«Свойства и признаки параллелограмма».
статья по геометрии (8 класс)

Контроль знаний по теме «Свойства и признаки параллелограмма».

С.П. Письменкова (Санкт-Петербург)

Данная работа связана с обучением геометрии в 8 классе, а в частности

посвящена одной из ее тем «Параллелограмм». Рассматриваются вопросы как осуществить текущий и тематический контроль на уроках геометрии. Какие задачи предлагать учащимся для дифференцированного контроля знаний учащимся? Какие задачи определяют базовый уровень сложности, а какие повышенный уровень сложности?

         Прежде всего напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В учебнике Л.С. Атанасяна «Геометрия 7 - 9» даны два свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны;
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Перечислим еще несколько свойств параллелограмма.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800;
4. Если провести диагональ параллелограмма, то она делит его на два равных треугольника;
5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Свойства 3 – 5 встречаются при решении задач и их необходимо

 доказывать в каждой конкретной задаче. Рассмотрим задачи на применение соответствующих свойств. Распределим их по группам в соответствии со свойствами.

     I группа. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

1. В параллелограмме АВСD ВС = 5 см, СD = 6 см. Найдите стороны АВ и CD.
2. В параллелограмме АВСD угол А равен 400. Найдите остальные углы.
3. Чему равен периметр параллелограмма, если его стороны 4 и 7 см.
4. Одна из сторон параллелограмма в два раза меньше другой. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 42 см.
5. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 860.

     I I группа. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. Дан параллелограмм АВСD, О – точка пересечения диагоналей. Диагональ ВD = 10 см. Чему равны отрезки ВО и ОD?
2. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до его вершин равны 2 и 3 см. Чему равны диагонали параллелограмма?
3. В параллелограмме АВСD диагонали АВ и СD пересекаются в точке О и соответственно равны 6 и 10 см, сторона АD = 7 см. Найдите периметр треугольника АОD.
4. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая, пересекающая стороны АD и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, АЕ = 5 см, ВF = 3 см.
5. В параллелограмме АВСD диагонали АВ и СD пересекаются в точке О. Угол ВОС = 1200, угол СВО = 250. Найдите углы треугольника АОD.

     I I I группа. Докажите, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 1800 .

1. Докажите, что в параллелограмме сумма углов равна 3600 .
2. Найдите углы параллелограмма, если один из них равен 380 .
3. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 1400 .
4. Могут ли два угла параллелограмма быть равными 1100  и  1200 ?
5. Диагональ АС параллелограмма АВСD образует с его сторонами углы 200  и 300. Найдите углы параллелограмма.

     IV группа. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

1. Диагональ ВD делит параллелограмм на два треугольника. Периметр треугольника АВD равен 23 см. Найдите периметр треугольника ВСD.
2. В параллелограмме АВСD перпендикуляр, проведенный из вершины В, делит сторону АD пополам. Докажите, что треугольник АВD – равнобедренный.
3. Если диагональ четырехугольника делит его на два равных треугольника, то всегда ли этот четырехугольник – параллелограмм?

     V группа. Докажите, что биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

1. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке К, ВК = 4 см. Найдите сторону СD.
2. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD  пересекает сторону ВС в точке Р, причем ВР = РС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54 см.
3. Стороны параллелограмма 6 и 20 см. Построены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, которые пересекают противоположную сторону и делят ее на три отрезка. Найдите эти отрезки.
4. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD  пересекает сторону ВС в точке М и делит ее на отрезки 5 и 4 см. Найдите периметр АВСD.

      Рассмотрим признаки параллелограмма. В учебнике Л.С. Атанасяна «Геометрия 7 - 9» даны три признака параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

  Добавим еще признаки параллелограмма.

4. Если в четырехугольнике каждая диагональ делит его на два равных треугольника, то этот четырехугольник – параллелограмм.
5. Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Рассмотрим задачи на применение соответствующих признаков. Распределим их по группам в соответствии с признаками.

      I группа.  Доказать, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

1. На сторонах МN и РК параллелограмма КМNР отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что четырехугольник АМВР – параллелограмм.
2. В четырехугольнике АВСD угол А равен 750 , угол В равен 1050, АD = ВС. Докажите, что АВСD – параллелограмм.
3. На сторонах AD и ВС параллелограмма АВСD отложены равные отрезки АК и СМ. Докажите, что четырехугольник АКСМ – параллелограмм.
4. В параллелограмме АВСD точка К – середина стороны ВС, точка М – середина стороны АD. Докажите, что четырехугольник АМСК – параллелограмм.

  II группа. Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС. Угол ВАС равен углу АСD, угол ВСА равен углу САD. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.
2. В четырехугольнике MNPK MN = PK, NP = MK. Докажите, что этот четырехугольник  – параллелограмм.
3. На сторонах четырехугольника АВСD отмечены точки М, N, Р, Q так, что АМ = СР, ВN = DQ, ВМ = DР, NС = QА. Докажите, что четырехугольник MNPQ – параллелограмм.
4. На диагонали АС параллелограмма АВСD отложены равные отрезки АЕ и СК. Докажите, что четырехугольник ВЕDК – параллелограмм.

      III группа. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

1. ВК – медиана треугольника АВС. На ее продолжении отложен отрезок КD за точку К, равный ВК. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.
2. В окружности с центром О проведены два диаметра АС и ВD. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.
3. Стороны ВО и ОА треугольника АВО продолжены за точку О так, что АО = ОС, ВО = ОD. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.
4. На диагонали ВD параллелограмма АВСD отмечены две точки Р и Q так, что PВ = QD. Докажите, что четырехугольник АРС Q – параллелограмм.

Тематическую проверку знаний по теме «Свойства и признаки параллелограмма» можно провести с помощью теста, который представлен в двух вариантах.

ТЕСТ.

1 вариант.

А1.  Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из сторон в два раза больше другой. Чему равна наименьшая из его сторон?

       1) 6 см          2) 12 см       3) 9 см      4) 8 см

А2. Если в  параллелограмме АВСD  ˂А + ˂В + ˂D = 2520, то чему равен угол А?

          1)  900        2)  720      3)  840     4) 1080

А3.  Диагональ АС параллелограмма АВСD образует со сторонами  АВ и ВС углы 250  и 450. Чему равна величина угла С?

          1)  250        2)  450      3)  700     4) 1100

А4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК = 7 см, КС = 3 см. Чему равен периметр параллелограмма?

          1) 20 см          2) 26 см       3) 34 см      4) 30 см

В1. В параллелограмме АВСD высота, опущенная на сторону СD, делит ее пополам и образует с диагональю ВD угол 300, АВ = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.

Ответ: _________

В2. В параллелограмме АВСD биссектрисы углов В и D пересекают стороны АD и ВС в точках М и К соответственно так, что МD = 5 см, КС = 7 см. Найдите периметр АВСD.

Ответ: _________

   ТЕСТ.

2 вариант.

А1.  Периметр параллелограмма равен 32 см, а две его стороны относятся как 3 : 1. Чему равна наибольшая из его сторон?

           1) 5см          2)  12 см      3)  8 см     4) 4 см

А2. Если в  параллелограмме АВСD  ˂А + ˂В + ˂С = 2370, то чему равен угол В?

          1)  570        2)  790      3)  1230     4) 900

А3.  Диагональ ВD параллелограмма АВСD образует со сторонами  АВ и АD углы 260  и 520. Чему равна величина угла В?

          1)  520        2)  260      3)  1020     4) 780

А4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке М так, что АМ = 8 см, МD = 4 см. Чему равен периметр параллелограмма?

          1) 40 см          2) 24 см       3) 32 см      4) 36 см

В1. В параллелограмме АВСD высота, опущенная на сторону СD, делит ее пополам и образует со стороной ВС угол 300, АВ = 12 см. Найдите периметр параллелограмма.

Ответ: _________

В2. В параллелограмме АВСD биссектрисы углов А и С пересекают стороны ВС и АD в точках М и К соответственно так, что АК = 4 см, ВМ = 6 см. Найдите периметр АВСD.

Ответ: _________

   По результатам  проведенного теста можно судить о знаниях учащихся по данной теме, что позволит организовать дальнейшую работу в классе.

Литература.

1. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 8 класс / сост. Н.Ф. Гаврилова. – 2-е изд., перераб. – М.: ВАКО, 2013.
2. Контрольные работы по геометрии: 8 класс: к учебнику Л.С.Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия 7-9» / Н.Б. Мельникова. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.
3. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7-9 классы: пособие для учителя общеобразоват. организаций / М.А. Иченская. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014.
4. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений /  Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
5. Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 15-е изд. - М.: Просвещение, 2013.