"Обобщающее повторение курса геометрии на уроках математики при подготовке к ЕГЭ
статья по геометрии на тему

Обобщающее повторение геометрии при подготовке к ЕГЭ

учащихся 11-х классов общеобразовательных школ

Учитель математики МАОУ «Школа №22 г. Благовещенска»

Глазунова Светлана Викторовна

Введение

Условия возникновения проблемы. Осмысление проблемы качества образования в рамках модернизации Российского образования, становление и усовершенствование системы подготовки учащихся к ЕГЭ, необходимость развития личностных достижений учащихся привели к необходимости изучения и разработки  проблемы организации повторения курса математики. Согласно Концепции модернизации российского образования среднее общее образование нацелено на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющей потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути.

Обучение стало вариативным: появилось новое поколение учебной литературы и согласно Закону об образовании учителя отказались от единых учебников, появились современные государственные образовательные стандарты общего образования, началось более широкое внедрение информационных технологий в преподавание всех школьных предметов, изменились цели обучения. Все это в равной мере касается и образовательной области «математика».

Доминирующей идеей федерального компонента Государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления, овладение математическими знаниями и умениями  на всех ступенях обучения, использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности. Определены три основные цели модернизации образования:

- расширение доступности образования;

- повышение качества образования;

- повышение эффективности образования.

Актуальность проблемы  заключается в разрешении указанного противоречия путём разработки научно-обоснованных методических рекомендаций по организации и проведению итогового повторения школьного курса математики.

Из этого следует, что актуальность  обосновывается задачами модернизации образования и дальнейшим становлением системы подготовки школьников к ЕГЭ, направленной на повышение эффективности математического образования.

Основными целями математического образования являются:

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе;

- овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

- воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

В основу отбора содержания общего математического образования положен принцип реализации поставленных целей на небольшом по объему информационно емком и практически значимом материале, доступном для учащихся школьного возраста. При этом представляется необходимым руководствоваться принципом преемственности, или разумного консерватизма, что обусловлено в первую очередь тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий, отражает тот объем математических знаний, которые, с одной стороны, являются фундаментом математической науки, а с другой - доступны учащимся. Принцип преемственности должен сочетаться с современными

тенденциями развития отечественной и зарубежной школы.

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения ими. Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала.

Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не даст надлежащего эффекта.

Проблема повторения широко обсуждается в литературе. Большое значение повторению учебного материала и упражнений придавали Я.А.Коменский, Н.И.Лобачевский, К.Д.Ушинский . Широко известны классификации повторений по различным признакам [О.А.Аракелян, М.К.Бишевский, Л.Ю. Березина и др. ], описаны приемы и методы организации повторения. В основу решения проблемы повышения качества математического образования положены: теория Н.Я. Гальперина об управлении познавательной деятельностью ученика, психологический принцип Л.В. Выготского о ведущей роли обучения в развитии личности.

Анализ проведения государственной итоговой аттестации по математике показывают невысокие результаты при решении геометрических задач.  Значительное число учащихся, которые вообще не дали никакого ответа на геометрические задания, объясняется двумя причинами. Во-первых, результаты экзамена показывают, что некоторые учащиеся, приступившие к решению, не смогли довести его до получения ответа. Во-вторых, многие выпускники вообще не приступают к решению, если они не предполагают поступать в вузы, в которых нужно сдавать экзамен по математике, и участвуют в ЕГЭ с целью получения аттестационной отметки по математике и выполняют

задания по алгебре.

Кроме того, часть учащихся получили при решении задач неверный ответ. Пытаются решить геометрическую задачу, как правило, достаточно сильные выпускники. Однако многим из них не хватает знаний или умений применить свои знания. Такие задачи отличаются от большинства обычных учебных задач, направленных на отработку материала темы, изучающейся в данный момент.

            В связи с этим представляется важным формировать у учащихся системные знания о свойствах фигур. Конечно, при изучении каждой конкретной темы основное внимание уделяется вновь изучаемому материалу. Но вместе с тем очень важно установить взаимосвязь нового материала с тем материалом, который изучался ранее в связи с рассматриваемой фигурой. Например, при изучении окружностей, вписанных в треугольник или описанных около треугольника, рассматривается вопрос о положении центров таких окружностей, в первом случае, в точке пересечения биссектрис треугольника, во втором — в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Кроме того, при совместном с учащимися решении задач в классе необходимо помнить, что цель этой работы состоит не в том, чтобы решить конкретную задачу, а в том, чтобы сформировать умения решать подобные задачи. Поэтому, рассматривая данную конфигурацию, нужно обращать внимание учащихся на то, какие геометрические факты можно было бы применить для решения задачи, и на выбор способа решения.

 К  субъективным причинам, которые повлияли на результат сдачи ЕГЭ по математике  можно отнести следующие:

• В целом не сформировано умение учащихся  работать с тестовыми заданиями. Не выработан достаточный опыт подготовки учащихся к сдаче экзамена в формате ЕГЭ.
• Помимо подготовительной работы по предмету необходима техническая подготовка: для всех учащихся, нужна тренировка заполнения бланков (так как допускается много технических ошибок по заполнению бланков выпускниками).
• Необходима плановая и контролируемая работа по подготовке учащихся к ЕГЭ, выполнению учебных программ, контролю используемых УМК.
•  Недостаточная ответственность педагогического коллектива за объективность выставляемых годовых оценок и допуска выпускников к итоговой аттестации.
•  Выявлены недостатки подготовки педагога в области форм итоговой аттестации. Подготовка к сдаче ЕГЭ обязательно должна отличаться от традиционного повторения школьной программы и должна быть строго ориентирована на определенную форму экзамена и на специфическую систему проверки.

В свете вышесказанного следует, что, несмотря на всю важность и значимость курса геометрии в школьной программе, большему количеству разработок в плане итогового повторения, процент верно выполненных планиметрических заданий в ГИА находится на низком уровне.

Поэтому особую роль в формировании системных знаний по геометрии необходимо отводить достаточное время  повторению материала всего курса геометрии, начиная с планиметрии. Именно при повторении, когда нет необходимости рассматривать материал в том порядке, который обусловлен логикой построения теоретической линии курса, можно выстроить последовательность рассмотрения материала, группируя его вокруг определенных фигур (треугольник, параллелограмм, окружность и т.д.)

Чтобы качественно готовить учащихся к решению геометрических задач необходимо проводить итоговое повторение по данным темам. Однако, в виду загруженности программы и нехватки часов итоговое повторение

осуществляется не в полном объеме, или не осуществляется вовсе.

Проблема исследования заключается в систематизации знаний учащихся и проведения итогового повторения курса планиметрии, с учетом применения в стереометрии.

Объект исследования - Процесс повторения планиметрии,  в том числе  через решение стереометрических задач  учащимися общеобразовательной школы.

Предмет исследования - Методическая система организации итогового повторения геометрии  и систематизация приемов и методов решения геометрических  задач.

Цель исследования - Обосновать необходимость итогового повторения геометрии, выяснить, какова роль итогового повторения курса геометрии при подготовке к ЕГЭ, выявить условия организации школьного курса.

Для достижения цели исследования, были определены следующие задачи:

- провести анализ научно-методической, математической, психолого-педагогической литературы по теме исследования;

- выделить цели и особенности организации и проведения итогового повторения школьного курса математики;

- выделить основные и специальные методы решения геометрических  задач;

- разработать методические рекомендации по теме исследования;

- провести опытную проверку разработанной методики.

Проблема, цели, задачи обусловили выбор методов исследования:

- анализ научной, методической, математической литературы по теме;

- анализ результатов решения геометрических задач в ГИА;

- проведение диагностики решения геометрических задач;

Значимость состоит в том, что результаты и выводы исследования, содержание уроков итогового повторения могут быть использованы учителями при проведении уроков по разработанной тематике через

• Разработка технологий, позволяющих целенаправленно организовать повторение учебного материала на всех этапах учебного процесса.

• Разработка системы задач, направленных на углубление и расширение знаний учащихся по основным вопросам школьного курса математики.

• Использование личностно-ориентированного подхода при организации повторения.

Повторение программного материала по геометрии должна осуществляться через обеспечение положительной мотивации учащихся на повторение ранее изученного материала;

Используя данный опыт, можно получить устойчивые положительные результаты:

Если:

• будет обеспечена положительная мотивация учащихся на повторение ранее изученного материала;

 выделение узловых вопросов программы, предназначенных для итогового  повторения вопросов геометрии;

• в учебном процессе будет реализован личностно-ориентированный подход при обучении математике;

• будет применяться система задач, которая способствует расширению, углублению, систематизации знаний учащихся;

• содержание повторяемого материала и способы его подачи будут способствовать активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках и в процессе самостоятельного приобретения знаний;

• в процесс деятельности учащихся в арсенал приемов и методов мышления будут включены индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация знаний;

• использование различных видов повторения (вводное, текущее, поддерживающее, итоговое, систематизирующее, обобщающее);

• использование схем, моделей, опорных конспектов, справочников.

Глава №1

Структура  контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике

Единый  государственный экзамен (ЕГЭ) представляет собой форму объективной оценки качества лиц, освоивших образовательные программы среднего общего образования, с использованием заданий стандартизированной форма (КИМ). ЕГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012 №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации ». Контрольные измерительные материалы (КИМ) позволяют установить уровень освоения выпускниками Федерального компонента образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования России от 05.03.2004 №1089) .

Тексты заданий экзаменационной работы в целом соответствует формулировкам, принятым в учебниках и учебных пособиях, включенных в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых Министерством образования и науки РФ к использованию при реализации образовательных программ основного общего и среднего общего образования.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий-

-часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби,

-часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых знаний и практических применений математических знаний в повседневных ситуациях, предназначены для определения математических компетенций выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне.

Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне. Задания предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов.

Распределение заданий КИМ по содержанию, видам умений и способа действий следующее.

Задания части 1 проверяют следующий учебный материал:

1. Математика, 5-6 классы;
2. Алгебра, 7-9 классы;
3. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы;
4. Теория вероятностей и статистика.

Задания части 2 проверяют следующий учебный материал:

1. Алгебра, 7-9 классы;
2. Алгебра и начала анализа;
3. Геометрия, 7-11 классы.

          Распределение заданий экзаменационной работы по содержательным разделам курса математики

Содержание экзаменационной работы дает возможность проверить комплекс умений по предмету:

- уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

- уметь выполнять вычисления и преобразования;

- уметь решать уравнения и неравенства;

- уметь выполнять действия с функциями;

- уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и  векторам;

- уметь строить и исследовать математические модели.

            По итогам  сдачи ЕГЭ по математике в 2015 году успешность выполнения заданий базового уровня составляет 40-90%: действия с целыми числами; табличное и графическое представление данных; вычисление площади треугольника, параллелограмма, трапеции; вычисление вероятности события, решение показательных, логарифмических, иррациональных, рациональных уравнений. Трудности вызывают базовые задания по математическому анализу.

Повышенный уровень сложности. Успешность выполнения составляет 30-50%: наилучшие показатели достигнуты при решении уравнений и вычислении значений выражений. Трудности вызывают задания на применение стереометрии при решении практических задач.

Выполнение заданий профильного уровня около 40%. Задания на понимание смысла производной выполняет меньше половины участников профильного экзамена. Эта величина почти не меняется в течение последних пяти лет. При изучении начал математического анализа следует смещать акцент с формальных вычислений на понимание базовых понятий. Ненулевые баллы по этому заданию получило около 15%.

В базовом уровне более 50% участников решают геометрические задачи прикладного характера. Тем не менее, меньше половины участников справилось с заданием по вычислению объёма шара (задание можно было выполнить с использованием справочных материалов).

Вычислительные задания. Около 70% участников экзамена владеют вычислительными умениями.

Алгебра и математический анализ. Подавляющее количество участников справилось с основными задачами этого раздела, но в полном объёме все разделы программы старшей школы освоили менее половины участников, что свидетельствует о том, что изучение величин происходит формально, не формируется умения оценивать значения величины с точки зрения реалистичности, у учащихся не формируется чувство числа.

Итоги ЕГЭ 2015 по математике в целом неутешительны: слишком мало выпускников имеют достаточный для поступления в профильный вуз уровень подготовки. Вот ключевые проблемы:

несформированность базовой логической культуры;

недостаточные геометрические знания, графическая культура;

неумение проводить анализ условия, искать пути решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации;

неразвитость регулятивных умений: находить и исправлять собственные ошибки.

           Поэтому при подготовке к ЕГЭ необходимо обратить внимание на освоение программного материала следующих разделов геометрии:

1. Треугольники. Свойства. Площади.
2. Четырехугольники. Свойства. Площади.
3. Окружность.  Круг.  (Соотношения элементов окружности и круга. Вписанный угол.  Вписанная и описанная окружность.)
4. Прямые и плоскости в пространстве.
5. Многогранники: призма, пирамида, усеченная пирамида.
6. Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар, сфера.

Глава №2

Повторение курса геометрии при подготовке к ЕГЭ по математике.

1. Дидактические основания  уроков повторения курса геометрии при подготовке к ЕГЭ по математике.

При решении проблемы организации повторения курса геометрии с целью качественной сдачи ЕГЭ по математики необходимо учитывать дидактические основания, существующие в современной науке.

В современной дидактике существует классификация уроков по основной образовательной цели. Основная дидактическая цель уроков повторения заключается в предотвращении забывания усвоенного материала, углублении сведений о ранее изученном, уточнении приобретенных представлений. Для уроков повторения главное заключается в упрочении в памяти основных положений темы. Всякая работа, связанная с повторением и закреплением материала, несет в себе элементы систематизации и обобщения. Для систематизации и обобщения выделяются узловые вопросы программы. Особенности этого типа урока заключаются в том, что при их проведении используются обзорные лекции, устный опрос, организация упражнений по формированию и углублению практических умений и навыков. Широкое применение на таких уроках схем и моделей дает возможность направить внимание учащихся, их сознание, мышление на раскрытие закономерных связей и отношений. В своей практике я использую  различные виды повторения: вводное, текущее, поддерживающее, итоговое, систематизирующее, обобщающее.

Повторение обеспечивает прочность усвоения знаний. Умственное развитие при повторении обеспечивается его вариативностью.

Практика показывает, что каждый учитель сталкивается с проблемой повторения и закрепления материала. Решение этой проблемы учителем начинается с обеспечения положительной мотивации учащихся на повторение ранее изученного и усвоенного материала, раскрывается перспектива учебной деятельности, устанавливается связь учебного материала, предназначенного для повторения, с идеями, которые предстоит освоить, ученики убеждаются, что эти идеи интересны и важны.

 В своей практике я  использую различные виды уроков повторения, но наиболее эффективными являются уроки, на которых осуществляется систематизация и обобщение изученного материала. Приступая к итоговому повторению, учащиеся знакомятся с последовательностью, в которой будут рассматриваться вопросы, затем в каждой теме выделяется теоретический материал, знание которого необходимо для обоснования решения задач.   Повторение темы начинается с обзорной лекции, в которой полностью освещаются вопросы теории: обобщение  основных понятий  данной темы, даются приемы и методы решения задач, углубляются и расширяются знания учащихся.

На последующих уроках даются образцы решения задач. Установлено, что повторение протекает успешно, если оно проводится на вариативном материале, с постоянным нарастанием сложности заданий. Благодаря этому повторяемый материал рассматривается с разных сторон, выявляются связи его с другими разделами курса, что способствует более полной и глубокой систематизации знаний учащихся. В результате этого происходит перенос знаний, умений и навыков на более высокий уровень.

Главная цель уроков обобщающего повторения – систематизировать знания, полученные учащимися в основной школе, выделить общие методы и приемы решения математических задач по определенным темам, указав в них стандартные элементы, продемонстрировать технику решения как простых, так и относительно сложных задач.

В качестве заданий, углубляющих и расширяющих знаний учащихся, используются материалы ЕГЭ прошлых лет.

Для успешного выполнения заданий ЕГЭ учащиеся должны быть знакомы тестовой технологией. В это связи необходимо органично включать тестовые формы контроля в учебный процесс, помогая учащимся овладевать техникой работы с тестами, постепенно готовя к ЕГЭ.

   На уроках необходимо учить школьников «технике» сдачи теста: обучать постоянному самоконтролю времени, оценке объективной и субъективной трудности, формировать умение прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения.

В своей работе можно использовать следующие принципы подготовки к ЕГЭ.

Первый принцип – «тематический». Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая «правило спирали» - от простых типовых заданий до заданий  уровня со «звездочками», от комплексных типовых заданий до заданий раздела С.

Второй принцип – «тренировочный». Переход к комплексным тестам разумен только в конце подготовки (апрель-май), когда у школьника накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.

Третий принцип – «временной». Все тренировочные тесты следует проводить с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться проводить в  режиме с подчеркнутым акцентированием контроля времени.

Четвертый принцип – «контролирующий». Максимализация нагрузки по содержанию и по времени для всех школьников одинакова. Это необходимо, поскольку тест по своему назначению ставит всех в равные условия и предполагает объективный контроль результатов.

Особое место и значимость приобретает в связи с проведением ЕГЭ организация тематического контроля  на уроках математики. Все самостоятельные и проверочные работы  по объему и типам заданий необходимо приблизить к формату ЕГЭ.

Необходимо проводить предварительную подготовку учащихся к особой форме контроля, которая отличает ЕГЭ от традиционных вступительных и выпускных экзаменов, - наряду с традиционными методами и формами проверки знаний учащихся органично включать тестовые формы контроля, используя сравнимые с вариантами КИМ  по тематике и числу заданий проверочные работы, включающие различные по форме задания (с кратким ответом, с развернутым ответом).

Целесообразно в 11 классе провести в течение учебного года 6-9 работы, аналогичные ЕГЭ. Кроме того, необходимо предлагать учащимся итоговые тематические или полугодовые работы, по своему объему и типам заданий приближенные к «формату» ЕГЭ, но ограниченные по времени 1-2 уроками.

Сформированность вычислительных навыков учащихся является критерием, характеризующим качество математической подготовки школьников. Поэтому на каждом уроке математики и в старшей школе необходимо проводить большую работу по выработке умения сознательно, быстро и безошибочно выполнять действия над числами. Наиболее актуальной эта работа становится на этапе подготовки к ЕГЭ.

Диагностика уровня усвоения знаний и умений на каждом этапе обучения позволяет оптимально выбирать формы и методы обучения, а также формы коррекции ошибок и пробелов в усвоении и применении знаний и умений.

Важно организовать повторение так, чтобы оно естественным образом вписывалось в урок, проходило на более высоком уровне, устанавливая новые связи между старыми известными звеньями.

В процессе математической деятельности учащихся в арсенал приемов и методов мышления включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умения действовать по заданному алгоритму и конструировать новые в ходе решения задач.

В ходе изучения курса геометрии, решение конкретных задач - это не самоцель. Главной целью должно являться формирование умений анализировать предлагаемую конфигурацию, видеть в ней детали, их свойства, позволяющими обосновывать шаги решения и проводить вычисления.

Умение решать задачи на базовом уровне – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Все действия могут осуществляться только в процессе решения задач. Решение задач должно превалировать в обучении. Задачи, включаемые в ЕГЭ, являются абитуриентскими, они проверяют усвоение курса геометрии на повышенном уровне. Анализ показывает, что эти задачи почти никто не решает, точнее будет сказано – не приступает к решению. Отсутствие задач  по геометрии в КИМах государственной итоговой аттестации  до 2012  привело к тому, что обучению геометрии  стало уделяется меньше внимания, чем алгебре. По результатам ЕГЭ можно говорить о неподготовленности значительного числа выпускников к записи обоснованного решения задач по геометрии. Большинство решений, приводимых учащимися, направлены на вычисление искомых геометрических величин и не сопровождаются соответствующими объяснениями.

       Указанным недочетам есть несколько объяснений.

1) В течение многих лет в школе на изучение геометрии отводится только два часа в неделю, и экзамен был переведен в ранг экзамена по выбору.

2) На вступительных экзаменах в средние специальные и высшие учебные заведения  перестали требовать обоснование при записи решений геометрических задач (все чаще использовались лишь задания с выбором или кратким ответом).

3) В школе задания на вычисления вытеснили задачи на доказательство, которые способствовали развитию умения обосновывать приводимые утверждения и умозаключения.

Постепенно это привело к снижению качества выполнения обоснований учащимися при решении геометрических задач. Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяют своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

 Чтобы успешно решать геометрические задачи, нужно:

1. знать свойства опорных конфигураций;
2. уметь проанализировать предлагаемую задачу, выделить основные конфигурации, распознать в ней опорную, установить связи между ее элементами, их взаимное расположение;
3. организовать повторение на каждом уроке параллельно с изучением нового материала;
4. организовать обобщающее повторение не по блокам, как изучали по программе, за основу повторения принимать вид фигуры, тогда будет получаться обобщающее рассмотрение свойств опорных конфигураций;
5. требовать от учащихся обоснования наиболее важных шагов, которые являются ключевыми, логическими;
6. научить обучающихся применять теорему, а не воспроизводить ее доказательство;
7. систематически включать в содержание уроков задачи простого и комплексного характера;
8. при анализе стереометрических задач опираться на  обобщающие свойства опорных конфигураций;
9. при решении задач требовать от ученика обоснования только наиболее важных шагов;
10. проводить анализ всех решаемых задач письменно;
11. на каждом уроке проводить устную работу по решению опорных задач;
12. помнить, что гораздо важнее, чтобы учащиеся научились применять теоремы, чем воспроизводить их доказательства.

2. Методы и формы работы при подготовке к ЕГЭ по математике

Введение ЕГЭ по математике вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя. Данная необходимость обусловлена тем, что изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена по математике. Само содержание образования существенно не изменилось, но существенно сместился акцент к требованиям умений и навыкам. Изменилась формулировка вопросов: вопросы стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует детального анализа задачи.  Содержание задач изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в общеобразовательной программе не отводится достаточное количество часов.

 Кроме этого, к сожалению, научно-методические службы не обеспечивают школы новыми, соответствующими современным требованиям, учебно-методическими комплексами, поэтому учителям приходится самим находить пути решения данной проблемы. И здесь уже однозначного решения нет: подготовленность детей разная, уровень классов разный. В этой ситуации в наиболее выгодном положении находятся классы с углубленным изучением математики.

Необходимо обратить внимание на изменение тематического планирования. Составить планирование таким образом, чтобы осталось достаточное число часов на повторение всего учебного материала. Количество часов можно сэкономить на тех темах, которые не требуют выработки навыков, а проходят в плане ознакомления, а также сократить число часов на отработку навыков невостребованных тем. Это надо делать очень осторожно, тщательно проанализировав содержание экзаменационных работ.

1. Включать в изучение текущего учебного материала задания, соответствующие экзаменационным заданиям.
2. В содержание текущего контроля включать экзаменационные задачи.
3. Изменить систему контроля над уровнем знаний учащихся по математике

Итоговое повторение построить исключительно на отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на экзамене.

Уроки повторения строятся следующим образом. На уроке разбираются типовые задачи по 2-3 темам. На дом задаются аналогичные задачи. На следующем уроке выясняются затруднения, которые возникли у учеников, прорабатывают эти задачи. Затем даётся проверочная работа. Ученики, не сдавшие зачёт, обязаны дома проработать дополнительный вариант и сдать зачёт на дополнительном занятии. Через определённое число уроков проводится тренировочная работа по целому блоку тем, анализируется, корректируется и проводится зачетная работа по данному блоку тем. Затем цикл повторяется по другим темам. После обобщающего повторения проводятся (две) предэкзаменационные работы в условиях, приближенных экзамена-ционным.

Важно, чтобы все ученики сдали обязательную часть зачетной работы. В зачётную работу можно (нужно) включать не только обязательные задания, но и более сложные (для подготовленных учеников).

Подготовка ко второй части работы осуществляется как на уроках, так и во внеурочное время на элективных курсах. Используются сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ и МИИО.

Важным условием успешной подготовки к экзаменам является тщательность в отслеживании результатов учеников по всем темам и в своевременной коррекции уровня усвоения учебного материала.

Конечно же, данная система требует большего количества времени учителя на подготовку к урокам, на проверку работ, на проведение дополнительных занятий. Но, если учитель заинтересован в результатах своего труда, то ему в любом случае необходимо совершенствовать систему контроля над уровнем знаний и умений учащихся.

Геометрические фигуры, измерение геометрических величин, изучение геометрии подвергается весьма существенному пересмотру, предлагается отказаться от строго дедуктивного построения курса, усилив внимание к его наглядно - эмпирическому аспекту.

Проблемой обучения учащихся решению планиметрических задач занимались математики: Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В., Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. и др. Много было выпущено литературы для подготовки к ГИА этими математиками.

В связи с включением в ЕГЭ задач геометрического содержания, возрастает роль повторения и закрепления материала по планиметрии.

      Повторение можно классифицировать в зависимости от содержания повторяемого материала: повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности.

       Обобщающее повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение па уровне теорий - в группе наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.

       При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, учащиеся учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся вырабатываются умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий по этим признакам.

        Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения и сравнения.

        Например, при повторении понятия касательная к окружности полезно, чтобы ученики свойство касательной (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания) переформулировали в определение касательной: прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной к окружности. Определение касательной (прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности) переформулировали как свойство касательной: касательная с окружностью имеет одну общую точку.

        При обобщающем повторении на уровне системы понятий отыскиваются новые связи и отношения между понятиями, прослеживается развитие определенных понятий в их иерархических зависимостях, при этом происходит либо обогащение и расширение понятий, либо образование новых. Обобщающее повторение на уровне системы понятий должно быть также направлено на выявление общих свойств группы понятий и на их распространение на другие понятия, при этом на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Сначала следует выделить отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов, затем отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов. К ним следует отнести отношения тождества, несогласованности, подчинения, соподчинения, частичного совпадения.

        Для того чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура, полезно также представить полученные результаты обобщения в виде классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей. В схемах и таблицах выделяются не только элементы схемы, но и отражаются отношения между ними. Охватывая разом множество понятий, учащимся легче проследить за развитием узловых понятий, увидеть, в какие отношения вступает каждое из них с остальными. Схемы выступают как модель структуры учебного материала и как средство лучшего отражения этой структуры в сознании учения. Они помогают школьникам получить целостное представление об изученной порции учебного материала.

        Например,  при обобщающем повторении темы «Многоугольники» происходит сопоставление понятий треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, выясняются связи между ними. Эти понятия включаются в новые отношения, учащиеся устанавливают иерархию понятий.

          Методы работы с таблицами и схемами различны: учитель проводит беседу, выразив ее результаты в виде схемы; знакомит учащихся с планом беседы, а затем по этому плану проводит ее; знакомит учащихся со схемой, по которой они самостоятельно проводят обобщение, предлагает учащимся самостоятельно обобщить материал и выразить результаты в виде схемы. Рассмотрев схему с учащимися, учитель предлагает серию вопросов:

1. Как определить ромб через четырехугольник, квадрат через четырехугольник, квадрат через ромб?
2. Можно ли определить ромб через прямоугольник?
3. Что является пересечением множества всех прямоугольников и множества всех ромбов?

     Методика организации работы учащихся по данной теме может быть и другой. Например, учитель может лишь определить цель работы и указать основные вопросы, на которые учащиеся должны найти ответы; определить не только цель работы и перечень вопросов, но и раскрыть этапы и методику работы над этими вопросами.

  При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений понятий. Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам. Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией. Обобщающее повторение на уровне теорий освещает полученные знания не только в плане внутри предметных, но и меж предметных связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций одной какой-либо теории.

       Например, при повторении темы «Векторы» основное внимание следует уделить векторному методу решения задач. Сначала необходимо повторить основные теоретические факты: коллинеарность и равенство векторов, сложение, вычитание и умножение вектора на число. Основное время урока следует отвести для решения задач, показывающих применение векторов при доказательстве и решении задач.

1. Доказать для того, чтобы C было серединой отрезка AB необходимо и достаточно выполнение векторного равенства.
2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.
3. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.

2.3 Работа по формированию  и развитию у учащихся пространственных представлений

Одной из самых важных целей преподавания геометрии является формирование и развитие  у учащихся пространственных представлений, способностей и умения производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят себя техническим профессиям, но и для тех, кто выберет профессию художника, дизайнера, модельера, хирурга, астронома. Слабое развитие пространственных представлений затрудняет изучение ряда учебных  дисциплин,   а в деятельности взрослого человека может стать причиной многих неудач.  Важно сформировать представление о геометрии как об аксиоматической науке, что позволит им получить целостное представление о математике и иметь предпосылки для успешного обучения геометрии в будущем.  Систематическая работа над формированием и развитием пространственных представлений приводит к их  улучшению даже при наличии  средних природных данных. 

       При повторении курса стереометрии тоже полезно группировать материал вокруг определенных фигур — пирамиды, призмы, конуса и т.п. Рассматривая те или иные фигуры, необходимо не только вспомнить свойства фигуры и формулы боковой поверхности и объема, но также повторить те геометрические факты, которые используются для определения элементов данной фигуры.

         Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве, применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня — это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью Типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ, тем не менее, процент их верного решения невысок.

Необходимо обратить внимание, что для того, чтобы повторение сыграло определенную положительную роль, нужно не эпизодическое, а систематическое, целенаправленное его использование после изучения различных тем, разделов и всего курса в целом. 

      Задания ЕГЭ по математике  направлены на проверку таких качеств геометрической подготовки выпускников, как:

- умение решить геометрические  задачи, применяя различные теоретические знания всего курса геометрии;

- умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

- владение широким спектром приемов и способов рассуждений. 

 С этой задачей позволяет справиться и  организация элективного курса  «Комбинации геометрических фигур» для учащихся  11 класса.

Цели курса:

удовлетворение потребностей и интересов обучающихся, с целью  подготовки к ЕГЭ через решение геометрических задач:

• формирование новых видов познавательной и практической деятельности
• развитие логического мышления, пространственного воображения, гибкости ума  и независимость  логического мышления
• воспитание таких качеств, как,  интеллектуальная восприимчивость и способность усвоения новой информации.

Задачи курса:

-дополнить знания теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи,

- расширить и углубить представления о приемах и методах решения стереометрических задач,

-помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного пользования,

- обеспечить наглядность, логическую строгость рассуждений и обоснованность выводов,

- создать условия для выдвижения различных гипотез при  поиске решения задачи и доказательств верности или ложности этих гипотез,

- способствовать практической направленности курса, реализуя с помощью аналитического метода вычислительных задач,

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Требования к уровню подготовки обучающихся:

-  выполнять чертежи по тексту задачи, выделять проекции,

- точно и грамотно  формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач,

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению тригонометрических задач,

-  уметь анализировать и  выбирать наиболее рациональный способ ее решения.

В планирование включены следующие темы:

• Изображение пространственных фигур
• Комбинации многогранников
• Комбинации многогранников и тел вращения
• Комбинации тел вращения
• Сложные комбинации
• Решение разнообразных задач

2.4 Основной метод решения геометрических задач

Анализируя математическую литературу, можно  выделить  основной метод решения геометрических  задач- метод дополнительных построений (конструктивный).

Суть метода дополнительных построений заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

     Существуют задачи, в которых дополнительное построение определяет единственный способ решения; в них решение, как правило, начинается с такого построения. В других задачах используется смешанный прием решения, когда дополнительное построение реализует лишь часть решения. В третьих задачах оно применяется как один из возможных методов наряду с другими, хотя может и не являться лучшим. Во многих случаях применение дополнительного построения делает решение задачи устным.

Например.

В окружности с центром О проведены две равные хорды АВ и СD. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и ОL соответственно. Докажите, что ОК и ОL равны.

Решение: Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD. Треугольники АОВ и СОD равны по трём сторонам. ОК и ОL - их высоты, проведённые к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных треугольников.

       Часто решающий задачу интуитивно использует дополнительное построение, но, не выделяя его как метод, может не увидеть целесообразности его применения в других, более сложных или даже аналогичных задачах.

        Как узнать, какое дополнительное построение следует выполнять в том или ином случае? Ответ на этот вопрос дает своего рода классификация дополнительных построений, связанная с характерными признаками фигуры, данной в задаче. Тщательный анализ решений достаточно большого количества задач, в которых дополнительное построение используется прямо или косвенно, показал, что целесообразность применения того или иного дополнительного построения зависит от этих признаков.

       В соответствии с назначением и особенностями задач с развернутым ответом и требованиями к подготовке учащихся по геометрии, достижение которых проверяется этими заданиями, в решениях фиксируются следующие аспекты, характеризующие его полноту и правильность:

- конечный результат (для вычислительных задач – правильный ответ), полученный при верном ходе решения;

- выполнение промежуточных построений, вычислений;

- обоснование выводов (шагов), приводящих к правильному ответу;

- логика решения.

Практика показывает, что с учетом этих аспектов может быть проверено и объективно оценено решение любой геометрической задачи при любом способе ее решения и аргументации (отличающейся в зависимости от обучения по разным учебникам).

Заключение

Итак, с целью качественной подготовки к ЕГЭ по математике, в частности  раздела Геометрия, необходимо обратить внимание на:

- повторение основных понятий и формул планиметрии и стереометрии,

- выделить «проблемные темы» каждого выпускника  и планомерно работать над ликвидацией пробелов в знаниях и умениях каждого, организуя дифференцированную подготовку,

- определить индивидуально для каждого выпускника перечень тем, по которым есть продвижение, и работать над их развитием,

-с сильными выпускниками, помимо ежеурочной тренировки в решении базового уровня сложности (в виде устной и самостоятельной работы), проводить разбор методов решения задач повышенного уровня сложности, проверяя  усвоение этих методов на самостоятельных работах и дополнительных занятиях с использованием материалов открытого банка ЕГЭ.

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Часть 1, учебник М., Мнемозина, 2013

2. Мордкович А.Г., Семенов  П.В. «Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Часть 2, задачник  М., Мнемозина ,2013

3.  Мордкович А.Г.,  Семенов  П.В. «Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Методическое пособие для учителя М., Мнемозина, 2013

4. Глизбург В.И.  «Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Контрольные работы М., Мнемозина, 2013

5. Атанасян Л.С.,  Бутузов  В.Ф. «Геометрия 10-11» М., Просвещение, 2013

6. Саакян С.М., Бутузов  В.Ф. «Изучение геометрии 10-11 класс». Методические рекомендации.  М., Просвещение, 2010

7. Зив Б.Г.  Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. М., Просвещение, 2007

8.  Саакян С.М.  Бутузов В.Ф. Контрольные работы  «Изучение геометрии 10-11 класс» М., Просвещение, 2010

9. Лысенко Ф.Ф. Математика. Устные вычисления и быстрый счет. Тренировочные упражнения за курс 7-11 классов. Ростов-на-Дону, Легион-М, 2010

10. Ромашкова Е.В.  Функции и графики в 10-11 классах – М., Илекса, 2011-09-04

11. Колесникова С.И. Решение сложных задач ЕГЭ по математике - М., ВАКО, 2011

12. Макеева А.В. Карточки по тригонометрии 10-11 классы – Саратов, «Лицей», 2002

13. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике 5-11 классы. М., «Первое сентября», 2003

14. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы – М.. «Русское слово», 1998

15. Полонский В. Задачник к школьному курсу по геометрии 7-11 класс – М., АСТ-ПРЕСС, 1998

16. Лысенко Ф.Ф. Подготовка к ЕГЭ – 2011. Ростов-на-Дону «Легион- М» 2011

17. Ким  Н.А.  Технология подготовки учащихся к ЕГЭ. Волгоград: Учитель, 2010

18. Лысенко Ф.Ф. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ, задание С5. Ростов-на-Дону «Легион- М» 2011

19. Шевкин А.В. Математика. Подготовка к ЕГЭ, задание С6. М., «Экзамен», 2012

20. Интернет-ресурсы: ЦОР,  «Решу ЕГЭ».

21. Сборник заданий С1,С2,С5 образца 2010 г. Автор: Корянов А.Г. (г. Брянск)  Сайт «Кафедра высшей математики РГОТУПС» http://     alexlarin.narod.ru

22.Сайт Ольги Себедаш. ЕГЭ   2011.Видеоуроки.      http://www.egetrener.ru

23.Сайт Федеральный институт педагогических измерений. www.fipi.ru

24.Открытый банк заданий по математике.www.mathege.ru.