Урок решения задач по теме "Правильная пирамида"
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Урок решения задач по теме «Правильная пирамида»

Учебная задача: закрепить знания учащихся о правильной пирамиде путем решения задач, формировать навыки решения задач на вычисление элементов пирамиды, площадей  полной и боковой поверхностей правильной пирамиды.

Диагностируемые цели

 в результате ученик

знает:

-определение пирамиды

-определение правильного многоугольника

-определение правильной пирамиды

-определение высоты пирамиды

-определение апофемы

-формулы нахождения площадей боковой поверхности правильной пирамиды и полной поверхности пирамиды

-свойство о ребрах и гранях правильной пирамиды.

Умеет:

-строить правильную пирамиду

-строить чертежи по условию задач

-определять элементы правильной пирамиды

-применять знания о правильной пирамиде при решении задач.

Понимает: как применить свои знания в конкретной ситуации

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Форма обучения: фронтальная.

1.Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте ребята! На прошлых уроках  вы расширили знания о многогранниках .Давайте вспомним какая фигура называется пирамидой?

Ученики: Пирамида-многогранник составленный из n-угольника и n треугольников.

Учитель: Что называется высотой пирамиды?

Ученики: перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

Учитель: какай многогранник называется правильным? назовите какие из этих многогранников являются правильными?(на слайде)Какой правильный многогранник изображен под цифрой 3?

Ученики: правильная пирамида.

Учитель: Какая пирамида называется правильной пирамидой?

Ученики: пирамида является правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину с центром основания является высотой пирамиды. вершина проецируется в центр основания.

Учитель: что такое апофема?

Ученики: высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Учитель: Ответьте  на вопрос и обоснуйте. Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

Ученики: Будет.  так как боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Учитель: а что мы можем сказать о боковых ребрах если боковыми гранями являются равные равнобедренные треугольники?

Ученики: они равны

Учитель: чему равна площадь правильной пирамиды?

Ученики: половине произведения периметра основания на высоту.

Учитель: чему равна площадь полной поверхности правильной пирамиды?

Учитель: Молодцы!Как вы думаете что мы сегодня будем делать?

Ученики: Сегодня мы будем решать задачи на правильную пирамиду.

Учитель: Да!Для этого мы должны вспомнить еще несколько понятий. -Какой угол называется углом между прямой и плоскостью?

Ученики: углом между прямой и плоскостью, пересекающую эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

-Что называется двугранным углом?

Ученики: двугранным углом называется фигура образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

-Какой угол называется линейным углом двугранного угла?

Ученики: угол образованный лучами перпендикулярными к ребру двугранного угла.

2.Содержательный этап.

-Хорошо! Переходим к решению задач.

 № 255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано:DABC-правильная приамида.

АDB=, АВ=8

Найти: высоту Н.

Решение:

Учитель: С чего начинаем построение пирамиды?

Ученики: с основания.

Учитель: что является основанием правильной треугольной пирамиды?

Ученики: правильный треугольник.

Учитель: верно! Строим основание. Обозначаем его .Что строим далее?

Ученики: высоту

Учитель: из какой точки основания будем восстанавливать высоту?

Ученики: из центра основания.

Учитель: какая точка является центром основания?

Ученики: точка пересечения биссектрис, медиан,высот.

Учитель: восстанавливаем высоту. Обозначаем. Как называется точка Д?

Ученики: вершина пирамиды.

Учитель: что осталось достроить?

Ученики: ребра.

Учитель: точка О является центром какой окружности для тр.АВС?

Ученики: вписанной

Учитель: мы можем построить радиус этой окружности?

Ученики: можем. Это ОН (ОНАВ)

Учитель: молодцы! Итак, что нам нужно найти?

Ученики: высоту?

      Учитель: из какой фигуры легче всего найти высоту?

Ученики: из прямоугольного треугольника .

Учитель: например какого?

Ученики:DOH

Учитель: построим этот треугольник. Что мы в нем знаем? Что можем найти?

Ученики: ОН как радиус окружности вписанной в правильный треугольник.

Учитель: Что найдем потом?

Ученики: ДН из тр.АДН (он прямоугольный и угол АДН=фи/2)

Учитель: что найдем потом?

Учитель: теперь можем найти высоту?

Ученики: да! из тр.ДНО по теореме Пифагора.

Учитель: записываем решение.

1. ОН-радиус вписанной в тр.АВС окружности

ОН=АВ/2 = см.

2.Рассмотрим тр.ADH-прямоугольный (DHAB по теореме о 3 перпендикулярах),   ДН-высота, медиана биссектриса, значит ADH=/2

tg/2=АH/DH,  АH=1/2AB (тр.ADB-равнобедренный и DH является высотой, медианой и биссектрисой.

DH=BH//2)=

3.Найдем высоту пирамиды DO= см.

№ 256

Дано: МABSD – правильная пирамида                

АВ=m, AMB=α

Найти: а)МО- высоту пирамиды

б)АМ

в) угол между АМВ  и АВС

г)АМВС

Решение:

1.ОНАВ, ОН=r=1/2AB=m/2;

OA=R=AB   по теореме Пифагора в MO=

2.MAH: МА==  MO===

3.MHAB, OHAB, тогда MHO – линейный угол двугранного угла, образованного боковой гранью с плоскостью пирамиды.

:

tg= ==    или cos= MH=ctg=  cos ==tg =arcos(tg)

4.Построим AKMB и отрезок СК.АМВ= получим AK=CK, CKMB, CKA= – линейный угол двугранного угла.

sin=

OA=  ;  AK=  ;      sin   =

Ответ:  а)      в) arcos(tg)  г)

№259 Записываем дано, обсуждаем решение. На дом.

 № 264

 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, поведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Поиск решения.

Учитель: Давайте построим правильную шестиугольную пирамиду

(…)

Что нам дано?

Ученики: Площадь боковой грани равна площади сечения

Учитель: Что является сечением пирамиды?

Ученики: треугольник

Учитель: Итак, проходит через большую диагональ основания и вершину пирамиды. Через какую диагональ?

Ученики: AD

Учитель: В какой плоскости лежит диагональ AD  и вершина  Q?

Ученики: AQD

Учитель: Значит, сечением пирамиды является треугольник…

Ученики: AQD

Учитель: А нам дано, что площадь боковой грани равна площади сечения.

Давайте запишем в дано.

Площадь сечения будет равна площади какой грани?

Ученики: ABQ

Учитель: Только этой?

 Ученики: нет еще BQC и т.д.

Учитель: Почему?

Ученики: так как грани являются равными треугольниками.

Учитель: Итак, нам дана площадь боковой грани. Как же мы можем использовать это при нахождении площади боковой поверхности.

Ученики: Sб.п. = 6 * SAQB = 6* SAQD

Распишем SAQD = ½ QO*AD

Учитель: Чему равна диагональ AD?

Ученики: так как AD является диаметром описанной окружности, то AD = 2а

Учитель: А чему равна SAQB?

Ученики: SAQB = ½ QH*AB

Учитель:QH  мы можем найти?

Ученики: да из прямоугольного треугольника QOH по теореме Пифагора

Учитель: Что нам в этом треугольнике дано?

Ученики: мы можем обозначить высоту пирамиды QO через h. А так же OH – это радиус вписанной окружности

Учитель: Значит мы найдем площадь SAQB. И по условию мы видим что SAQB = SAQD. Значит мы можем приравнять их и у нас останется одна неизвестная величина h. Мы найдем высоту и подставим в площадь боковой поверхности.

№254

3.3

3.Рефлексивно-оценочный.

-Молодцы! Итак, домашнее задание –записать решение задач №259 и 254(мы обсудили) и №312.