Стереометрия Расстояние между скрещивающимися прямыми
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) по теме

Пояснительная записка к электронным дидактическим материалам

«Нахождение расстояния от точки до плоскости» для учащихся 10-11 классов

Источник: материалы  краевых диагностических работ ККИДППО Краснодарского края

Уровень сложности: повышенный

 Дидактические материалы «Нахождение расстояния от точки до плоскости» для учащихся 10-11 классов состоят из 22 задач уровня  С2 материалов ЕГЭ по математике.

Учитель, в зависимости от дидактических целей, может использовать самостоятельные работы в том виде, как они представлены, может, по своему усмотрению,   составить самостоятельную работу из необходимого числа уравнений.. Электронная версия дидактических материалов  позволит учителю быстро создать новый документ и использовать его и на бумажном носителе, и в цифровом формате, например, для работы на интерактивной доске. Наличие ответов упрощает процедуру проверки.

  Электронный математический дидактический материал возможно использовать при дистанционной поддержке образовательного процесса ( поместить на странице учителя на школьном сайте или разослать ученикам по электронной почте для дальнейшей работы).  

     Представленные дидактические материалы могут быть использованы на этапе изучения нового материала, на этапе контроля, повторения.

   . Получив  дидактический материал в электронном виде, учащийся сам составляет себе карточки на перспективу по данной теме, включая  задания, которые он уже умеет решать, и те, которые  нужно освоить. Ученик включает себя в рефлексию своей деятельности, он отвечает на вопросы  «Что я умею», «Чему хочу научиться », учится  анализировать, распределять и группировать.  Снимается фактор психологической напряжённости, тревожности не соответствовать предъявляемым требованиям, ведь  задания ученик запланировал себе сам,  повышаются мотивация и ответственность  за выполнение заданий.  Это, несомненно, способствует формированию учебно-познавательной компетенции.Представленные электронные дидактические материалыдополнят арсенал учителя при подготовке учащихся к ЕГЭ.

§1 Расстояние от точки до плоскости.

        Расстояние от точки  до плоскости , не проходящей через эту точку, является длина перпендикуляра ,опущенного  из данной точки  на плоскость, а основание  этого перпендикуляра есть ближайшая к  точка  плоскости.

Если прямая  параллельна плоскости , то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки прямой   до плоскости , так как это расстояние для любой точки прямой  одно и то же.

При решении задач часто используется соотношение:

пусть точка  и  не лежат в плоскости , а прямая  пересекает эту плоскость в точке 0, тогда     (рис.1а,1б)

        рис.21а                                                        рис.21б

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Пример 2.1.

        В правильной треугольной пирамиде   точка  лежит на ребре  и . Расстояние от точки  до плоскости   равно 4. Площадь грани   равна 6. Найти расстояния до плоскости   от центра грани  и точки . Найти объем пирамиды .

Пусть  пересекает  в точке . Так как  – центр грани , то – медиана и . Прямая  пересекает грань  в точке . Следовательно     и  .

Расстояние от точки  до грани  равно высоте пирамиды  с основанием  и вершиной . Тогда     (куб. ед.)

        Приведенный метод нахождения расстояния от точки до плоскости позволяют решать подобного рода задачи без построения на рисунках тех перпендикуляров, длины которых равны искомым расстояниям от точек до соответствующих плоскостей.

        Многие задачи на нахождение расстояний в пространстве состоят в нахождении расстояния от некоторой точки , не лежащей в плоскости , до фигуры , лежащей в этой плоскости. Для решения задач такого рода удобно применять следующий прием:

опустим из точки   на плоскость  перпендикуляр   ( – расстояние от точки  до плоскости ).

        Если точка  принадлежит фигуре , то расстояние от точки  до фигуры   равно .

        Если  же точка  не принадлежит фигуре , то мы находим на фигуре  точку , ближайшую к  . Тогда расстояние от точки  до фигуры  равно длине отрезка , то есть  .(рис.3)

Рис.

        Рассмотрим следующую задачу

Пример 2.2

Из вершины  равностороннего треугольника  , сторона которого равна  , к его плоскости проведен перпендикуляр , длина которого равна . Найдите расстояние от точки  до прямой  .(рис.4)

Решение.

§ 2. Приложение свойств объема к решению задач

Получим несколько формул, удобных для вычисления объемов некоторых многогранников. Одной из основных опорных задач является следующая теорема.

Теорема 1. Плоскость пересекает боковые ребра  произвольной треугольной пирамиды в точках  так, что , , , где  положительные числа, меньше 1. Доказать, что объем  отсекаемой пирамиды связан с объемом  данной пирамиды соотношением: .

Доказательство. Возьмем за основание пирамиды грань  (рис. 25). Как известно . Пусть , , где  - основания перпендикуляров, опущенных на плоскость . Точки  лежат на одной прямой, так как  и  - перпендикулярны одной плоскости и . Следовательно, , то есть . Найдем объем пирамиды :

.

Теорема 2. Пусть  - площадь одной из боковых граней треугольной призмы,  - расстояние от противоположного ребра до этой грани. Тогда объем этой призмы может быть найден по формуле .

Доказательство. Достроим треугольную призму  до параллелепипеда  (рис. 26). Пусть  - площадь грани  и  - расстояние от ребра  до этой грани. Объем призмы равен половине объема параллелепипеда. Если взять грань  за основание параллелепипеда, то его объем равен  и, следовательно, .

Теорема 3. Объем описанного многогранника может быть вычислен по формуле , где  - радиус вписанного шара,  - площадь полной поверхности многогранника.

Доказательство. Соединим центр вписанного шара со всеми вершинами многогранника. Многогранник окажется разделенным на  пирамид, где  - число граней многогранника. Основаниями каждой пирамиды является соответствующая грань многогранника, а вершиной – центр шара. Объем каждой такой пирамиды равен , где  - площадь соответствующей грани. Объем многогранника равен сумме объемов полученных  пирамид: . Сумма площадей всех граней равна площади полной поверхности многогранника. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Вычисление объема тетраэдра через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними.

Пусть  и  - длины двух противоположных ребер тетраэдра,  - расстояние,  - угол между ними. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим тетраэдр  (рис. 27). Пусть  и  - противоположные ребра расстояние между которыми равно , а угол равен . Достроим тетраэдр до параллелепипеда , проведя через каждое ребро плоскость параллельную противоположному ребру. Площади граней  и  равны , расстояние между ними равно  и равно высоте параллелепипеда. Следовательно, объем параллелепипеда равен . Объем треугольной пирамиды  равен  объема параллелепипеда. Объем тетраэдра получается из объема параллелепипеда вычитанием объемов четырех таких пирамид и, следовательно равен  объема параллелепипеда, то есть .

Следствие. Если два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и расстояние между ними равно , то объем тетраэдра вычисляется по формуле , где  и  - длины данных ребер.

При изучении метода площадей был рассмотрен прием, состоящий в замене отношения отрезков отношением соответствующих площадей. При обобщении на трехмерный случай иногда отношение отрезков полезно заменить на отношение объемов. Например, если точки  и  расположены по разные стороны от плоскости треугольника , то отношение в котором плоскость  делит отрезок , равно отношению объемов двух пирамид  и  (рис. 28). Это следует из того факта, что пирамиды имеют общее основание, отношение их объемов равно отношению высот  и . Если  - точка пересечения  с плоскостью , то  в силу того, что .

Рассмотрим применение выше изложенной теории к решению задач.

Пример 2.3. В тетраэдре  через точки  на ребре  ,  на ребре   и точку  проведено сечение , площадь которого равна 6 м2. Объем тетраэдра  равен 30 м3. Найдите расстояние от точки  до плоскости  (рис. 29).

Решение. Найдем объем пирамиды , используя теорему 1. Так как , , , то (м3). Расстояние от точки  до плоскости  равно высоте пирамиды . Зная объем пирамиды и площадь основания найдем высоту : ,

Ответ. 2 м.

Пример 2.4. На ребрах  и  тетраэдра  взяты точки  и  так, что , . В каком отношении плоскость, проходящая через  и середину , делит отрезок ?

Решение. Пусть  середина отрезка ,  - точка пересечения отрезка  с плоскостью  (рис. 30). Тогда . , где  - расстояние от точки  до грани . Пусть  - расстояние от точки  до грани . Очевидно, что . Найдем объем всей пирамиды:  и пирамиды . Так как , , то .

Аналогично находим объем ; . Расстояние от точки  до грани  равно , где  - расстояние от точки  до грани . Следовательно,  и .

Ответ. .

Пример 2.5. В основании пирамиды  лежит параллелограмм . Точка  - середина ребра , точка  - середина ребра , точка  делит ребро  в отношении 2:5, считая от . Объем тетраэдра  равен 1 м3. Найдите объем пирамиды  (рис. 31).

Решение. Пирамиду  разобьем на две треугольные пирамиды  и . Тогда объем пирамиды  равен объему пирамиды  и равен . Так как , , , то . По условию  м3, следовательно  м3.

При  решении  некоторых  задач  полезно следующее замечание:

Если прямую призму вписана пирамида таким образом, что одна из граней пирамиды лежит в грани данного параллелепипеда, то задачу целесообразно решать  путём разбиения пирамиды на треугольные пирамиды   и решение свести  к нахождению объёма пирамиды, одна из граней которой лежит в грани прямой призмы (параллелепипеда).

  Пример  2.6.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро А1  равно 12. Через вершину А и С1 призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро ВВ1  в точке К, а боковое ребро DD1 в точке L. Найдите объём                                                   пирамиды  A1AKС1 L .

Решение.

Пусть  L-  некоторая точка ребра    DD1 . Тогда  А L  и LС1  - следы плоскости сечений.  Так как параллельные плоскости пересекаются по параллельным прямым, то сечение   AKС1 L  - параллелограмм, где К- точка на ребре  ВВ1. Пирамиду A1AKС1 L  разобьём диагональным сечением A1KL на две треугольные пирамиды.  Так как  
 и высоты пирамид  равны, то .

Объём  A1AKL не зависит  от выбора точки L на DD1, в чём легко убедиться, если взять за основание пирамиды  A1AK. При любом выборе  точки L высота LН  в данном случае будет равна  А1D1 и  LН//А1D1

,  

Ответ. 144

Пример  2.7.

В правильной четырёхугольной призме

ABCDA1B1C1D1  сторона АВ основания

равна 6, а боковое ребро АА1  равно 14.

через вершины А и С1 проведена

плоскость, пересекающая боковое ребро

ВВ1  в точке К, причём В1К: КВ=5:2,

а боковое ребро  DD1 в точке L.

Найдите объём пирамиды  

В1AKС1 L .

Решение.

Аналогично задаче 1 варианта

.   

  Тогда .

Ответ. 120

Задачи для самостоятельной работы: 

1. Из вершины   трапеции   к ее плоскости проведен перпендикуляр , длина которого равна . Найдите расстояния от точки  до прямых, содержащих стороны и диагонали данной трапеции.   

2. В основании пирамиды  лежит трапеция  с основаниями см, см. Объем пирамиды  на      4 м3  меньше  объема пирамиды . Найти объем пирамиды .

     3.В тетраэдре  через точки  на ребре ,  - на ребре ,  на ребре  проведено сечение . Объем тетраэдра  равен   3м3. Найдите объем пятигранника , если ,  и .

  4. В правильной треугольной пирамиде   точка  лежит на ребре  и . Расстояние от точки  до плоскости   равно 6. Найти расстояние до плоскости   от центра основания .

5. Основание прямой  призмы ABCDA1B1C1D1- прямоугольник АВСD, в котором ВС= 4  и  АВ= 6. Боковое ребро АA1 равно 6. Через вершины В, С1 и середину АA1 – точку К проведена плоскость, пересекающая ребро A1D1 в точке L. Найдите объём пирамиды  В1ВK LС1.