кружковое занятие по геометрии
презентация урока для интерактивной доски по геометрии (9 класс) на тему

Слайд 1

Кружковое занятие Тема : Решение задач с помощью проведения прямой, параллельной одной из сторон данного треугольника. . Учитель : Гагиева А.О. МКОУ СОШ с. Н.Батако

Слайд 2

Рассмотрим несколько геометрических задач, каждая их которых легко решается с помощью одного и того же дополнительного построения: проведения прямой, параллельной одной из сторон данного треугольника.

Слайд 3

Задача 1 . На медиане AK треугольника ABC взята точка M , причем AM : MK = 1 : 3. В каком отношении прямая BM делит сторону AC ?

Слайд 4

Решение: Через вершину B проведем прямую, параллельную AC , продлим медиану AK до пересечения с этой прямой в точке T . Из равенства треугольников KBT и AKC (по стороне и двум прилежащим углам: BK = KC , т. к. AK — медиана, ∠ BKT = ∠ AKC — вертикальные, ∠ KBT = ∠ KCA — накрест лежащие при параллельных прямых AC , BT и секущей BC ) следует, что BT = AC и AK = KT . Из подобия треугольников AML и MBT (по двум углам: ∠ MAL = ∠ BTK , ∠ ALB = ∠ LBT — накрест лежащие при параллельных прямых AC , BT и секущих BL , AT ) следует, что AL : BT = AL : AC = AM : MT . Поскольку AK = KT , то AM : MT = 1 : 7. Тогда AL : AC = 1 : 7, а AL : LC = 1 : 6.

Слайд 5

Задача 2 . В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении BD : DC = 2 : 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Слайд 6

Решение: Через вершину A проведем прямую, параллельную стороне BC , продлим медиану CE до пересечения с этой прямой в точке T . Треугольник TEA равен треугольнику EBC по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AE = EB , т. к. CE — медиана, ∠ AET = ∠ CEB — вертикальные, ∠ TAB = ∠ ABC — накрест лежащие при параллельных прямых TA , BC и секущей AB ). Следовательно BC = TA и TA = 3 DC . Треугольники TKA и DKC подобны по двум углам (∠ TAD = ∠ KDC , ∠ TCD = ∠ ATC — накрест лежащие при параллельных прямых TA , BC и секущих AD , TC ), следовательно KD : KA = DC : TA = 1 : 3.

Слайд 7

Задача 3 . В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что AP < AQ . Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что PQ = 3. Найдите AC .

Слайд 8

Решение: Проведём через вершину B прямую, параллельную AC , и продолжим медиану AM до пересечения с этой прямой в точке T . Из равенства треугольников AMC и BMT (по стороне и двум прилежащим к ней углам: BM = MC , т. к. AM — медиана, ∠ AMC = ∠ BMT — вертикальные, ∠ T BM = ∠ MC A — накрест лежащие при параллельных прямых AC , BT и секущей ВС ) следует, что AC = BT и MT = AM . Тогда AK = 1/6 AT , AN = 1/3 AT . Из подобия треугольников AKP и KBT (по двум углам: ∠ TAP = ∠ BTA , ∠ APB = ∠ TBP — накрест лежащие при параллельных прямых AC , BT и секущих AT , BP ) следует, что AP = 1/5 BT = 1/5 AC , а из подобия треугольников ANQ и BNT : AQ = 1/2 BT = 1/2 AC . Поскольку AQ — AP = PQ = 3, то 1/2 AC — 1/5 AC = 3. Отсюда находим, что AC = 10.

Слайд 9

Задача 4 . В треугольнике ABC проведена высота AD . Прямые, одна из которых содержит медиану BK , а вторая — биссектрису BE , делят эту высоту на три равных отрезка. Известно, что AB = 4. Найдите сторону AC .

Слайд 10

Решение: BE — биссектриса треугольника ABC , а потому BG — также биссектриса треугольника BDA . Из условия следует, что AG = 2 GD , поэтому по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника AB = 2 BD , следовательно BD = 2 . Через вершину A проведем прямую, параллельную стороне BC . Продлим медиану BK треугольника ABC до пересечения с этой прямой с точке T . Из равенства треугольников AKT и BKC (по стороне и двум прилежащим к ней углам: AK = KC , т. к. BK — медиана, ∠ KBC = ∠ ATK — вертикальные, ∠ BCK = ∠ KAT — накрест лежащие при параллельных прямых BC , AT и секущей AC ) следует, что BC = AT . Из подобия треугольников ATF и FBD (по двум углам: ∠ ATF = ∠ FBD - накрест лежащие при параллельных прямых BD , AT и секущей BT , ∠ TAF = ∠ BDF - прямые, коэффициент подобия AF : FD = 1 : 2) следует, что BD = 2 AT , а значит AT = BC = CD = 1. Из теоремы Пифагора для треугольника ABD следует, что AD = 2√3. И из теоремы Пифагора для треугольника ACD окончательно следует, что AC = √13.