Неизвестные теоремы планиметрии
методическая разработка по геометрии на тему

Слайд 1

МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ Учитель математики Потапова Ф.Ф. . 2014-2015 уч. год. Методическая разработка

Слайд 2

§ Медиана прямоугольного треугольника. Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Слайд 3

Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. Окружность, вписанная в треугольник ACD , касается отрезка CD , в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC . Решение. Пусть L – точка касания вписанной окружности с DC ; K – точка касания вписанной окружности с AD; M – точка касания вписанной окружности с AC . ∆ ADC – равнобедренный, т.к. DC – медиана прямоугольного треугольника. Известно, что DL=LC . При этом KD=DL AK=LC , т.к. ∆ ADC – равнобедренный. AK=AM, MC=LC – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Тогда KD=DL=LC=MC=AK=AM , то есть треугольник равносторонний. Тогда AD=DC=AC , DAC= DCA= ADC=60˚ . Таким образом, в ∆ ABC A= 60˚ B =90 ˚ - 60 ˚ =30 ˚ Ответ: 60˚ , 3 0˚ .

Слайд 4

Пример. Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е. Найдите отрезок АЕ , если известно, что С D =4. Решение. Отметим середину М отрезка AE . Отрезок DM – медиана прямоугольного треугольника ADE , проведенная из вершины прямого угла, поэтому AM = DM = ME . Обозначим, значит, треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, AE =2 DM =2 DC =8 . Ответ: 8.

Слайд 5

§ Биссектриса. Утверждение . Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. Доказательство. Пусть М – точка пересечения продолжения биссектрисы АК треугольника АВС с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник АСК подобен треугольнику АМВ по двум углам. Поэтому Следовательно, (

Слайд 6

§ Пересекающиеся окружности. Утверждение. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам. Доказательство. Пусть АВ – общая хорда пересекающихся окружностей с центрами Точки равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, чтд.

Слайд 7

§ Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником . Утверждение 1. Если вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, то АМ=р-а, где р – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС. Доказательство. Обозначим АС= b , AB = c . Пусть К и L – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС соответственно. Тогда, откуда

Слайд 8

Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то А N =р, где р – полупериметр треугольника. Доказательство. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Р , а продолжения стороны АС – в точке Q . Тогда откуда AN = p .

Слайд 9

Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то Доказательство (формулы 2). Обозначим BC = a , AC = b , AB = c . Пусть - центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны ВС; P , N и Q – точки касания этой окружности со стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС соответственно. Тогда , чтд.