Построение сечений многогранников
консультация по геометрии (10 класс) на тему

Построение сечений многогранников

на основе системы аксиом

стереометрии.

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми -  невидимые стороны полученного многоугольника - сечения (рис. 1-4).

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис. 1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ; на рис. 2 секущая плоскость задана точками М, N и L, принадлежащими ребрам соответственно   АА1,   В1С1   и   АD   куба

                                                                                Рис. 3

АВСDА1B1C1D1; на рис. 3 секущая плоскость проходит через вершину А основания АВСD перпендикулярно ребру РС правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, высота РО которой образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4 построено сечение куба АВСВА1В1С1В1 плоскостью, проходящей через его центр М перпендикулярно диагонали А1С.                            

D1                        H                      С1

                                                                                          Рис. 4

Эти сечения построены разными методами. Причем в двух первых случаях точки, определяющие секущую плоскость, могут быть любыми на ребрах многогранника, поэтому и секущая плоскость определена неоднозначно; в каждом из двух последних случаев секущая плоскость определяется однозначно метрическими свойствами многогранника и условиями расположения этой плоскости относительно данного многогранника. Но тем не менее во всех четырех случаях сечение каждого из многогранников строится по определенным правилам, с учетом аксиом стереометрии, аффинных и метрических свойств данного многогранника.

Примеры решения задач, используя аксиомы стереометрии.

Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и         Н— внутренние точки соответственно ребер   РС,   РВ  и АВ (рис. 5, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения (рис. 5, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения (рис. 5, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 5, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 5, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR (рис.5,е).

■ Р

                                                                                                                                       Рис. 6

Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью  α = (КНР), где K, H и P — внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и  MD  (рис. 6, а).

Решение. Первые два шага аналогичны шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате получим стороны КР и КН (рис. 6, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и стороны многоугольника — сечения.

3-й шаг. Продолжим отрезок КР до пересечения с прямой AD в точке F(рис. 6, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей  α  и АВС.

4-й шаг. Продолжим отрезок КН до пересечения с прямой АВ в точке L (рис. 6, г). Так как прямая  КН лежит в секущей плоскости  α,   то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

Таким образом, точки F и L являются общими для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α  пересекает плоскость АВС основания пирамиды по прямой FL.

5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 6, д), которые служат вершинами искомого сечения. Значит, плоскость  α пересекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.

6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 6, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получаем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пирамиды MABCD  (рис. 6, е).

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 3. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 7, а).

Решение. Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 7,б), при этом   T1 є α,  так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис. 7, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 7, г), при этом Т2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и  в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 7, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая  MR  лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине искомого сечения (рис. 7, е).

Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 7, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 7, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т1 = QK ∩АС;       2. F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF;       4. М = Т1Т2 ∩ DE;

5. N = Т1Т2 ∩ АЕ;       6. Н = MR ∩ PD;

7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ;      8. L = T3K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Замечание. Сечение пирамиды на рис. 1 и сечение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.

Вместе с тем сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

Например, рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда (рис. 8). Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью  MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD1, ВВ1 и СС1 1   параллелепипеда АВСВА1В1С1В1   (рис. 8, а).

Обозначим: (MPR) = α  - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 8, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС1D1D и ВВ1С1С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА1В1В параллельна грани СС1D1D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1В1В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 8, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА1D1D параллельна грани СС1В1В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1D1D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 8, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH  (рис. 8, г) и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда. Штриховыми линиями проводим невидимые стороны MR,  RP и QH этого сечения.

Замечание. При построении сечения куба на рис. 4 использованы параллельность противоположных граней куба, а также параллельность секущей плоскости и плоскости  ВС1D.  

Рис. 8

Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников.

Определение.

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 9). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости  α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1  данной призмы.

                                               Е1         D1

Рис. 9

Для построения точки N =α ∩ СС1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α  с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α.  Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α.   Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ. Отсюда

Построение. Строим (рис. 10):

1. X = l ∩ СD (рис. 10, б);
2. N = МХ ∩ СС1  (рис. 10, в);
3. У = l ∩ ВС (рис. 10, г);
4. Р = NY ∩  ВВ1  (рис. 10, д);
5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 10, е);
6. Q= РZ ∩ АА1  (рис. 10, ж);

7. T= l ∩ АЕ   (рис. 10, з);
8. R= QT ∩  ЕЕ1  (рис. 10, и).

Пятиугольник   MNPQR — искомое сечение (рис. 10, к).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ   принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α ,  X є α => МХ є α, тогда     МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;

N є α,  Y є α => NY є α, тогда  NY ∩  ВВ1= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;

Р є α,  Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА1  = Q є α, значит, Q = α ∩ АA1;

Q є α,  T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точкиN, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда!) единственное решение. Рис. 10

Задача 2. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение.   Схематически   построение искомого сечения можно изобразить так (рис. 11): T1 → Q → Т2 → R → Т3 → М → Т4 → N.

Пятиугольник MNKQR — искомое сечение.

«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:

1. Т1= l ∩ АЕ;     2. Q = Т1К ∩ РА;

3. Т2 = l ∩ АВ;     4. R = Т2Q ∩ РВ;

5. Т3 = l ∩ ВС;     6. М - T3R ∩ РС;

7. Т4 = l ∩ СD;     8. N = Т4М ∩ РD.

Однако секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику.

В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.

Рис. 11

Задача 3. Постройте сечение призмы АВСDЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α= (МРR), где М, Р и R являются внутренними точками соответственно ребер АА1, СС1 и ЕЕ1  (рис. 12).

Решение. Построим след секущей плоскости α в плоскости основания АВС данной призмы. Для построения этого следа достаточно построить две любые его точки. Такими точками являются точки пересечения плоскости основания данного многогранника с прямыми, лежащими в секущей плоскости.

        Е1             D1

Рис. 12

Прямая МR лежит в секущей плоскости α = (МРR),а прямая АЕ - в плоскости АВС основания данной призмы, при этом эти прямые лежат в одной плоскости (плоскости грани АЕЕ1А1) и пересекаются. Точка T1 = МR ∩ АЕ является одной из точек следа плоскости α в плоскости основания призмы. Аналогично, точка Т2 = РR ∩ СЕ является второй точкой этого следа. Тогда прямая Т1Т2 = l - след секущей плоскости в плоскости основания призмы. Далее строим точки: 1) Т3 = l ∩ АВ; 2) N = Т3М ∩ ВВ1; 3) Т4 = l ∩ВD; 4) Q = Т4N ∩ DD1. Соединив отрезками последовательно точки М, N, Р, Q и R, получаем пятиугольник MNPQR - искомое сечение данной призмы, выделив его невидимые стороны штриховыми линиями.

Аналогично строится сечение пирамиды плоскостью, заданной тремя точками.

Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название.

Задача 1. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ  (рис. 26, а).

Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR (рис. 26, г), при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD (рис. 26, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 26, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1 (рис. 26, ж). Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 26, з).

Таким    образом,    последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = АD ∩ ЕС;        2. К1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК1 ∩ РD;      4. H = BE ∩ АD;

5. Н1 = РН ∩ МQ;      6. N = RН1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 26, и).

Динамика построения этого сечения пирамиды проиллюстрирована на рис. 26.

Е

E

В

Е

Задача 2. Постройте сечение призмы АВСDEА1В1С1D1Е1, плоскостью α, заданной точками М є  ВВ1, Р є  DD1, Q є ЕЕ1 (рис. 27).

Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА1.

Плоскости А1АD и ВЕЕ1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А1АD и ВЕЕ1 проходят через параллельные ребра АА1 и ВВ1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ1. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К1= КК1 ∩ QМ, КК1 ║ ВВ1. Так как  QM є α,  то К1 є α.

                              Е1

Рис. 27

Получили: Р є α , К1 є α => прямая РК1 є α, при этом РК1 ∩ АА1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА1 (R = α ∩ АА1), поэтому является вершиной искомого сечения.

Аналогично строим точку N = α ∩  СС1.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = АD ∩ ВЕ;
2. К1 = КК1 ∩ MQ,  КК1 || ВВ1;
3. R = РК1 ∩ АА1;
4. Н = ЕС ∩АD;
5. H1 – HH1 ∩ РR,  НН1 || СС1;
6. N = QН1 ∩ СС1.

Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.

Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников.

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Постройте сечение параллелепипеда  АВСDА1В1С1D1   плоскостью   α, заданной точками Р,  Q и R,  если точка Р  лежит на диагонали А1C1, точка Q-на ребре  ВВ1 и точка R - на ребре  DD1 (рис. 28).

Рис. 28

Решение, а) Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Прежде всего, построим след секущей плоскости   α = (РQR)  на плоскости АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. Построив след  Т1Т2,   замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая параллельна плоскости АВС.  Это означает, что плоскость α  пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку  Р   и параллельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно  А1B1  и  А1D1   Получаем:   М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1.   Тогда отрезки   ЕR и   QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС1  параллельна плоскости грани ADD1A1, то плоскость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку F  можно получить, проведя  RF║ MQ)

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Рис. 29

Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 29). Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 (Н1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС1D1D и   ВСС1В1   данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоскости α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1).

                                                 Заключение

Выявлена тенденция практической направленности заданий для разностороннего развития учащихся, где происходит:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям;
2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу;
3. Развитие математических способностей и мышления у учащихся;
4. Развитие учащихся самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;
5. Развитие исследовательских навыков.

Данная работа может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.

                               СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.
2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.

            3. Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2012,№2/№3,1-64.