Решение задач на тему : «Прямоугольники, ромб, квадрат»
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Решение задач на тему : «Прямоугольники, ромб, квадрат»

Цели урока:

- Закрепить теоретический материал по теме: «Прямоугольники, ромб, квадрат».

- Совершенствовать навыки решения задач по теме.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Теоретическая самостоятельная работа

Заполнить таблицу, отметив знаки + (да) и – (нет). Один из учащихся работает на переносной доске, остальные в своих тетрадях. После завершения работы класс проверяет работу, выполненную на переносной доске.

III. Проверочный тест

Тесты в двух вариантах в распечатанном виде раздаются учащимся. Ответы нужно записать на листочках и в тетрадях: листочки сдаются на проверку учителю; ответы в тетради проверяют сами учащиеся по заранее подготовленным ответам на обороте доски.

I – вариант

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом;

б) квадратом;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

II – вариант

1. Любой ромб является:

а) квадратом;

б) прямоугольником;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

Ответы к тесту:

I  вариант: 1)в; 2) г 3) б.

II вариант: 1)в; 2) а; 3) а.

IY. Проверка домашнего задания

Один из учащихся готовит на доске решение дополнительной домашней задачи на этапе теоретической самостоятельной работы. Учащиеся, справившиеся с решениями задачи, проверяют свое решение. Задание для учащихся, не справившихся с дополнительной домашней задачей: внимательно выслушать решение задачи и разобраться в плане решения задачи.

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

Контролирующие вопросы:

- Зачем нужно находить  ВКС?  

- Почему КВ=½ АК?                                                                

- Почему  АВ=3/2АК?                                                            Д                                 С                                  

                                                                                                           М  

Y. Решение задач  

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

YI.Самостоятельная работа обучающего характера

При выполнении работы учитель контролирует работу менее подготовленных учащихся, оказывая при этом необходимую индивидуальную помощь.

       По окончании работы проводится самопроверка. Самопроверку можно осуществить следующим образом:

I  способ – заранее подготовить решение на распечатанных листочках и по окончании работы раздать листочки каждому ученику, ученик проверяет свое решение , исправляет ошибки.

II способ – по окончании работы объявить ответы к задачам, ученик должен найти свои ошибки в случае расхождения его ответов от верных.  

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

YII. Подведение итогов урока

Выставить оценки за работу на уроке и выполнение домашнего задания.

Домашнее задание

Изучить п. 47, вопросы 16-20;

Решить задачи 415(б), 413(а)

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

I вариант: 1) в; 2) г; 3) б.

II вариант: 1) в; 2) а; 3) а.

I вариант: 1) в; 2) г; 3) б.

II вариант: 1) в; 2) а; 3) а.

I вариант: 1) в; 2) г; 3) б.

II вариант: 1) в; 2) а; 3) а.

I вариант: 1) в; 2) г; 3) б.

II вариант: 1) в; 2) а; 3) а.

I вариант: 1) в; 2) г; 3) б.

II вариант: 1) в; 2) а; 3) а.

I – вариант

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом;

б) квадратом;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

II – вариант

2. Любой ромб является:

а) квадратом;

б) прямоугольником;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

I – вариант

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом;

б) квадратом;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

II – вариант

3. Любой ромб является:

а) квадратом;

б) прямоугольником;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

I – вариант

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом;

б) квадратом;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

II – вариант

4. Любой ромб является:

а) квадратом;

б) прямоугольником;

в) параллелограммом;

г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

а) ромб;

б) квадрат;

в) прямоугольник;

г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

__________________________________________________________________________________

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

_______________________________________________________________________________

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

______________________________________________________________________________

Задачи на готовых чертежах                    

1.СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

_________________________________________________________________________________

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

Задачи на готовых чертежах                    

1. СДЕВ – ромб. Найти < СДЕ

2. В параллелограмме MNPK  проведена высота NE, причем

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

__________________________________________________________________________________

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

_________________________________________________________________________________

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

I уровень

1. ВСЕF – параллелограмм. Найти сторону ВС, если СЕ=4 см и FЕ=5 см.

2. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

II- уровень

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

III- уровень

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно  в точках М и N. Найдите угол АNВ, если <АМС=120°.

2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

_________________________________________________________________________________

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

     На сторонах АВ и СД прямоугольника АВСД взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

      Дано: АВСД – прямоугольник

              АВ=3, К АВ, М СД, < КАС=30°, АКСМ- ромб.

Найти: АК.

Решение (рис.1)

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС,  АКС- равнобедренный, значит КСА =  КАС=30°,  АКС= 120°,  ВКС = 60°.

б)  КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60°,  КСВ = 30°, тогда КВ=КС:2= АК:2.

в) Т.к. КВ= АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2.                 К

Ответ: АК=2.                                                                            А                               В

__________________________________________________________________________________

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

_________________________________________________________________________________

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

_________________________________________________________________________________

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

_________________________________________________________________________________

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

______________________________________________________________________________

Дополнительная задача: Докажите, что биссектрисы всех четырех  углов прямоугольника ( не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

__________________________________________________________________________________

Решение задач самостоятельной работы

I-уровень

1.    Дано: ВСЕF- параллелограмм

                                                                                               FЕ=5 см

                                                                                                СЕ= 4 см

                                                                                                     Найти: ВС.

Решение: т.к. ВСЕF – параллелограмм (по условию задачи), то FЕ=ВС=5 см.(1° свойство параллелограмма).  

2. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

II –уровень

1. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

2. Дано: АВСД - прямоугольник

                                                                                                 <АОВ=80°

___________________

Найти: <ОАВ -?, < ОАД-?                          

Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО=ВД:2 =АС:2= АО и   АОВ – равнобедренный, тогда <ОАВ =<ОВА= 50º.

В прямоугольнике все углы прямые, тогда:

<ОАД=<ВАД -<ОАВ =90°-50º= 40º.

Ответ: 50º, 40º.

 III - уровень

1. Дано: АВСD ромб

АМ- биссектриса

АМ∩ВС в точке М

                                                                                                                          <ВАМ=<САМ

                                                                                                                        <АМС= 120º

АМ∩ВD в точке N

________________

Найти: <АNВ-?

Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.

<ВАС = <ВАД:2 = <ВСД:2 = <ВСА.

Т. к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА, то <МАС=<МСА :2.

В  АМС  <МАС+<МСА= 180°-<120º =60°.

<МАС=<МСА:2, тогда <МАС =20°, <ВАС =40°.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, <АВО =90° - <ВАО = 50°.

В  АВN  <ВАN=<МАС = 20°, <АВN=50°, тогда <АNВ=180°-(20°+50°) = 110°.

Ответ: <АNВ=110°.

2. Дано: АВСД- квадрат

АС∩ВД в точке О

НР┴МК

НР∩МК в точке О

_______________

Док-ть: МНКР- квадрат

Решение:  ВМО= ДКО по стороне и прилежащим к ней углам (ВО=ДО, <МВО=<КДО =45°, <ВОМ= <ДОМ), тогдаВМ= КД, значит АМ=СК (АМ=АВ-ВМ, СК= СД-КД, ВМ= КД, АВ=СД),ОМ=ОК.

       Из равенства  СОН и  АОР аналогично получаем СР= АР, ВН= РД,  ОН= ОР.

      В четырехугольнике МНКР диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ=ОК, ОН=ОР), тогда МНКР – ромб.

 АМО  =   ДОР  =   СОК=   ВОН по двум сторонам и углу между ними (ОА=ОД=ОС=ОВ, АМ=РД=КС=ВН,  <МАО=<РДО =<КСО=<НВО), тогда МО=РО=ОК=НО.

В ромбе МНКР диагонали  равны (МК=МО+ОК =НО+РО= НР), значит МНКР – квадрат.

Решение задач самостоятельной работы

I-уровень

1.    Дано: ВСЕF- параллелограмм

                                                                                               FЕ=5 см

                                                                                                СЕ= 4 см

                                                                                                     Найти: ВС.

Решение: т.к. ВСЕF – параллелограмм (по условию задачи), то FЕ=ВС=5 см.(1° свойство параллелограмма).  

2. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

II –уровень

1. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

2. Дано: АВСД - прямоугольник

                                                                                                 <АОВ=80°

___________________

Найти: <ОАВ -?, < ОАД-?                          

Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО=ВД:2 =АС:2= АО и   АОВ – равнобедренный, тогда <ОАВ =<ОВА= 50º.

В прямоугольнике все углы прямые, тогда:

<ОАД=<ВАД -<ОАВ =90°-50º= 40º.

Ответ: 50º, 40º.

 III - уровень

1. Дано: АВСD ромб

АМ- биссектриса

АМ∩ВС в точке М

                                                                                                                          <ВАМ=<САМ

                                                                                                                        <АМС= 120º

АМ∩ВD в точке N

________________

Найти: <АNВ-?

Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.

<ВАС = <ВАД:2 = <ВСД:2 = <ВСА.

Т. к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА, то <МАС=<МСА :2.

В  АМС  <МАС+<МСА= 180°-<120º =60°.

<МАС=<МСА:2, тогда <МАС =20°, <ВАС =40°.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, <АВО =90° - <ВАО = 50°.

В  АВN  <ВАN=<МАС = 20°, <АВN=50°, тогда <АNВ=180°-(20°+50°) = 110°.

Ответ: <АNВ=110°.

2. Дано: АВСД- квадрат

АС∩ВД в точке О

НР┴МК

НР∩МК в точке О

_______________

Док-ть: МНКР- квадрат

Решение:  ВМО= ДКО по стороне и прилежащим к ней углам (ВО=ДО, <МВО=<КДО =45°, <ВОМ= <ДОМ), тогдаВМ= КД, значит АМ=СК (АМ=АВ-ВМ, СК= СД-КД, ВМ= КД, АВ=СД),ОМ=ОК.

       Из равенства  СОН и  АОР аналогично получаем СР= АР, ВН= РД,  ОН= ОР.

      В четырехугольнике МНКР диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ=ОК, ОН=ОР), тогда МНКР – ромб.

 АМО  =   ДОР  =   СОК=   ВОН по двум сторонам и углу между ними (ОА=ОД=ОС=ОВ, АМ=РД=КС=ВН,  <МАО=<РДО =<КСО=<НВО), тогда МО=РО=ОК=НО.

В ромбе МНКР диагонали  равны (МК=МО+ОК =НО+РО= НР), значит МНКР – квадрат.

Решение задач самостоятельной работы

I-уровень

1.    Дано: ВСЕF- параллелограмм

                                                                                               FЕ=5 см

                                                                                                СЕ= 4 см

                                                                                                     Найти: ВС.

Решение: т.к. ВСЕF – параллелограмм (по условию задачи), то FЕ=ВС=5 см.(1° свойство параллелограмма).  

2. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

II –уровень

1. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

2. Дано: АВСД - прямоугольник

                                                                                                 <АОВ=80°

___________________

Найти: <ОАВ -?, < ОАД-?                          

Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО=ВД:2 =АС:2= АО и   АОВ – равнобедренный, тогда <ОАВ =<ОВА= 50º.

В прямоугольнике все углы прямые, тогда:

<ОАД=<ВАД -<ОАВ =90°-50º= 40º.

Ответ: 50º, 40º.

 III - уровень

1. Дано: АВСD ромб

АМ- биссектриса

АМ∩ВС в точке М

                                                                                                                          <ВАМ=<САМ

                                                                                                                        <АМС= 120º

АМ∩ВD в точке N

________________

Найти: <АNВ-?

Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.

<ВАС = <ВАД:2 = <ВСД:2 = <ВСА.

Т. к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА, то <МАС=<МСА :2.

В  АМС  <МАС+<МСА= 180°-<120º =60°.

<МАС=<МСА:2, тогда <МАС =20°, <ВАС =40°.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, <АВО =90° - <ВАО = 50°.

В  АВN  <ВАN=<МАС = 20°, <АВN=50°, тогда <АNВ=180°-(20°+50°) = 110°.

Ответ: <АNВ=110°.

2. Дано: АВСД- квадрат

АС∩ВД в точке О

НР┴МК

НР∩МК в точке О

_______________

Док-ть: МНКР- квадрат

Решение:  ВМО= ДКО по стороне и прилежащим к ней углам (ВО=ДО, <МВО=<КДО =45°, <ВОМ= <ДОМ), тогдаВМ= КД, значит АМ=СК (АМ=АВ-ВМ, СК= СД-КД, ВМ= КД, АВ=СД),ОМ=ОК.

       Из равенства  СОН и  АОР аналогично получаем СР= АР, ВН= РД,  ОН= ОР.

      В четырехугольнике МНКР диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ=ОК, ОН=ОР), тогда МНКР – ромб.

 АМО  =   ДОР  =   СОК=   ВОН по двум сторонам и углу между ними (ОА=ОД=ОС=ОВ, АМ=РД=КС=ВН,  <МАО=<РДО =<КСО=<НВО), тогда МО=РО=ОК=НО.

В ромбе МНКР диагонали  равны (МК=МО+ОК =НО+РО= НР), значит МНКР – квадрат.

Решение задач самостоятельной работы

I-уровень

1.    Дано: ВСЕF- параллелограмм

                                                                                               FЕ=5 см

                                                                                                СЕ= 4 см

                                                                                                     Найти: ВС.

Решение: т.к. ВСЕF – параллелограмм (по условию задачи), то FЕ=ВС=5 см.(1° свойство параллелограмма).  

2. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

II –уровень

1. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

2. Дано: АВСД - прямоугольник

                                                                                                 <АОВ=80°

___________________

Найти: <ОАВ -?, < ОАД-?                          

Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО=ВД:2 =АС:2= АО и   АОВ – равнобедренный, тогда <ОАВ =<ОВА= 50º.

В прямоугольнике все углы прямые, тогда:

<ОАД=<ВАД -<ОАВ =90°-50º= 40º.

Ответ: 50º, 40º.

 III - уровень

1. Дано: АВСD ромб

АМ- биссектриса

АМ∩ВС в точке М

                                                                                                                          <ВАМ=<САМ

                                                                                                                        <АМС= 120º

АМ∩ВD в точке N

________________

Найти: <АNВ-?

Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.

<ВАС = <ВАД:2 = <ВСД:2 = <ВСА.

Т. к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА, то <МАС=<МСА :2.

В  АМС  <МАС+<МСА= 180°-<120º =60°.

<МАС=<МСА:2, тогда <МАС =20°, <ВАС =40°.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, <АВО =90° - <ВАО = 50°.

В  АВN  <ВАN=<МАС = 20°, <АВN=50°, тогда <АNВ=180°-(20°+50°) = 110°.

Ответ: <АNВ=110°.

2. Дано: АВСД- квадрат

АС∩ВД в точке О

НР┴МК

НР∩МК в точке О

_______________

Док-ть: МНКР- квадрат

Решение:  ВМО= ДКО по стороне и прилежащим к ней углам (ВО=ДО, <МВО=<КДО =45°, <ВОМ= <ДОМ), тогдаВМ= КД, значит АМ=СК (АМ=АВ-ВМ, СК= СД-КД, ВМ= КД, АВ=СД),ОМ=ОК.

       Из равенства  СОН и  АОР аналогично получаем СР= АР, ВН= РД,  ОН= ОР.

      В четырехугольнике МНКР диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ=ОК, ОН=ОР), тогда МНКР – ромб.

 АМО  =   ДОР  =   СОК=   ВОН по двум сторонам и углу между ними (ОА=ОД=ОС=ОВ, АМ=РД=КС=ВН,  <МАО=<РДО =<КСО=<НВО), тогда МО=РО=ОК=НО.

В ромбе МНКР диагонали  равны (МК=МО+ОК =НО+РО= НР), значит МНКР – квадрат.

Решение задач самостоятельной работы

I-уровень

1.    Дано: ВСЕF- параллелограмм

                                                                                               FЕ=5 см

                                                                                                СЕ= 4 см

                                                                                                     Найти: ВС.

Решение: т.к. ВСЕF – параллелограмм (по условию задачи), то FЕ=ВС=5 см.(1° свойство параллелограмма).  

2. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

II –уровень

1. Дано: АВСД- ромб

АВО<  ОАВ

______________

Найти:<АВС-?<ВАД-?

Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому   АОВ- прямоугольный. Пусть в АОВ < АВО= х, тогда <ВАО= х+30º, значит <АВО+<ВАО = х+х+30º= 90º, и х=30º.

        <АВО= 30º, <ВАО= 60º, а т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то <ВАД= 120º, <АВС=60º.

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то <АДС= <АВС=60º, <ВСД=<ВАД= 120º.

Ответ: 60º, 120º,60º, 120º.

2. Дано: АВСД - прямоугольник

                                                                                                 <АОВ=80°

___________________

Найти: <ОАВ -?, < ОАД-?                          

Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО=ВД:2 =АС:2= АО и   АОВ – равнобедренный, тогда <ОАВ =<ОВА= 50º.

В прямоугольнике все углы прямые, тогда:

<ОАД=<ВАД -<ОАВ =90°-50º= 40º.

Ответ: 50º, 40º.

 III - уровень

1. Дано: АВСD ромб

АМ- биссектриса

АМ∩ВС в точке М

                                                                                                                          <ВАМ=<САМ

                                                                                                                        <АМС= 120º

АМ∩ВD в точке N

________________

Найти: <АNВ-?

Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.

<ВАС = <ВАД:2 = <ВСД:2 = <ВСА.

Т. к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА, то <МАС=<МСА :2.

В  АМС  <МАС+<МСА= 180°-<120º =60°.

<МАС=<МСА:2, тогда <МАС =20°, <ВАС =40°.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, <АВО =90° - <ВАО = 50°.

В  АВN  <ВАN=<МАС = 20°, <АВN=50°, тогда <АNВ=180°-(20°+50°) = 110°.

Ответ: <АNВ=110°.

2. Дано: АВСД- квадрат

АС∩ВД в точке О

НР┴МК

НР∩МК в точке О

_______________

Док-ть: МНКР- квадрат

Решение:  ВМО= ДКО по стороне и прилежащим к ней углам (ВО=ДО, <МВО=<КДО =45°, <ВОМ= <ДОМ), тогдаВМ= КД, значит АМ=СК (АМ=АВ-ВМ, СК= СД-КД, ВМ= КД, АВ=СД),ОМ=ОК.

       Из равенства  СОН и  АОР аналогично получаем СР= АР, ВН= РД,  ОН= ОР.

      В четырехугольнике МНКР диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ=ОК, ОН=ОР), тогда МНКР – ромб.

 АМО  =   ДОР  =   СОК=   ВОН по двум сторонам и углу между ними (ОА=ОД=ОС=ОВ, АМ=РД=КС=ВН,  <МАО=<РДО =<КСО=<НВО), тогда МО=РО=ОК=НО.

В ромбе МНКР диагонали  равны (МК=МО+ОК =НО+РО= НР), значит МНКР – квадрат.