β = С.

 Противоречие условию, ВВ1 β.

Следовательно, С1  АВ1. (Проведите различные доказательства, проводя плоскость β через А и СС1, через СС1 и ВВ1).

II. СС1 – средняя линия Δ АВВ1 ⇒ СС1 = 3,5.

Домашнее задание: теория (п. 4 – 5), №№22,24,26. Построить сечение многогранника плоскостью (MNK).

Урок 3
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве; ввести понятие параллельности прямой и плоскости; доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Ход урока

I. Объяснение нового материала начать с рассмотрения взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Покажите на предметах обстановки классной комнаты прямые, параллельные плоскости пола, плоскости стены.

Обратите внимание на модель куба. DC || (АА1В1). В плоскости (АА1В1) имеется прямая AB, параллельная DC.

DC || (А1В1С1). В плоскости (А1В1С1) имеется прямая D1C1, параллельная DC. Сделайте предположение.

Сформулируйте  и  докажите  признак  параллельности прямой и плоскости.

II. Решение задач.

Доказательство

Доказательство

 по признаку.

2.  по определению.

3. Δ АВС Δ MBN по двум углам.

Решение

2.  по определению.

3. Δ АВС Δ ADE по двум углам.

.

.

BC =.

Домашнее задание: теория (п. 6), №№ 23, 25, 27.

Урок 4
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели: систематизировать материал изученного параграфа; проверить уровень сформированности умения применять полученные знания к решению задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

1. Верна ли формулировка признака параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости». (Нет, прямая может лежать в плоскости).

2. Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую b?

3. Даны прямая и две пересекающихся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения.

4. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Ответ обоснуйте.

5. Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?

6. Даны две скрещивающиеся прямые. Можно ли через одну из этих прямых провести плоскость, параллельную другой?

7. В плоскости α даны две пересекающиеся прямые а и b. Точка С не лежит в плоскости α. Каковы возможные случаи расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых а и b?

8. Дано: FABCD – пирамида, ABCD – параллелограмм.

III. Решение задач: №№ 90 (устно), 91, 92, 93, 96.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант I

1. Через сторону АС треугольника АВС  проведена плоскость α. В α. Докажите,  что  прямая,  проходящая  через  АВ  и  ВС,  параллельна плоскости α.

2. Дан Δ MKP.  Плоскость,  параллельная  прямой  МK,  пересекает МР в точке  М1,  РK – в  точке  K1.  Найдите  М1K1,  если  МР : М1Р = 12 : 5, МK = 18 см.

3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD || BC). Докажите, что прямая, проходящая через середины РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.

Вариант II

1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α.

2. Дан Δ BCE. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает ВЕ в точке Е1,  а  ВС – в  точке  С1.  Найдите  ВС1,  если  С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС =
= 28 см.

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что  прямая,  проходящая  через  середины  АЕ  и  ВЕ,  параллельна  прямой СD.

Урок 5
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Цель: доказать признак скрещивающихся прямых, теорему о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Ход урока

I. Работа над ошибками.

II. Объяснение нового материала. Вспомнить различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве (урок № 6).

Рассмотреть различные пары скрещивающихся прямых на моделях многоугольников, наблюдая факт, зафиксированный в признаке скрещивающихся прямых.

Если учащиеся упустили выделенный в формулировке факт, то привести контрпример – пересекающиеся прямые.

Доказать признак скрещивающихся прямых.

Для «открытия» учащимися факта второй теоремы опять обратиться к рассмотрению моделей, каждый раз отвечая на вопросы: назовите плоскость, проходящую через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой? Сколько таких плоскостей?

При рассмотрении третьей модели должна возникнуть проблема – можно ли через одну из скрещивающихся прямых построить плоскость, параллельную другой прямой? Учащимся предлагается построить такую плоскость.

Построение

1. Построить MN  AB, MN || CD.

2. (MN, AB) ≡ α.

3. α – единственная.

Таким образом, мы доказали теорему, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

III. Решение задач.

№ 34 (решать устно, требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признаков).

№ 36.

Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)

Если мы проведем плоскость α через пересекающиеся прямые а и с, то прямая b, будет параллельна плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые а и b.

1. (a, b) ≡ α.

2.

3.  (по признаку).

Домашнее задание: теория (п. 7), № 35 (воспользуйтесь методом от противного), № 37.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Цель: закрепить навык использования признака скрещивающихся прямых при решении задач.

Ход урока

I. Опрос у доски (знание теорем, их доказательств). 

II. Проверка домашнего задания.

III. Устная работа.

1. Какие прямые называются скрещивающимися?

2. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

3. Выясните взаимное расположение прямых:

4. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

5. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться? б) быть скрещивающимися?

6. Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с? Ответ обоснуйте.

7. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точки А и А1 лежат на прямой а,  точки  В  и  В1 – на прямой b.  Как будут расположены прямые АВ и А1В1?

8. Прямая а скрещивается с прямой b, а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с скрещиваются?

9. Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все прямые?

10. Можно ли провести прямую, пересекающую каждую из трех скрещивающихся прямых?

11. Даны две пересекающиеся плоскости α и β. В плоскости α лежит прямая а, а в плоскости β – прямая b. Лежат ли прямые а и b в одной плоскости, если известно, что они пересекают линию пересечения плоскостей α и β: а) в одной точке; б) в разных точках?

12. Даны две параллельные плоскости α и β. В плоскости α лежит прямая а, а в плоскости β – прямая b. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямых а и b?

13. В плоскости двух параллельных (пересекающихся) прямых а и b дана точка С, не лежащая на этих прямых. Прямая с проходит через точку С. Как может быть расположена прямая с относительно прямых а и b?

IV. Решение задач. 

№ 39.

2.

3.  (по признаку).

№ 41.

Дано: а ÷ b.

Может ли а || с и b || c.

Пусть а || с и b || c, тогда а || b. Противоречие условию.

№ 42.

1.

2. Так  как  в  трапецию  можно  вписать  окружность,  то АВ + ЕK =
= АK + ВЕ. РABEK  = 2 ∙  (22,5 + 27,5) = 2 ∙  50 = 100 см.

№ 43.

2. NP – средняя линия Δ АDB  NP || АВ, NP = АВ.

3.  – параллелограмм.

№ 101.

2. MNPK  –  параллелограмм  (аналогично)  МР EF = Q1, MQ1 =
= Q1Р.

3.

4. MP NK EF = Q.

Урок 6
УГЛЫ С СОНАПРАВЛЕННЫМИ СТОРОНАМИ.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Цель: доказать теорему об углах с сонаправленными сторонами.

Ход урока

I. Повторение пройденного.

Продолжите предложение.

1. Если две прямые в пространстве не имеют общих точек, то они…

2. Если две прямые не принадлежат одной плоскости, то они…

3. Если ABCD – пирамида, то прямые АВ и СD…

4. ABCDA1B1C1D1 – куб. Прямые АВ и СС1…

5. Геометрическое место прямых, пересекающих одну из скрещивающихся прямых и параллельных другой, есть…

II. Объяснение нового материала.

Пункты учебника (п. 8, 9) можно прочитать вместе с учащимися. Проверить осознанность усвоения теоремы об углах с соноправленными сторонами, можно, попросив учащихся доказать теорему на видоизмененном чертеже, составить план доказательства.

III. Решение задач №№ 44, 45, 47.

Домашнее задание: теория (п. 8 – 9); №№ 46, 97.

Уроки 7-8
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цель:  повторить  теорию,  подготовить  учащихся  к  контрольной работе.

Ход уроков

I. Устная работа.

1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?

4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?

7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые три точки проходит единственная плоскость?

8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?

9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?

10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение а и α; а и β?

11. Прямая b непараллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение b и α; b и β?

12. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.

14. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?

15. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.

16. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?

17. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?

18. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?

20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?

II. Решение задач.

Варианты I и IV рассмотреть в классе. Варианты II и III дать домой для самостоятельного решения.

Вариант I

2. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую  сторону  АС.  Точка  Е  лежит  на  стороне  АВ,  F  –  на  стороне ВС, причем EF параллельна плоскости ADC. Р – середина AD, а K – середина DC.

1) Докажите, что EF || PK.

2) Каково взаимное положение прямых РK и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если АВС = 40° и ВСА = 80°?

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости  α.  Каково  возможное  взаимное  положение  прямой  а  и  плоскости β ? Сделайте рисунок и поясните.

4*. Используя рисунок, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью α. Поясните.

Вариант IV

1. На рисунке точки Е и F лежат в плоскости β, а М – в плоскости α. Постройте  линии  пересечения  плоскости  EFM  с  плоскостями  α  и  β. Поясните.

2. Основание  AD  трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

1) Докажите, что BCFE – параллелограмм.

2) Каково взаимное положение прямых EF и АВ? Чему равен угол между ними, если АВС = 150°? Поясните.

3. Отрезок АВ параллелен плоскости α, а отрезок CD лежит в этой плоскости, причем AB = CD. Можно ли утверждать, что четырехугольник ABDC – параллелограмм? Поясните.

Вариант II

2. Треугольники ABC и DCE лежат в разных плоскостях и имеют общую вершину С, АВ || DE.

1) Постройте линию пересечения плоскостей АВС и DCE. Поясните.

2) Каково  взаимное  положение  прямых  АВ и DF, где F лежит на стороне CE?  Чему  равен  угол  между  этими прямыми, если FED = 60° и  DFE = 100°? Поясните.

3. Прямая а параллельна плоскости α, точка М и прямая с лежат в плоскости α (М с). Через точку М проведена прямая b, параллельная а. Каково взаимное положение прямых b и с? Поясните.

Вариант III

2. Трапеция ABCD (AD и ВС – основания) и треугольник AED имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Точка М лежит на стороне АЕ, а Р – на стороне DE, причем МР параллельна плоскости трапеции.

1) Докажите, что МР || ВС.

2) Каково взаимное положение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если АВС = 110°? Поясните.

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α, а b – в плоскости β. Какие возможны взаимные положения прямых а и b? Сделайте рисунок и поясните.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Ход урока

Вариант I

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?

4. Каково  взаимное  положение  прямых:  1) AD1 и MN;  2) AD1 и ВС1; 3) MN и DC? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b пересекаться?

Рис. 1                                    Рис. 2                                  Рис. 3

6. Прямая а параллельна плоскости α. Существуют ли на плоскости α прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n пересекаются в точке М, А m; В n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и c?

8. Даны треугольник АВС и плоскость α, АВ || α; АС || α. Каково взаимное положение прямой ВС и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α в точках А и С, а плоскость β – в точках В и D, . Найдите отношение .

10. Плоскость α пересекает только боковые ребра параллелепипеда. Определите вид сечения.

Вариант II

1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости?

4. Каково  взаимное  положение  прямых:  1) A1D и MN;  2) A1D и В1С; 3) MN и А1В1? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

Рис. 1                                    Рис. 2                                  Рис. 3

6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n параллельны. Точки А и В соответственно принадлежат прямым m и n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и с?

8. Даны  четырехугольник  АВСD  и  плоскость  α.  Его  диагонали  АС и BD  параллельны  плоскости α. Каково взаимное положение АВ и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α соответственно в точках В и А, а плоскость β – в точках Е и F. . Найдите отношение .

10. Плоскость α проходит через диагональ основания параллелепипеда и  середину  одной  из  сторон  верхнего  основания.  Определите  вид  сечения.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Ход урока

Вариант I

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?

4. Каково  взаимное  положение  прямых:  1) AD1 и MN;  2) AD1 и ВС1; 3) MN и DC? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b пересекаться?

Рис. 1                                    Рис. 2                                  Рис. 3

6. Прямая а параллельна плоскости α. Существуют ли на плоскости α прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n пересекаются в точке М, А m; В n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и c?

8. Даны треугольник АВС и плоскость α, АВ || α; АС || α. Каково взаимное положение прямой ВС и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α в точках А и С, а плоскость β – в точках В и D, . Найдите отношение .

10. Плоскость α пересекает только боковые ребра параллелепипеда. Определите вид сечения.

Вариант II

1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости?

4. Каково  взаимное  положение  прямых:  1) A1D и MN;  2) A1D и В1С; 3) MN и А1В1? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

Рис. 1                                    Рис. 2                                  Рис. 3

6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n параллельны. Точки А и В соответственно принадлежат прямым m и n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и с?

8. Даны  четырехугольник  АВСD  и  плоскость  α.  Его  диагонали  АС и BD  параллельны  плоскости α. Каково взаимное положение АВ и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α соответственно в точках В и А, а плоскость β – в точках Е и F. . Найдите отношение .

10. Плоскость α проходит через диагональ основания параллелепипеда и  середину  одной  из  сторон  верхнего  основания.  Определите  вид  сечения.