Подготовка к экзаменам по геометрии (раздел планиметрия)
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

     В 9 и 11 классах (геометрия)  для подготовки к экзаменам я провожу уроки повторения и систематизации теоретических знаний по теме «Четырёхугольники» с помощью «Древа четырёхугольников».  Выглядит оно следующим образом:

     Данное «Древо» является планом, с помощью которого учащиеся рассказывают  теоретические сведения, связанные с данной темой.                                                              

     Рассказ начинается с корней дерева (снизу) и постепенно поднимается наверх. Выглядеть этот рассказ может следующим образом:

«Основные фигуры в геометрии это точка и прямая. Из этих фигур получаются следующие: отрезок, луч и угол. Все эти фигуры используются в четырёхугольнике.

     Четырёхугольником называется геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, причём никакие три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, соединяющие эти точки, причём никакие отрезки не пересекаются, кроме соседних. Эти точки называются вершинами треугольника, отрезки – его сторонами. Вершины называются соседними, если они являются концами одной стороны. Периметром четырёхугольника называется сумма длин его сторон. Диагональю называется отрезок, соединяющий не соседние вершины. Высотой называется перпендикуляр, проведённый из вершины четырёхугольника к противолежащей стороне. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Площадь четырёхугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

     Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклым называется четырёхугольник, вершины которого расположены по одну сторону от прямой, проходящей через каждую его сторону.

    Существует окружность, описанная около четырёхугольника и вписанная в четырёхугольник. Окружность называется вписанной в четырёхугольник, если она касается всех его сторон. В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны. Окружность называется описанной около четырёхугольника, если она проходит через все его вершины. Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.

     Существует два вида четырёхугольников: параллелограмм и трапеция.

     Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

В параллелограмме выполняются следующие свойства:

• противолежащие стороны равны;
• противолежащие углы равны;  
• диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма углов, прилегающих к каждой стороне равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

    Существует три признака параллелограмма:

• если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм;
• если в четырёхугольнике противолежащие стороны равны, то это параллелограмм;
• если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

У параллелограмма есть центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведённую. Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.

По правилу параллелограмма можно складывать вектора (если два вектора выходят из одной точки, то суммой этих векторов будет вектор, выходящий из этой вершины и заканчивающийся в противоположной вершине .

     Существует три вида параллелограммов: прямоугольник, ромб и квадрат.    

     Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. У прямоугольника есть свойство: диагонали его равны. Есть признак: если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

У прямоугольника есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей и две оси симметрии – прямые проходящие через середины противолежащих сторон.

Около прямоугольника можно описать окружность, её центр лежит в точке пересечения диагоналей.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

     Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойство ромба: в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами своих углов.

В ромбе есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей и две оси симметрии – прямые, проходящие по его диагоналям.

В ромб можно вписать окружность, центр её лежит в точке пересечения диагоналей. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

     Квадратом называется:

• параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны;
• прямоугольник, у которого все стороны равны;
• ромб, у которого все углы прямые.

У квадрата выполняются все свойства предыдущих фигур.

У квадрата есть центр симметрии (точка пересечения диагоналей) и 4 оси симметрии: прямые, проходящие через середины противолежащих сторон и по его диагоналям. Квадрат является правильной фигурой. Существуют формулы для вписанной и описанной окружности. Около квадрата можно описать окружность и можно вписать в него окружность. Центры этих окружностей совпадают и лежат в точке пересечения диагоналей.  

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

     Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми. У трапеции сумма углов, прилегающих к боковым сторонам равна 180°.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции равна полу сумме оснований.

Площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту или произведению средней линии на высоту.

     Трапеции бывают равнобедренные и прямоугольные.

    Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны. У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равны – это свойства. Есть признаки: если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная; если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

У равнобедренной трапеции есть ось симметрии – прямая, проходящая через середины оснований.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, центр которой лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

    Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой боковая сторона перпендикулярна основаниям.»

Задача слушающих учеников – отметить неточности или отсутствующие сведения и факты. Вести учёт ответа удобно с помощью следующего листа:

Древо  четырёхугольника _____________

        Такая форма повторения теории очень эффективна: ребята с удовольствием выполняют эту творческую работу, что способствует лучшему усвоению теоретического материала.