Выступление на семинаре "Система работы с одарёнными детьми"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10, 11 класс) на тему

М а с т е р – к л а с с

1. Задачи С4  вариантов ЕГЭ имеют характерную особенность: они содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно. В этой связи удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Поэтому подобные задачи называют многовариантными. Анализ всех вариантов считается полным решением  задачи такого типа. Иногда анализ позволяет сократить число возможных вариантов решения за счет дополнительной информации, указанной в условии задачи.

Сегодня я хотела бы рассмотреть наиболее часто встречающие в задачах С4 геометрические конфигурации: касающиеся окружности,  вписанные и описанные треугольника, шестиугольника, вневписанные окружности.

Подготовку детей к решению этих задач я начинаю с повторения теории по опорным схемам, которые вы видите на экране: 

А)ОКРУЖНОСТЬ. КАСАТЕЛЬНАЯ, КАСАТЕЛЬНЫЕ И ХОРДЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ И СЕКУЩИЕ

ОКРУЖНОСТЬ. КАСАТЕЛЬНАЯ, КАСАТЕЛЬНЫЕ

И ХОРДЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ И СЕКУЩИЕ

Б) ТРЕУГОЛЬНИК. ВПИСАННЫЕ, ОПИСАННЫЕ И ВНЕВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

( есть замечательная книга «Школьная геометрия в чертежах и формулах» автор Амелькин В.В., Рабцевич Т.И.)

2. Рассмотрение задач я считаю нужным начать с разбора некоторых опорных задач, где используются рассмотренные свойства:

Опорная задача 1. Прямые АВ и АС – касательные в точках В и С к окружности с центром в точке О. Через произвольную точку Х дуги ВС проведена касательная к окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и Р соответственно. Докажите, что периметр треугольника АМР и величина угла МОР не зависят от выбора точки Х.

Решение (рис. 5).  МВ = МХ и РС = РХ. Поэтому периметр треугольника АМР равен сумме отрезков АВ и АС. Или удвоенной касательной, проведённой к вневписанной окружности для треугольника АМР. Величина угла МОР измеряется половиной величины угла ВОС, который не зависит от выбора точки Х.

Опорная задача 2а. В треугольник со сторонами а, b и c вписана окружность, касающаяся стороны АВ и точке К. Найти длину отрезка АК.

Опорная задача 2б. Найти длину отрезка касательной АК, если К – точка касания вневписанной окружности со стороной АВ.

Решение (рис. 7). АК = АM = x, тогда BK = BN = c – x, CM = CN. Имеем уравнение b + x = a + (c – x).  Откуда. Заметим, что из опорной задачи 1 следует, что СМ = рΔАВС. b + x = p; х = р – b. Полученные формулы имеют применение в следующих задачах.

Опорная задача 3.Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с.

 Решение (рис. 8). Так как OMCN – квадрат, то радиус вписанной окружности равен отрезку касательной CN. .

Опорная задача 4.Докажите, что точки касания вписанной и вневписанной окружности со стороной треугольника симметричны относительно середины этой стороны.

5..

Решение (рис. 9). Заметим, АК – отрезок касательной вневписанной окружности для треугольника АВС. По формуле (2). ВМ – отрезок касательной вписанной окружности для треугольника АВС. По формуле (1). АК = ВМ, а это и означает, что точки К и М равноудалены от середины стороны АВ, что и требовалось доказать.

 Опорная задача 5. К двум окружностям проведены две общие внешние касательные и одна внутренняя. Внутренняя касательная пересекает внешние в точках А, В и касается окружностей в точках А1 и В1. Докажите, что АА1 = ВВ1.

Решение (рис. 10). Стоп… Да что тут решать? Это же просто другая формулировка предыдущей задачи. Очевидно, что одна из окружностей является вписанной, а другая вневписанной для некоего треугольника АВС.  А отрезки АА1 и ВВ1соответствуют отрезкам АК и ВМ задачи.

3. Ну и наконец решаем с учениками типовые задачи.

№1. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность,касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других егосторон. Радиусы вневписанных окружностей прямоугольного треугольникаравны 3 и 15. Найдите площадь треугольника.

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c . Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T , продолжений катетов BC и AC – в точках M и N соответственно, окружность с центром Oa радиуса ra касается

катета BC точке K , продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках Pи Q соответственно, а p – полупериметр треугольника ABC . Из равенстваотрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует,что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA+ AN = CA+ AT , поэтому

CM + CN = CB + BT + CA + AN = CB + CA + (BT + AT) = CB + CA + AB =a+b+c=2р

№2. Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC=10.5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD, EOF. 

Рис.1

Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 1200, а основание AC=10.5, значит, 

Треугольники AOB, COD, EOF - равносторонние со стороной  поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны . 

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2). 

Рассмотрим первый случай. Пусть OK, OL, OM - диаметры описанных окружностей треугольников AOB, COD, EOF  соответственно, OK=OL=OM =7. Окружность S с центром O, проходящая через точки K,L,M касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF,  так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. 

Рис.2
Рассмотрим второй случай. ПустьQ — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника COD и внешним образом — описанных окружностей треугольников AOB и EOF. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника AOB на прямую OL. Тогда 

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому . По теореме Пифагора  или 

Откуда находим x=3. 

Ответ: 7; 3.