Материалы для экзамена по геометрии 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Опубликовано 06.01.2015 - 18:58 - ганджа татьяна михайловна

Данный материал можно использовать для проверки знаний учащихся и к подготовке ГИА

Скачать:

Вложение	Размер
bilet_no1.docx	43.8 КБ
bilet_no2.docx	43.2 КБ
bilet_no3.docx	39.48 КБ
bilet_no4.docx	97.18 КБ
bilet_no5.docx	34.32 КБ
biletno6.docx	83.73 КБ
biletno7.docx	50.9 КБ
bilet_no8.docx	132.81 КБ
bilet_no9.docx	84.62 КБ
bilet_no10.docx	158.21 КБ
bilet_no_11.docx	66.94 КБ
bilet_no12.docx	307.03 КБ
bilety_po_geometrii_8_klass.docx	12.47 КБ
zadachi_ekzamendocx.docx	29.17 КБ

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №1

ТРЕУГОЛЬНИК-это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.

Виды треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В A description...

А С

АС-основание

АВ, ВС- боковые стороны

*Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. АВ=ВС

*Треугольник ,все стороны которого равны, называется равносторонним. A description...

*В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

*В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой.

(Биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника совпадают)

ПОЭТОМУ: * Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

*Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

A description...

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности. (Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла)

A description...

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Задача №1

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Задача №2

В ромбе сторона равна 44, одна из диагоналей — 44, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен A description... . Найдите площадь ромба.

Задача №3

Один угол параллелограмма в пять раз больше другого угла этого параллелограмма. Найдите градусную меру меньшего из углов параллелограмма.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №2

Виды треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным.

СВОЙСТВА .ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

1 Определения. Признаки. Свойства

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Теорема Пифагора Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Свойства прямоугольного треугольника Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Только в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне треугольника и совпадает с серединой гипотенузы. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. *Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.
Площадь прямоугольного треугольника ( h - высота, проведенная к гипотенузе )
Признаки прямоугольных треугольников Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный. Если медиана треугольника равна половине соответствующей ей стороны, то треугольник прямоугольный.

Задача №1

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 3 м?

Задача №2

В ромбе сторона равна 54, одна из диагоналей — 54, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен A description... . Найдите площадь ромба.

Задача №3

Основания трапеции относятся как 1:11, а средняя линия равна 48. Найдите большее основание трапеции.

Предварительный просмотр:

Виды треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

БИЛЕТ №3

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний

угол Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Задача №1

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 1:29. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

В ромбе сторона равна 16, одна из диагоналей — $16\sqrt{3}$ , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен $60^{\circ}$ . Найдите площадь ромба.

Задача №3

Средняя линия трапеции равна 11,а одно из её оснований больше другого на 12. Найдите меньшее основание трапеции.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ № 4

Признаки равенства треугольников

Треугольники называют равными, если их можно совместить наложением.

Признаки равенства треугольников

Рисунок	Название признака	Название признака
	Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними	Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны
	Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам	Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
	Признак равенства треугольников по трём сторонам	Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 1), две другие стороны называют катетами.

Типы треугольников признаки равенства треугольников признаки равенства прямоугольных треугольников

Рис.1

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Рисунок	Название признака	Название признака
	Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам	Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
	Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу	Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
	Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу	Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
	Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу	Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
	Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе	Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Задача №1

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:13. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

В ромбе сторона равна 22, одна из диагоналей — $22\sqrt{3}$ , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен $60^{\circ}$ . Найдите площадь ромба.

Задача №3

В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 124градуса, АС=ВС. Найдите градусную меру угла С.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №5

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Аксиома о параллельных прямых

Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Следствие 1 Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Следствие 2

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Следствие 3

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Задача №2

В ромбе сторона равна 68, одна из диагоналей — 68, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен $60^{\circ}$ . Найдите площадь ромба.

Задача №1

Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $36^{\circ}$ . Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Задача №3

В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 17, основание АС равно 16. Найдите тангенс угла А.

Предварительный просмотр:

Билет № 6

ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник- параллелограмм.

Задача №1

Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2.Найдите площадь треугольника.

Задача №3

Градусные меры углов треугольника относятся как 3:5:7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №7

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной

Общие свойства

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

Площадь трапеции

Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней линии и высоты.

Теорема Фалеса

Теорема.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

теорема Фалеса

Историческая справка.

К 6 веку до нашей эры главным городом греческого государства был Милет.

В это время в Греции был расцвет науки и культуры. Почти все философы Древней Греции тщательно занимались математикой, в частности, геометрией.

Фалес – купец, политический деятель, астроном, математик, живший в Милете, первый доказал ряд геометрических теорем. Эти положения были частично известны еще вавилонянам и египтянам, но в отличие от вавилонской и египетской геометрии, имевшей преимущественно практический характер, греческая геометрия характеризуется стремлением установить, что геометрические факты справедливы в любом случае.

К сожалению, до нас не дошли работы Фалеса и другие первоисточники, относящиеся к раннему периоду развития греческой математики, когда создавались первые математические доказательства. Мы можем судить о том времени только по отдельным отрывкам, сохранившимся в более поздних сочинениях.

Как философ, Фалес учил, что явления мира не случайны, мир не хаотичен, а закономерен. Он считал, что вода есть начало всего. Из нее возникло все существующее и в нее, в конце концов, опять превращается.

Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года, впервые наблюдал Малую медведицу. Особую славу ему принесло предсказание солнечного затмения, происшедшего в 585 г. до н. э. Вот почему он был причислен к группе “семи мудрецов древности”.

Фалес также входил в число знаменитых семи мудрецов, чьи изречения дошли до наших дней. Ему приписывают следующие:

Старше всех вещей – Бог, ибо он не рожден.
Прекраснее всего – космос, ибо он – творение Бога.
Больше всего – пространство, ибо оно вмещает всех.
Мудрее всего - время, ибо оно обнаруживает всё.
Быстрее всего – мысль, ибо она бежит без остановки.
Сильнее всего – необходимость, ибо она одолевает всех.

Задача №1

В прямоугольнике одна сторона равна 13, периметр равен 62. Найдите площадь прямоугольника.

Задача №2

Один из внешних углов треугольника равен 132 градуса. Углы треугольника ,не смежные с данным внешним углом , относятся как 5:6. Найдите градусную меру большего из этих углов.

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АС=10, синус угла А равен 12:13.Найдите сторону ВС.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №8

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

все свойства параллелограмма;
диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадрата

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба

Задача №1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $78^{\circ}$ . Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АВ =25,тангенс угла А равен 0,75. Найдите сторону АС.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №9

Площади основных фигур:

2) Формулы площади треугольника
Площадь треугольника
$1) S = \dfrac{1}{2}a \cdot h_a$

$2) S = \dfrac{1}{2}a \cdot b \cdot Sin C$

$3) S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ,

где $p = \frac {a+b+c}{2}$ (Формула Герона)

$4) S = p \cdot r$ , где r- вписанной окружности

$5) S = \dfrac{abc}{4R}$ , где R — радиус описанной окружности

Задача №1

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 17:73. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Сторона ромба равна 90, а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС=2√6, АВ=2√30 .Найдите тангенс угла А.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №10

Введем понятие подобных треугольников.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

4) Признаки подобия двух треугольников
1 признак подобия треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Коротко: если $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , то $\vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1$

2 признак подобия треугольников
2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если $\dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {BC}{B_1C_1}$ и $\angle B = \angle B_1$ , то $\vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1$

3 признак подобия треугольников 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть

Коротко: если $\dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {AC}{A_1C_1}=\dfrac {BC}{B_1C_1}$ , то $\vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1$

5) Свойства подобных треугольников

если $\vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1$ , то

$\dfrac {AB}{A_1 B_1}=\dfrac {AC}{A_1 C_1}=\dfrac {BC}{B_1 C_1}= \dfrac {P}{P_1}=\dfrac {m}{m_1}=\dfrac {b}{b_1} = \dfrac {h}{h_1}=\dfrac {r}{r_1}= \dfrac {R}{R_1} = \sqrt{\dfrac {S}{S_1}}$ , где

и m_1 — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

и b_1 — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

и h_1 — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Высота, проведенная из вершины прямого угла Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
$CA=\sqrt{AN \cdot AB}$
$CB=\sqrt{BN \cdot AB}$
$CN=\sqrt{AN \cdot NB}$

7) Свойство медиан в треугольнике.

Свойства точки пересечения медиан в треугольнике

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и деляться этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть

AO:OA_1 = 2:1
BO:OB_1 = 2:1
CO:OC_1 = 2:1

Свойство медианы в треугольнике Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

То есть $S_{\text{BAN}} = S_{\text{CAN}}$

Свойство медиан в теугольнике

Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

$= S_{\text{AOM}} = S_{\text{BOM}}$

8) Свойство биссектрис в треугольнике
Свойство биссектрисы в треугольнике Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.

То есть $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{CN}{CA}$

Свойство точки пересечения биссектрис в треугольнике Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противопорложной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

То есть $\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{S_{\text{ABN}}} {S_{\text{ANC}}}$

11) Средняя линия треугольника

Cредняя линия в треугольнике

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

То есть MN || BC и $MN = \dfrac{1}{2} BC$

Задача №1

Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:9:10:16. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Один угол параллелограмма больше другого на 44 градуса. Найдите градусную меру большего из углов параллелограмма.

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС =1, АС=√15. Найдите косинус угла В.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ № 11

Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора

Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике3

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

2) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть AB^2=BC^2+AC^2

3)Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Задача №1

В треугольнике ABC угол внешний угол при вершине А равен 1230, а внешний угол при вершине В равен 630. Найдите угол С треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

В треугольнике АВС проведена биссектриса АД, АВ равна 4 см , АС=8 см,ВС=6 см. Найти ВД, СД.

Задача №3

Четырехугольник АВСД вписан в окружность. Угол АВС равен 135 градусов, угол САД равен 70 градусов. Найдите градусную меру угла АВД.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №12

Тема: «Окружность»

Окружность

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания:

Обратно (признак касательной): если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Свойство касательных к окружности

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Дуга окружности

Центральный угол и градусная мера длины окружности

∠АОВ – центральный угол (вершина в центре окружности);

∪АВ = ∠АОВ (дуга меньше полуокружности)

∪АМВ = 360° - ∠АОВ (дуга больше полуокружности)

Вписанный угол

∠АМВ – вписанный угол (вершина лежит на окружности);

∠АМВ = ∪АВ = ∠АОВ

Следствие 1

∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = …. = ∪АВ.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на полуокружность – прямые.

Свойство отрезков пересекающихся хорд

CN ⋅ ND = AN ⋅ NB

Свойства биссектрисы угла

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка.

Четыре замечательные точки треугольника

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины;

2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Вписанная окружность

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны.

Описанная окружность

Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны.

Задача №1

Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что КМД=РЕД.

Дано:МД=ДЕ;РД=ДК

Д-ть: КМД=РЕД

Задача №2

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 43, острый угол, прилежащий к нему, равен A description... , а гипотенуза равна 86. Найдите площадь треугольника.

Задача №3

Длины двух сторон прямоугольника относятся как 8:15 , а его периметр равен 230. Найдите диагональ прямоугольника.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс

БИЛЕТ №1

Треугольник. Виды треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Медиана .Биссектриса. Высота.

БИЛЕТ №2

Треугольник. Виды треугольников. Свойства и признаки прямоугольного треугольника.

БИЛЕТ №3

Треугольник. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами треугольника.

БИЛЕТ №4

Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

БИЛЕТ № 5

Определение параллельных прямых. Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых.

БИЛЕТ №6

Параллелограмм. Определение. Свойства. Признаки.

БИЛЕТ №7

Трапеция. Определение. Теорема Фалеса. Виды трапеций.

БИЛЕТ №8

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Свойства. Признаки.

БИЛЕТ № 9

Площади геометрических фигур.

БИЛЕТ № 10

Подобные треугольники. Определение. Признаки подобия треугольников.

БИЛЕТ №11

Теорема Пифагора. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

БИЛЕТ № 12

Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства и признак касательной. Центральные и вписанные углы. Вписанная и описанная окружности.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №1

Задача №1

Задача №2

Задача №3

БИЛЕТ №2

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Основания трапеции относятся как 1:11, а средняя линия равна 48. Найдите большее основание трапеции.

БИЛЕТ №3

Задача №1

Задача №2

В ромбе сторона равна 16, одна из диагоналей — A description... , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Задача №3

БИЛЕТ №4

Задача №1

Задача №2

В ромбе сторона равна 22, одна из диагоналей — A description... , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Задача №3

В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 124градуса, АС=ВС. Найдите градусную меру угла С.

БИЛЕТ №5

Задача №1

Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна A description... . Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС относятся как 9:12 соответственно. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 45.

Задача №3

В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 17, основание АС равно 16. Найдите тангенс угла А.

БИЛЕТ №6

Задача №1

Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2.Найдите площадь треугольника.

Задача №3

Градусные меры углов треугольника относятся как 3:5:7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника.

БИЛЕТ №7

Задача №1

В прямоугольнике одна сторона равна 13, периметр равен 62. Найдите площадь прямоугольника.

Задача №2

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АС=10, синус угла А равен 12:13.Найдите сторону ВС.

БИЛЕТ №8

Задача №1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна A description... . Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АВ =25,тангенс угла А равен 0,75. Найдите сторону АС.

БИЛЕТ №9

Задача №1

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 17:73. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Сторона ромба равна 90, а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС=2√6, АВ=2√30 .Найдите тангенс угла А.

БИЛЕТ №10

Задача №1

Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:9:10:16. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Задача №2

Задача №3

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС =1, АС=√15. Найдите косинус угла В.

БИЛЕТ №11

Задача №1

Задача №2

В треугольнике АВС проведена биссектриса АД, АВ равна 4 см , АС=8 см,ВС=6 см. Найти ВД, СД.

Задача №3

БИЛЕТ №12

Задача №1

Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что A description... КМД=РЕД.

Дано:МД=ДЕ;РД=ДК

Д-ть: КМД=РЕД

Задача №2

Задача №3

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Анализ выполнения письменного экзамена по геометрии выпускниками 9 классов школы №147 города Челябинска за 2011-2012 учебный год

Предлагается анализ письменнлого экзамена по геометрии в 9 классах школы №147 за 2011-2012 учебный год....

Мне нравится

Навигация

Библиотека

Материалы для экзамена по геометрии 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний

угол Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №7

Элементы трапеции

Виды трапеций

Общие свойства

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Вписанная и описанная окружность

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Анализ выполнения письменного экзамена по геометрии выпускниками 9 классов школы №147 города Челябинска за 2011-2012 учебный год

Билеты переводного экзамена по геометрии 7 класс

Контрольно-измерительные материалы переводного экзамена по физике в 8 классе в форме ГИА

Экзаменационные билеты для проведения устного экзамена по геометрии 8 класс по учебнику Атанасяна.

Билеты для переводного экзамена по геометрии 8 класса

Материалы переводного экзамена по математике в 7 классе

Материалы для устного экзамена в 7Б классе 2024

Навигация

Библиотека

Материалы для экзамена по геометрии 8 классметодическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний

угол Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №7

Элементы трапеции

Виды трапеций

Общие свойства

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Вписанная и описанная окружность

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Анализ выполнения письменного экзамена по геометрии выпускниками 9 классов школы №147 города Челябинска за 2011-2012 учебный год

Билеты переводного экзамена по геометрии 7 класс

Контрольно-измерительные материалы переводного экзамена по физике в 8 классе в форме ГИА

Экзаменационные билеты для проведения устного экзамена по геометрии 8 класс по учебнику Атанасяна.

Билеты для переводного экзамена по геометрии 8 класса

Материалы переводного экзамена по математике в 7 классе

Материалы для устного экзамена в 7Б классе 2024

Материалы для экзамена по геометрии 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему