Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о а b с а  b c  b α

Слайд 3

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A C a α M b c Дано: а || b, a  c Доказать: b  c Доказательство:

Слайд 4

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости α а а  α

Слайд 5

Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. α х Дано: а || а 1 ; a  α Доказать: а 1  α Доказательство: a а 1

Слайд 6

Теорема 2 α Доказать: а || b Доказательство: a Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. β b 1 Дано: а  α ; b  α b M с

Слайд 7

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. α q Доказать: а  α Доказательство: a p m O Дано: а  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

Слайд 8

α q l m O a p B P Q Доказательство: L а) частный случай A

Слайд 9

α q a p m O Доказательство: а) общий случай a 1

Слайд 10

Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. α а β М b с Доказать: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) с – ! Доказательство: Дано: α ; М  α

Слайд 11

Задача Найти: MD А В D M Решение: Дано:  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Доказать: М B  BD C a a

Слайд 12

Задача 128 Доказать: O М  (ABC) Дано: ABCD - параллелограмм ; AC ∩ BD = O ; М  (ABC); МА = МС , MB = MD А В D C O М Доказательство:

Слайд 13

Задача 12 2 Найти: AD; BD; AK; BK. А В D C O К Решение: Дано:  ABC – р/с ; О – центр  ABC CD  (ABC); ОК || CD А B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

Слайд 14

Перпендикуляр и наклонные М А В Н α МН  α А  α В  α МА и МВ – наклонные Н  α АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр М  α

Слайд 15

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А Н М α β а Дано: а  α , АН  α , АМ – наклонная, а  НМ, М  а Доказать: а  АМ Доказательство:

Слайд 16

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А Н М α β а Дано: а  α , АН  α , АМ – наклонная, а  АМ, М  а Доказать: а  НМ Доказательство:

Слайд 17

Угол между прямой и плоскостью А Н α β а О φ (а ; α ) =  АОН = φ