урок по теме " Виды неправильных пирамид"
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Конспект урока по теме: «Виды неправильных пирамид».

Тип урока: урок-лекция.

Учебник: Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2007 год. – 256 с.

Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися выявить основные виды неправильных пирамид и соответствующие им равносильные условия.

Диагностируемые цели: в результате урока ученик:

знает виды неправильных пирамид и их построение, свойства площади боковой поверхности неправильных пирамид;

понимает какие свойства и почему присуще каждому виду пирамид.

умеет определять вид неправильных пирамид, находить проекцию вершины пирамиды на плоскость основания.

Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковый.

Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица, презентация, модели.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин);

II. Операционально-познавательный этап (30 мин);

III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).

Ход урока.

1. Мотивационно – ориентировочный этап.

Учитель: На пошлом уроке вы решали задачи на правильную пирамиду. Сформулируйте определение правильной пирамиды.

Ученики: Правильной называется пирамида, в основание которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с  центром основания, является ее высотой.

Учитель: Изобразим правильную треугольную пирамиду. Сформулируйте шаги плана её построения для треугольной пирамиды.

Ученики: 1. Построить основание пирамиды.

1. Найти точку пересечения медиан.
2. Построить перпендикуляр к основанию через эту точку.
3. Взять на этой прямой произвольную точку – вершина пирамиды.
4. Соединить эту точку с вершинами основания.  

Учитель: Назовите основание пирамиды, боковые грани, боковые ребра.

Ученики: Основанием является АВС, боковые грани- АДС, ВДС, АДВ, боковые ребра- АД, ВД , СД.

Учитель: что называется высотой пирамиды.

Ученики: перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой призмы - ОД.

Учитель: Что называется апофемой? Изобразите ее на рисунке.

Ученики: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. ДМ – апофема.

Учитель: Вспомним свойства правильной пирамиды.

Ученики: Все боковые ребра правильной пирамиды равны: АД=ВД=СД. Боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками: ⊿АДС=⊿ВДС=⊿АДВ.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему, ребра образуют равные углы с основанием и высотой.

Учитель: Докажите по данному рисунку равенство боковых ребер?

Ученики: Рассмотрим ⊿АОД,  ⊿СОД и ⊿ВОД – прямоугольные:

1. ДО – общая сторона
2. АО=ВО=ОС – как радиусы описанной окружности основания. ⊿АОД=⊿ВОД=⊿СОД (по двум катетам). Следовательно, АД=ВД=СД.

Учитель: Что ещё следует из равенства этих же треугольников?

Ученики: ДАО=∠ДВО=∠ДСО.

Учитель: Докажите равнонаклонность боковых граней к основанию.

Ученики: ∠ДАО=∠ДВО=∠ДСО, то боковые грани равнонаклоненны к основанию. 

Учитель: Что мы знаем про апофемы?

Ученики: Апофемы опираются на радиус вписанной окружности и равны между собой. Так же равны углы между апофемой и плоскостью основания, и равны углы между апофемой и высотой.

Учитель: Какой можно сделать вывод из этого про боковые грани правильной пирамиды и ее высотой ?

Ученики: Боковые грани правильной пирамиды образуют равные углы с высотой.

Учитель: Мы имеем правильную пирамиду, и она обладает некоторыми свойствами: боковые грани равнонаклоненны к основанию, боковые грани образуют равные углы с высотой правильной пирамиды.

Обратим внимание на задачи в учебнике. Какие пирамиды рассматриваются в большинстве задач?

 Ученики: В большинстве задач рассматриваются пирамиды, в основание которых лежат неправильные многоугольники.

Учитель: Значит, нужно выявить свойства неправильных пирамид, чтобы выяснить взаимное расположение их элементов, которые будут необходимы при решение задач.Цель урока является выявление видов неправильных пирамид и их свойств. 

2. Содержательный этап.

Решим задачу: Дан треугольник АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника. Точка Д равноудалена от вершин А и В. Выяснить, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д.

Дано: ∆АВС; т.Д∉ (АВС). т.Д равноудалена от А и В.

Выяснить: в какую точку плоскости (АВС) проектируется т.Д.

Решение:

        Допустим т.Н – проекция т.Д на (АВС). Следовательно ДН⊥(АВС)

        Рассмотрим ∆ДАН и ∆ДВН: они прямоугольные; АД=ВД; НД – общая. Следовательно ∆ДАН=∆ДВН.

        Так как ∆ДАН=∆ДВН, то АН=ВН. Следовательно ∆АНВ – равнобедренный и т.Н – вершина, из которой выходит медиана и гипотенуза, то есть т.Н лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ.

Ответ: проекция точки Д на плоскость треугольника АВС принадлежит серединному перпендикуляру отрезка АВ.

Из равенства треугольников ДАН и ДВН можно выделить еще два равенства:

        ∠ДАН=∠ДВН. Это углы между наклонными АД и ВД и плоскостью (АВС).

        ∠АДН=∠ВДН. Это углы между наклонными АД и ВД и перпендикуляром ДН.

Мы получили несколько условий:

        Точка Д равноудалена от вершин А и В;

        Точка Д проектируется на серединный перпендикуляр к отрезку АВ;

        Наклонными АД и ВД равнонаклонены к плоскости АВС;

        Наклонными АД и ВД равнонаклонены к перпендикуляру ДН.

В нашей задаче выполнялось первое условие, а мы доказали, что выполняются следующие три.

Допустим, что выполняется, например, третье условие. Другие условия будут выполняться, исходя из равенства треугольников ДАН и ДВН. Получаем, что, если выполняется одно из данных четырех условий, то выполняются и остальные условия. Такие условия называются равносильными.

Если мы соединим точки Д и С, то получим тетраэдр ДАВС. Допустим, что все боковые ребра тетраэдра равны. Из этого выведем равносильные условия, опираясь на равносильные условия предыдущей задачи.

Все три треугольника АДН, ВДН и СДН равны, а значит точка Н лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС.

То есть точка Д проектируется в центр описанной окружности основания.

Все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания и к высоте пирамиды.

Таким образом, получаем один из видов неправильных пирамид – пирамида, вершина которой проектируется в центр описанной окружности основания.

Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания тогда и только тогда, когда:

        Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания;

        Боковые ребра пирамиды равны;

        Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания;

        Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

Учитель: Решим задачу. Дан ⊿ АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника. Точка Д равноудалена от прямых АВ и АС. Выясните, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д.

Дано: ⊿ АВС,

Д∉ (АВС),

d(Д, АВ) = d(Д, АС)  

Выяснить, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д.

Решение.

Учитель: Что означает точка Д равноудалена от прямых АВ и АС?

Ученики:  Проводится перпендикуляр из т. Д к АВ и АС  - ДК и ДМ, тогда ДК = ДМ.

Учитель:  Рассмотрим т. Н – проекция т Д на плоскость АВС. Что можно сказать про ⊿ ДНК  и ⊿ ДНМ?

Ученики: ⊿ ДНК  = ⊿ ДНМ (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует, что НК = НМ.

Учитель: К какому множеству точек принадлежит точка Н?

Ученики: Биссектриса.

Учитель: Что еще можем сказать про НК и НМ?

Ученики: ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН ⊥ КН,  ДК ⊥ АВ, то по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, КН ⊥ АВ.

ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН ⊥ КМ,  ДМ ⊥ АВ, то по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, КМ ⊥ АС.

Учитель: Что можем сказать про ⊿ ДКА и  ⊿ ДМА ?

Ученики: ⊿ ДКА и  ⊿ ДМА - прямоугольные:

        ДК = ДМ

        ДА – общая.

⊿ ДКА = ⊿ ДМА (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует: ∠ДАК = ∠ДАМ.

Учитель: Исходя из этого, можно сделать вывод, что проекция точки Д на плоскость АВС принадлежит биссектрисе ∠ САВ. Но это не полный вывод, который можно сделать по задаче. Из условия задачи так же следует, что т. Д может проектироваться на продолжение биссектрисы ∠ САВ , если ∠ДАВ = ∠ДАС >90° ,или биссектрису одного из внешних углов ⊿ АВС при вершине А,  ⊿ДКН=⊿ДМК, следовательно плоскости (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к плоскости (АВС). ∠КДН=∠МДН, тогда получим, что плоскости (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к перпендикуляру ДН. Но в дальнейшем нас будет больше интересовать именно первый случай, поэтому остановимся подробнее на нем.

Получаем следующие равносильные условия для пирамиды , вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания:

        т. Д равноудалена от прямых АВ и АС (∠ДАВ = ∠ДАС<90°);

        т. Д проектируется на биссектрису ∠ САВ;

        ∠ДАВС = ∠ДАСВ<90°;

        (ДАВ) и (ДАС) равнонаклонены к перпендикуляру ДН;

        Наклонная ДА образует равные острые углы со сторонами АВ и АС.

Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания тогда и только тогда, когда :

        Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания;

        Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания;

        Каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными сторонами основания;

        Боковые грани пирамиды  равнонаклонены к основанию;

        Боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

Такая пирамида обладает следующими свойствами:

1. Sбок.пов.=  Росн *h, где h – высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды;
2. Sбок.пов = , где  - двугранный угол при основании пирамиды.

3. Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: Какие пирамиды мы изучили?

Ученики: Пирамида, вершина которой проектируется в центр описанной и вписанной окружности основания.

Учитель: Какими свойствами обладает пирамида,  вершина которой проектируется в центр описанной окружности основания?

Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания тогда и только тогда, когда:

        Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания;

        Боковые ребра пирамиды равны;

        Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания;

        Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

Учитель: Какими свойствами обладает пирамида,  вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания?

Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания тогда и только тогда, когда :

        Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания;

        Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания;

        Каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными сторонами основания;

        Боковые грани пирамиды  равнонаклонены к основанию;

        Боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

Учитель: Как найти площадь боковой поверхности пирамиды, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания?

Ученики: Sбок.пов.= 1/2 Росн *h, где h – высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды;

Sбок.пов = S_осн/cos⁡α , где α - двугранный угол при основании

пирамиды.

Учитель: Домашнее задание.

  Доказать свойства пирамиды, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности.

№250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120о. боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45о. Найти площадь основания пирамиды.

Дано: ДАВС – пирамида, АВС равнобедренный треугольник (о), ДО – высота, ДО=16 см, ∠АДО=∠ВДО=∠СДО=45о(*)

Найти: Sосн.

Решение:

1. Из условия (*) следует, что вершина Д проектируется в центр описанной окружности основания АВС.
2. Пусть R – радиус описанной окружности, тогда R=0,5АС/sin ∠В

R=0,5АСsin120o=

3. Из ДОВ: ВО=ДО tg45o=ДО=16 (см)

Но ВО=R=AC (√3)/3=16 (см), следовательно, АС=16 (см).

4. Sосн.=АВ*ВС*sin∠В
5. АМ=, АВ==АС (см)
6. Sосн.= (см2).

Ответ: 64√3см2.

Канва – таблица.