Урок по теме : "Перпендикулярность прямой и плоскости". 10-й класс
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Нагайцева Ирина Николаевна

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл 10_klass_geometriya.docx80.12 КБ

Предварительный просмотр:

Урок геометрии по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости". 10-й класс

Цели:

  1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
  2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

План:

  1. Теоретический опрос.
  1. Доказательство изученных теорем у доски.
  2. Фронтальный опрос.
  3. Презентации учащихся по данной теме.
  1. Решение задач.
  1. Решение устных задач по готовым чертежам.
  2. Решение письменных задач (по группам).
  3. Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.
  1. Итог урока. Задание на дом.

Ход урока

I. Теоретический опрос 

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.
(1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… 
(она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… 
(параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… 
(перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… 
(параллельны)

2. Дан параллелепипед

http://festival.1september.ru/articles/524196/img1.gif

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (
DCC1(ответ: AD; A1D1; B1C1; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру 
BB1 (ответ: (АВС); (A1B1C1))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой 
CC1 и плоскости (DСВ(ответ: они перпендикулярны)
2) прямой 
D1C1 и плоскости (DCB(ответ: они параллельны)

Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ

II. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1

http://festival.1september.ru/articles/524196/img2.gif

Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM  AC; M  (ABC)
ДоказатьAC  (AMB)
Доказательство: Т.к. AC  AB и AC  AM, а AM  AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC  (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

№2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img3.gif

ДаноВМDC - прямоугольник, M  (ABC), MB  AB
ДоказатьCD  (ABC)
ДоказательствоMB  BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB  AB по условию, BC  AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС)  MB  (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD  МВ по свойству сторон прямоугольника  CD  (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

http://festival.1september.ru/articles/524196/img4.gif

ДаноАВСD – прямоугольник, M  (ABC), MB  BC
ДоказатьAD  AM
Доказательство:
1)
ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник  BC  ABBS  MB по условию, MB  AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ)  BC  (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) 
BC  AD (по свойству сторон прямоугольника)  AD  (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. 
AD  (AMB)  AD  AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

http://festival.1september.ru/articles/524196/img6.gif

ДаноАВСD – параллелограмм, M  (ABC), МВ = МDМА = МС
ДоказатьMO  (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. 
О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO  BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ 
AMCMO  AC.
3) Итак, 
MO  BD и MO  AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС)  MO  (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

№1.2 (№125 учебника)

http://festival.1september.ru/articles/524196/img7.gif

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм.
Решение:

1) PP1  α и QQ1  α по условию  PP1  QQ1 (обосновать);
2) 
PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α  β = P1Q1;
3) 
PP1Q1Q - трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK  P1Q1;
4) 
QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img12.gif

= 9 см.

Ответ: P1Q1 = 9 см.

№2.2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img5.gif

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1.
Решение:

1) ∆ ABD: BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img13.gif

см;

2) ∆ DD1B: D1DB = 90°;

DD1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img14.gif

= 12 см;

3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img15.gif

см2.

Ответ:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img15.gif

см2.

№3.2

http://festival.1september.ru/articles/524196/img8.gif

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ  НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α  β = EP;
2)МЕ
 EP; НР  EP(обосновать), т.е. MEK = HPK = 90°;

3) ∆ HPKKP =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img16.gif

= 3 см;

4) EMK = PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

http://festival.1september.ru/articles/524196/img17.gif

; т.е.

http://festival.1september.ru/articles/524196/img18.gif

 EK =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img19.gif

= 9 см,

РЕ = РК + КЕРЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

Вариант I

Вариант II

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1  ABAA1 AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1  BCBB1 AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см.

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img9.gif

1) AA1  ABAA1  AD, а AB  AD = A  AA1  (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1  BB1, то BB1  (ABC)  BB1  BD;
2) ∆ 
ABD: BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img20.gif

= 20 см;

3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B1B =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img21.gif

= 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img10.gif

1) BB1  ABBB1  BC, а AB  BC = B  BB1  (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1  AA1, то AA1  (ABC)  AA1 AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆
AOB: AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img22.gif

= 6 см,

AO = ½ AC  AC = 12 см;
3) ∆ 
A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA1 =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img23.gif

= 5 см.

Ответ: 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

http://festival.1september.ru/articles/524196/img11.gif

Дано: ∆ ABCAB = AC = BCCD  (ABC); AM = MBDM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: 
S∆ ADB
Решение:

1) Т.к. CD  (FDC)  CD  AC и CD  BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ 
ADC = ∆ BDC (по двум катетам)  AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC  MC  MCD – прямоугольный,

тогда MC =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img24.gif

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, B = 60°,

sin B =

http://festival.1september.ru/articles/524196/img25.gif

, тогда

http://festival.1september.ru/articles/524196/img26.gif

,

а АВ = ВС (по условию).
5) 
S∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙

http://festival.1september.ru/articles/524196/img27.gif

.

Ответ:

http://festival.1september.ru/articles/524196/img28.gif

III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, №130, №131.

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.



По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок геометрии по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

конспект урока геометрии в 10 классе по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей"...

Урок по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости. Решение задач "

Представлена разработка урока в 10 классе, по геометрии к УМК: Геометрия для 10--11 кл., авторы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.. Это урок изучения нового материала с использова...

Индивидуальные задания по геометрии для 10 класса на тему "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

Задачи по геометрии  для 10 класса на тему  "Перпендикулярность прямых и плоскостей"...

Обобщающий урок по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» 10 rkfcc utjvtnhbz

Урок-проект. Обобщающий урок по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Данная тема является базовой для изучения пространственных фигур. Знания темы находят широкое применение в строитель...

Открытый урок на тему:"Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»....

Методическая разработка урока по геометрии по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Цель:Образовательная: формирование представления перпендикулярных прямых в пространстве, формирование умения представлять прямую, перпендикулярную к плоскости и решать задачи, применяя знания о перпен...