Методические материалы по систематизации подготовки к экзаменам по геометрии (ОГЭ, ЕГЭ).
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9, 10, 11 класс) по теме
В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно повторение вопросов теории и практики на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов решения.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
metodich.materialy.geom_._podg._k_ekzamenam.docx | 792.21 КБ |
Предварительный просмотр:
Методические материалы
по систематизации подготовки к экзаменам по геометрии
(ОГЭ, ЕГЭ).
Применение теории и практики на одной задаче
Как показывают результаты ЕГЭ, за решение геометрических задач берётся низкий процент выпускников, что свидетельствует о трудности восприятия условия таких задач и выполнения чертежей к ним.
Между тем развитое пространственное представление и воображение необходимо не только специалистам, непосредственно связанным с геометрией, но и любому рядовому гражданину: окружающий нас мир структурно является геометрическим.
Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки, формирует свои пространственные представления.
Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнения чертежа, и от того, насколько правильно он сделан, во многом зависит успешность получения результата.
В современных условиях в рамках подготовки учащихся к выпускным экзаменам за курсы основной и средней школы предлагается много различных пособий. В частности, интерес представляет пособие Б.И.Вольфсона и Л.И Резницкого по геометрии:
Б.И.Вольфсон, Л.И Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 224 с.
В книге излагается технология, позволяющая структурировать и тем самым облегчить процесс решения геометрических задач, приводятся примеры её применения, проанализированы задания ЕГЭ и ГИА-9. Имеется справочный теоретический материал и задачи для самостоятельного решения.
В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно будет повторение вопросов теории на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов решения.
Концептуальные идеи:
- Освоение общей технологии решения геометрических задач.
- Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева.
- Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач.
- Проблемный подход к организации повторения курса геометрии.
- Последовательное применение принципа «чайника».
- Этапы решение геометрических задач.
- Задача о расчёте косоугольного треугольника.
- Задача о расчёте правильной треугольной пирамиды.
Рассмотрение этих концептуальных идей подробно.
- Освоение общей технологии решения геометрических задач.
Этот подход позволяет структурировать решение задачи и последовательно преодолеть возникающие трудности по аналогии с поэтапной своркой сложного изделия на конвейере.
Замечание.
Знание, а главное, понимание алгоритмов решения стандартных задач не отменяет самостоятельное творчество. Оно экономит время и даёт инструмент, который позволяет осуществлять творческий процесс на качественно более высоком уровне.
- Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева.
Применение разработанного П. М. Эрдниевым метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ) базируется на одновременом рассмотрении логически различных элементов, обладающих в то ж время информационной общностью. Такой подход позволяет сформировать «стереоскопический» образ изучаемого объекта. Он стимулирует образование в мозгу функциональных систем, т.е. ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных познавательных задач.
Отказ при использовании УДГ от традиционного «квантования» учебного материала способствует тому, что его запоминание приобретает не механических (эрудиционный), а ассоциативный характер. Таким образом, наряду с накоплением знаний (накоплением информации) идёт процесс обогащения мышления связями между знаниями, то есть повышается качество переработки информации.
- Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач.
Данная методика предусматривает создание модифицируемых многопараметрических заданий по математике, в которых осуществляется циклическая замена известных и неизвестных величин. Методика ориентирована на формирование целостного мировосприятия и интеллектуальное развитие школьников. Предложенный подход к формированию модифицируемых учебных заданий лежит в русле метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Вслед за создателем метода УДЕ П.М. Эрдниевым мы обращаем внимание на необходимость рассмотрения всего блока заданий, относящихся к данной проблеме, в компактном временном промежутке. В этом случае многообразные связи,, возникающие в мозгу ученика в процессе работы, закрепляются в виде единой комплексной системы.
- Проблемный подход к организации повторения курса геометрии.
Использование проблемного метода приводит ученика от пассивного потребления готовых истин, излагаемых учителем, к участию в их установлении. Это способствует лучшему запоминанию и, что особенно важно, формированию личностно-ценностного отношения к изучаемому материалу.
- Последовательное применение принципа «чайника».
Этот принцип состоит в сведении данной задачи к той, решать которую мы уже научились.
- Этапы решение геометрических задач.
- Чтение условия задачи.
- Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
- Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
- Перенос данных условия на чертёж; выделение элементов чертежа различными цветами.
- Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).
- «Деталировка» – вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
- Анализ данных задачи, привязка искомых величин элементам чертежа.
- «Синтез» – составление «цепочки» действий (алгоритма решения).
- Реализация алгоритма решения.
- Проверка правильности решения.
- Запись ответа.
- Задача о расчёте косоугольного треугольника.
Дано:
В треугольнике АВС
АВ=с=13 см;
ВС=а=14 см;
АС=b=15 см.
Найти:
1) площадь S;
2) hb − высоту BD;
3) радиус вписанной окружности r;
4) величину наибольшего внутреннего угла треугольника АВС;
5) радиус описанной окружности R;
6) mb − длину медианы BF;
7) Lb − длину биссектрисы ВЕ угла В (точка Е лежит на отрезке АС);
8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности (Оо);
9) расстояние между центрами вписанной (Ов) и описанной (Оо) окружностей.
- Вычисление площади треугольника АВС.
База знаний.
Выпишем формулы, по которым можно найти площадь треугольника:
(1)
(2)
(3)
(4)
где — полупериметр треугольника АВС.
Поскольку в условии задачи даны только длины сторон треугольника АВС, то для вычисления его площади нам необходимо воспользоваться именно формулой Герона (3).
Вычислим сначала полупериметр треугольника:
Тогда, по формуле (3),
- Вычисление высоты треугольника.
Используем формулу (1):
Так как площадь треугольника S и длина стороны АС нам уже известны, можем вычислить hb ― длину высоты BD:
.
- Вычисление радиуса вписанной окружности.
Для вычисления длины r радиуса вписанной окружности нам необходимо воспользоваться формулой площади треугольника (4):
.
Отсюда находим
- Вычисление наибольшего угла треугольника.
Включаем в базу знаний теорему о том, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Из этой теоремы следует, что большим углом в треугольнике АВС является угол В. По формуле (2) можем записать:
Отсюда получаем: .
Поскольку нам в дальнейшем может пригодиться cosВ, то найдем также и его. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin2B+cos2B=1.
Учитывая, что ∠В — острый угол (так как b22+c2), а значит его косинус и синус — положительные величины, находим:
.
Следовательно, .
- Вычисление радиуса описанной окружности.
Ответ на вопрос задачи о вычислении длины R радиуса описанной окружности требует включения в базу знаний теоремы синусов:
(5)
Из соотношения (5) следует, что
Этот же результат можно получить, подставляя длины сторон и площадь треугольника в другую формулу, также следующую из (5):
- Вычисление длины медианы треугольника.
Построим медиану BF и вычислим ее длину mb. Для этого
добавим в базу знаний теорему косинусов, согласно которой
в треугольнике АВС:
Дважды применим теорему косинусов, применив ее сначала к треугольнику АВС, а затем к треугольнику АВF.
Выполним деталировку и рассмотрим треугольник АВF.
В этом треугольнике AB = c, AF = b/2, BF — искомая медиана m.
Тогда, по теореме косинусов,
Значение cosA находим (также с помощью теоремы косинусов) из формулы: , выведенной выше для треугольника АВС. После преобразований получаем:
.
Длину медианы можно также получить, достроив треугольник АВС до параллелограмма АВСК, в котором АС является диагональю, а BF — половиной другой диагонали.
Тогда для вычисления можно воспользоваться тем, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон
(этот факт также добавляем в базу знаний):
отсюда
- Вычисление длины биссектрисы треугольника.
Построим биссектрису BЕ и вычислим ее длину Lb по схеме, описанной в предыдущем пункте.
Дополнительное затруднение связано с необходимостью вычисления длины отрезка AE. Найти ее нам помогает следующая теорема, включаемая в базу знаний:
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные сторонам, образующим этот угол: .
Обозначим AE = x, тогда EC = b – x.
Из упомянутой теоремы следует
пропорция: .
Отсюда находим: .
Используя теорему косинусов, из треугольника АВЕ выражаем:
.
После преобразований получаем:
.
Отметим, что при выводе формул для вычисления и применяются тождества сокращенного умножения, которые также должны быть включены в базу знаний.
- Вычисление расстояния между центром описанной окружности и точкой пересечения треугольника АВС.
Используем метод координат. Введём прямоугольную систему координат, связанную с треугольником АВС, так, чтобы начало координат совпало с вершиной А, ось абсцисс пошла по лучу АС, ось ординат была направлениа вертикально вверх.
Построим высоту BD и медиану BF.
Обозначим G – точку пересечения медиан треугольник АВС, Оо – центр описанной окружности.
В этой системе определим координаты точек: А(0;0), В(, С(b;0), D(, F(b/2;0).
Для определения координат точки пересечения медиан G необходимо дополнить базу знаний следующими фактами:
- точка G делит медиану BF на отрезки BG и GF, отношение длин которых равно 2 : 1;
- точка G, делящая данный отрезок BF в отношении m : n, имеет координаты:
.
- ; .
Вычислим координаты точки G (учтём, что ):
.
Найдём координаты центра описанной окружности. Для этого необходимо вписать в базу знаний следующие факты:
- окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности;
- расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника равно радиусу окружности;
- центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.
Тогда координаты точки Оо будут: ;
. По теореме Пифагора, из треугольника АОF,
. Очевидно, что .
Для вычисления расстояния между точками G и Оо включаем в базу знаний формулу вычисления расстояния между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), координаты которых известны:
.
Тогда, учитывая, что , получаем:
(см).
- Вычисление расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей.
В координатной системе Аху вычислим координты центра окружности, вписанной в треугольник АВС.
Для этого дополним базу знаний теоремами о том, что центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной.
Предположим, что точка Оb построена, соединим её с точкой А и опустим из точки Оb перпендикуляр ОbH на прямую АС.
Рассмотрим прямоугольной треугольник AОbH.
В этом треугольнике катет ОbH = r = 4см; . Тогда катет . Воспользуемся формулой .
Учитывая найденные ранее значения , получаем и (см).
Таким образом, . Учитывая, что , получаем:
(см).
- Задача о расчёте правильной треугольной пирамиды.
Дано МАВС – правильная пирамида;
АВ = ВА = СА = a, MN – высота пирамиды; MN = H.
Найти:
1) Площадь основания Sосн;
2) высоту основания h;
3) радиус окружности, вписанной в основание rв;
4) радиус окружности, описанной около основания rо;
5) апофему h1;
6) площадь боковой поверхности Sбок;
7) плоский угол α при вершине пирамиды;
8) радиус rв1 окружности, вписанной в боковую грань;
9) радиус rв1 окружности, описанной около боковой грани;
10) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
11) угол ψ между боковой гранью и плоскостью основания;
12) угол ω между боковыми гранями;
13) радиус Rо сферы, описанной около пирамиды;
14) радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду;
15) расстояние d1 от центра основания до боковой грани;
16) угол γ и расстояние d2 между боковым ребром и скрещивающейся с ним стороной основания пирамиды.
Выпишем базу знаний для решения задач по стереометрии.
База знаний 1:
- Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник (в рассматриваемой задаче, треугольник), а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
- В правильной пирамиде боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.
- В правильной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.
- В правильном треугольнике все стороны равны, углы равны 60°, а каждая из его медиан является одновременно высотой, биссектрисой и лежит на серединном перпендикуляре к стороне треугольника.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
- Центром правильного треугольника называется точка пересечения его медиан, которая совпадает с центром вписанной и описанной окружностей.
База знаний 2:
- Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого многоугольника.
- Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис.
- Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен к касательной, проходящей через эту точку.
- Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.
- Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
База знаний 3:
- Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной (теорема о трёх перпендикулярах).
- Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; причём в качестве коэффициента пропорциональности выступает удвоенный радиус окружности, описанной около этого треугольника (теорема синусов).
- Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в этот треугольник окружности: = р ∙ rв; здесь – полупериметр треугольника.
- Площадь треугольника равна частному от произведения всех его сторон на учетверённый радиус описанной около этого треугольника окружности:.
- Медиана, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, является также его высотой и биссектрисой.
- Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
- Двугранным углом называется угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями), имеющими общую границу (ребро двугранного угла).
- Двугранный угол измеряется его линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол, вершина которого лежит на ребре, а стороны принадлежат граням двугранного угла и перпендикулярны к его ребру.
- Плоским углом при вершине пирамиды называется угол, образованный боковыми рёбрами, принадлежащими одной грани пирамиды.
Замечание. Задача по стереометрии разбивается на частные планиметрические подзадачи, в которых применяются все изученные в планиметрии теоремы и формулы.
Решение задачи.
Дано: АВ = ВА = СА = a = 2; MN = H = .
- Sосн = ? Основание – правильный треугольник АВС, площадь которого можно находить с помощью разных формул, в частности, по специальной формуле .
Включим её в базу знаний.
Но здесь можно применить формулу
, где a=с=2, .
Тогда, .
- высота основания h = ВК = ?
Сделаем выносной чертёж равностороннего
треугольника АВС.
Из прямоугольного треугольника АВК:
; ;
.
Итак, h. Этот отрезок можно было бы найти и по теореме Пифагора.
- = р∙ rв; где
Тогда rв.
- ; .
Как вывод из пунктов 3 и 4, включим в базу знаний формулу Rо = 2rв. Действительно, Rо и rв – две части медианы ВК, которая в точке пересечения медиан делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Факт Rо = 2rв можно доказывать и по-другому.
Замечание. Из последнего факта следует, что радиусы вписанной и описанной окружностей можно было бы находить по-другому: разделить отрезок высоты ВК на три, тогда одна часть его – это радиус вписанной окружности, а две части – радиус описанной окружности. Но если говорим о последовательном и охватывающем повторении теории, то уместнее сначала найти радиусы по формулам, отмеченным выше, а потом вернуться к вычислению радиусов и посчитать их длины по-другому, с учётом свойств медианы.
- Апофема – высота ML боковой грани, L – середина ВС. Боковая грань МВС– равнобедренный треугольник MNL. Чтобы найти ML, надо рассмотреть прямоугольный треугольник MNL, в котором известны катеты: высота пирамиды МN = (по условию) и отрезок NL = – как медианы (высоты) АL треугольника АВС (см. пункт 2)
Делаем выносной чертёж треугольника MNL.
По теореме Пифагора
.
- Площадь боковой поверхности Sбок.
.
- Плоский угол α при вершине пирамиды
Плоский угол α при вершине пирамиды найдём по теореме косинусов:
Для вычислений по этой формуле нужно знать боковую сторону равнобедренного треугольника МВС. Её найдём из треугольника МВL (см. рисунок пункта 6) по теореме Пифагора:
Тогда .
- радиус rв1 окружности, вписанной в боковую грань МВС.
Используем формулу = р ∙ rв; где стороны треугольника МВС равны: ВС = 2, МВ = МС =
. Тогда rв.
- радиус rо1 окружности, описанной около боковой грани.
Используем формулу ; где стороны треугольника МВС равны:
ВС = 2, МВ = МС = : .
- угол между боковым ребром и плоскостью основания, это угол МВN.
Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник МВN.
.
- угол ψ между боковой гранью и плоскостью основания, это угол MLN
Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник МВL.
.
- угол ω между боковыми гранями. Это угол ЕDL, где , . Треугольник ЕDL – равнобедренный, .
Точки Е и L – середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда ЕL – средняя линия, ЕL = .
Для нахождения DL рассмотрим прямоугольный треугольник МВL.
Проведём .
Введём в базу знаний метод площадей:
площадь одного и того же треугольника находят разными
способами. Из полученного равенства можно найти любую входящую величину.
; .
Угол найдём по теореме косинусов:
.
- радиус Rо сферы, описанной около пирамиды;
Включим в базу знаний теорему: Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой H и ребром основания a, равен . Здесь H = , а = 2.
Тогда
- радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду.
Включим в базу знаний теорему: радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду, у которой все боковые грани одинаково наклонены к основанию, находится по формуле , где – радиус вписанного шара, – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, H – высота пирамиды, h – апофема.
Здесь , H = , h = . Тогда .
- расстояние d1 от центра основания до боковой грани. Это расстояние NE. Найдём его из прямоугольного треугольника MLN методом площадей.
На рисунке изображена часть пирамиды.
, тогда ; .
- угол γ и расстояние d2 между боковым ребром и скрещивающейся с ним стороной основания пирамиды.
Расстояние между скрещивающимися прямыми удобно находить не напрямую по определению. Можно построить плоскость, проходящую через одну из них перпендикулярно другой; определить точку, в которой вторая прямая пересекает эту плоскость; выделить в этой плоскости треугольник; найти в нём высоту из полученной точки на первую прямую.
Рассмотрим скрещивающиеся прямые АС и МВ. Проведём плоскость через прямую МВ перпендикулярно АС. Эта плоскость пройдёт через точки М, В, К, получим плоскость МВК. Точка, в которой вторая прямая АС пересекает плоскость МВК – точка К.
Рассмотрим треугольника МВК и проведём в нём высоту из точки К на прямую МВ, получим отрезок КР. Отрезок КР – искомое расстояние.
Для удобства вычислений, не меняя сути задачи, примем другие числовые данные.
Пусть МК = 13, ВК = 14, МВ = 15.
Тогда площадь треугольника МВК
найдём по формуле Герона.
Вычисления в пункте 1 Задачи 8 о расчёте косоугольного треугольника.
Получаем .
Применяя традиционную формулу для вычисления площади треугольника, получим: ,
отсюда
Заключение.
Основываясь на данном подходе к проработке теории и практики при подготовке к экзаменам, можно использовать его в текущей работе по разным темам и в разных параллелях: подбирать цельные задачи, содержащие объёмные блоки для решения.
Литература
Б.И.Вольфсон, Л.И Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 224 с.
Методические материалы по систематизации подготовки к экзаменам по геометрии (ОГЭ, ЕГЭ).
Применение теории и практики на одной задаче. Подготовила Юнева Л.С.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Элективный курс "Подготовка к экзамену в новой форме по русскому языку в 9 классе" готовит к экзамену девятиклассников. Материалы этого курса могут быть использованы и при подготовке к ЕГЭ по русскому языку в 11 классе.
№п/пДатаТема занятияВиды работ1 Структура экзаменационной работы по русскому языку в новой форме и критерии её оцениванияЛекция учителя2 Этапы работы над изложениемЛекция учителя4 Редак...
Методические материалы для подготовки к экзамену по учебнику Верещагиной в 4 классе
Данное пособие представляет собой список тем и лексических единиц для подготовки и успешной здачи экзамена по английскому языку в 4 классе. Здесь также содержатся вопросы для устной беседы по темам....
Подготовка к экзаменам по геометрии (раздел планиметрия)
Для подготовки к экзаменам важно знать теоретический материал - это залог успешного решения геометрической задачи. Предлагаю повторить теорию по теме "Четырёхугольники" в форме Древа Четырёхугол...
Рабочая программа курса по выбору «Систематизация знаний по химии при подготовке к экзамену» для обучающихся 9, 10 классов
Программа факультативного курса «Систематизация знаний по химии при подготовке к экзамену» составлена на основе ...
Сборник методических материалов по строевой подготовке отряда «Юнармия»
Сборник содержит методические материалы по строевой подготовке учащихся в объединении «Юнармия» по авторской программе «Служу России». Материалы предназначены для педагогов доп...
Готовимся к экзамену по русскому языку. Фонетика. Графика. Орфоэпия (учебно-методические материалы для подготовки к итоговой аттестации)
Учебно-методические материалы для подготовки к итоговой аттестации учащихся по русскому языку (ГИА, ЕГЭ). Содержат теоретический материал по разделу "Фонетика.Графика.Орфоэпия", примерные эк...
Готовимся к экзамену по русскому языку. Морфемика и словообразование (учебно-методические материалы для подготовки к итоговой аттестации)
Учебно-методические материалы для подготовки к итоговой аттестации учащихся по русскому языку (ГИА, ЕГЭ). Содержат теоретический материал по разделу "Морфемика. Словообразование", примерные ...