Площадь треугольника
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Цель урока: систематизация знаний по теме: “Площадь треугольника”, знакомство с формулой Пика, совершенствование навыков решения задач.

Задачи урока:

Образовательные:

• актуализировать знания;
• систематизировать знания;
• проконтролировать усвоение знаний.

Воспитательные:

• формировать культуру речи учащихся;
• воспитывать самостоятельность, уверенность, чувство собственного достоинства.

Развивающие:

• развивать память, речь, мышление, наблюдательность, умение анализировать, сопоставлять, формулировать выводы;
• развивать нестандартное мышление;
• совершенствовать навыки решения задач;
• развивать познавательный интерес, творческие способности, уверенность в своих силах, настойчивость.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения:  ИКТ, метод исследования, технология развивающего обучения, технология деятельностного  подхода, фронтальная беседа, фронтальный опрос, работа в группах.

Ход урока

1. Организационный этап.
2. Актуализация знаний.  Постановка цели.

Сегодня нам предстоит повторить все, что изучили о площадях известных фигур (прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб, треугольник).

Для начала давайте вспомним, какие свойства площадей нам известны и помогают решать задачи. 

 Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Устно, по готовым чертежам, найти площади треугольников. Демонстрируется слайд.

III. Углубление и закрепление полученных знаний

Мы не просто так вспомнили о прямоугольных треугольниках. Это, действительно, отдельный класс треугольников и поэтому площадь их находится особым образом.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Устно решим задачу по готовому чертежу.  Демонстрируется слайд.

Задача 1 

Дано: АВD и КМР, BD, MR – высоты, BD = MR, АС = 12 см, КР = 10 см.

Найти:  - ?

Ответ: =1,2.

Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Закрепим полученные знания, решив задачу № 470

А теперь, давайте познакомимся с новой формулой, позволяющей вычислять площади многоугольников на клетчатой решётке.

Демонстрация презентации.

Краткий конспект

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

А теперь, давайте поработаем в парах. Составляются группы из 4-х человек. Первые двое – находят площадь по стандартным формулам, а двое других – по формуле Пика. Затем идет сверка результатов и вывод.

Решите самостоятельно:

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.  Ответ дайте в квадратных сантиметрах. / Ответ 3./

2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. / Ответ 1./

3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. / Ответ 1./

4. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. / Ответ 4,5./

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

IV. Подведение итогов урока.

• Что нового вы узнали на уроке?
• Как найти площадь треугольника?
• Какие измерения необходимо знать, что бы найти площадь треугольника?

Умы людей, которые занимались и сейчас занимаются математическими науками, конечно, привлекали не сами задачи с конкретными цифрами, а что-то особое, не всегда очевидное. То, что заставляет удивляться, сомневаться и толкает на раздумья. Вот и я хотела сегодня  показать вам красоту математики и подтолкнуть вас к раздумьям.

V. Домашнее задание:

1. Повторить теоретический материал.
2. Найдите площади треугольников тремя способами.

Цели и задачи урока

• Повторить свойства площадей фигур; формулы площади прямоугольника и квадрата; вывести формулу для нахождения площади треугольника; рассмотреть задачи с её применением.
• Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.
• Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с практической работой, виртуальная лаборатория «Живая математика». Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point.

Ход урока:

1.Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. На предыдущих уроках мы начали изучать главу «Площадь». Рассмотрели основные свойства площадей, доказали теоремы о площади прямоугольника и параллелограмма. Сегодня мы переходим к следующей геометрической фигуре - треугольнику и тема нашего урока «Площадь треугольника». Откройте тетради, запишите число и тему урока.

2. Актуализация темы. Цели урока.

Тема нашего урока очень важна, т.к. любую геометрическую фигуру можно разбить на конечное число треугольников, и если вы будете знать способ нахождения площади треугольника, то сможете найти площадь любой геометрической фигуры.

Цели нашего урока:

1. Вывести формулу для нахождения площади треугольника.
2. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника.
3. Рассмотреть применение полученных знаний при решении задач.

Но прежде, чем переходить к изучению новой темы мы должны повторить теоретический материал и проверить домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания.

Ученик записывает решение задач №463 на доске.

В С

CH =7 см 

14см

300

А 8,1 см D H

Остальные в это время отвечают на вопросы.

• Сформулировать свойства площадей многоугольников;
• Сформулировать теорему о площади параллелограмма;
• Сформулировать теорему о площади прямоугольника;

4.Подготовка к изучению новой темы.

На следующем этапе урока класс разбивается на 2 группы.

1 группа выполняет практическую работу с лабораторией «Живая математика»

Практическая работа с лабораторией « Живая математика».

1. На рисунке изображен параллелограмм.
2. Измерьте его площадь.
3. Проведите диагональ параллелограмма.
4. Найдите площади получившихся треугольников.
5. Сравните площадь треугольника с площадью параллелограмма.
6. Сделайте вывод об отношении площади треугольника к площади параллелограмма.

2 группа решает задачи по готовым чертежам.

1.S ромба =2*5=10

2. S параллелограмма =8*6=48(см2)

Во второй задаче найдите площади треугольников АВС и АСD.

Т.к. диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площади этих треугольников равны. Т.к. площадь параллелограмма 48см 2 , то площадь треугольников 24см2. Таким образом, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Давайте послушаем отчет первой группы о результатах практической работы по измерению площади параллелограмма и треугольника. (Учащиеся, выполнявшие практическую работу на ПК, делают вывод, что измеренная площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.)

5. Изучение нового материала.

Итак, мы сделали вывод, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. А т.к. площадь параллелограмма равна произведения его основания на высоту, то площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Запишем данное утверждение в тетрадь и докажем данную теорему.

Учащиеся проводят доказательство самостоятельно. Учитель должен акцентировать внимание на том, что треугольник надо достроить до параллелограмма и доказать равенство получившихся треугольников.

6.Закрепление изученного материала при решении задач.

Задачи на готовых чертежах.

Найдите площади треугольников, изображенных на чертежах.

Работа в тетрадях.

Решить задачи их учебника № 468(а,б),467,471.

7.Домашнее задание.

8. Подведение итогов урока.

Рефлексия .

• Что нового вы узнали на уроке?
• Как найти площадь треугольника?
• Какие измерения необходимо знать, что бы найти площадь треугольника?

Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.
   Геометрия. 7-9 кл. : Учебник.- М. : Просвещение, 2005
2. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей.  Атанасян Л.С. и др. - М.: Просвещение, 2009.

Использованные материалы

1. УМК «Живая математика», CD, 2008.