Урок по геометрии "Теорема Пифагора" в 8 кл
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Открытый урок по геометрии

8 кл

Теорема Пифагора

Подготовила: Семонченкова М. В.

2012-2013 уч.год

Тема урока: “Теорема Пифагора”.

Цели урока: 

Образовательные:

• рассмотреть теорему Пифагора и показать её применение в ходе решения стандартных задач;
• познакомить с историческими сведениями, связанными с теоремой

Развивающие:

• развитие познавательного интереса к предмету;
• развитие логического мышления, памяти, внимания;

Воспитательные:

• воспитание активности;
• проявление эстетического вкуса и суждения;

Тип урока: урок изучения нового материала

Формы работы на уроке:  коллективная; устная, письменная.

Оборудование урока:

• Программное обеспечение: презентация «Теорема Пифагора», подготовленная с помощью MS Power Point
• ПК, мультимедийный проектор

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Постановка целей и задач (2 мин)
3. Сообщение о жизни Пифагора Самосского (4 мин)
4. Исследовательская  работа (5 мин)
5. Работа над теоремой (15 мин)
6. Историческая справка о теореме Пифагора.
7. Решение задач с применением теоремы.
8. Домашнее задание.
9. Подведение итогов урока.

3. Сообщение о жизни Пифагора Самосского.

(слайды с изображением Пифагора) – сообщение ведет ученик.

   Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Так Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров Самос и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 г. до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками.  В конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер.

   С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев). Венчала геометрию теорема Пифагора, которой посвящён сегодняшний урок.

Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

4. Исследовательская  работа  

            (используется слайд)

1. Постройте  в тетрадях прямоугольный треугольник с катетами, длины которых 3см, 4 см (6 см, 8 см).
2. Измерьте  гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.
3. Возведите все результаты в квадрат,  т. е. узнайте величины a2; b2; c2.
4. Сложите квадраты катетов (a2 + b2) и сравните с квадратом гипотенузы.
5. У всех ли получилось, что a2 + b2 = с2?

Эту закономерность и отражает теорема Пифагора, которой посвящён наш урок. По современному эта теорема звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

   Однако мы не можем назвать какое – либо утверждение теоремой только лишь при помощи измерений и вычислений, не доказав его логически. Сейчас мы докажем эту теорему.

5. Доказательство теоремы Пифагора.

(используется слайд)

Вопросы и задания:

1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.
2. Что вы запишите в «Дано» и «Доказать»?
3. Приступим к доказательству. Для этого достройте треугольник до квадрата со стороной a + b  (величину катета b продолжите на величину катета a, а величину катета a продолжите на величину катета b).
4. На сторонах полученного квадрата отметьте по одной точке, делящей эти стороны на отрезки a и b так, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки a и b.
5. Соедините отрезками точки, расположенные на соседних вершинах квадрата. На какие фигуры разбился исходный квадрат?
6. Посмотрите на треугольники. Как вы считаете, есть ли среди них равные? Какие? Каким признаком воспользоваться при доказательстве их равенства?
7. Чему равны стороны полученного  внутреннего четырёхугольника? Почему? Чему равны углы этого четырёхугольника?  Почему? Какой вывод можно сделать о внутреннем четырёхугольнике? (Определите его вид).
8. Рассмотрим теперь, как связаны между собой площади полученных треугольников и квадратов.

• Чему равна площадь квадрата со стороной (a + b)?
• Как найти площади, полученных треугольников?
• Чему равна площадь внутреннего квадрата со стороной c?
• Как можно ещё найти площадь квадрата со стороной (a + b), пользуясь одним из свойств площадей?
• Какое соотношение можно записать между полученными равенствами? (a + b)2 = c2 + 4 * 1/2ab
• Раскройте скобки и приведите подобные члены. Итак, получили равенство c2 = a2 + b2.

6. Историческая справка о теореме Пифагора.

См. слайды

7. Решение задач с применением теоремы.

См. слайды

 Задача 1.(устно).Решим теперь старинную задачу на применение теоремы Пифагора. Это задача индийского математика XII века Бхаскары – Ачария.

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Демонстрируется чертёж:             

Решение ( в виде устных ответов).

1. АВ = АС + СВ – по свойству длин отрезков.
2. АВ = АС + CD, т. к. СВ = CD по условию.
3. CD2 = AC2 + AD2  - по теореме Пифагора.
4.  CD2 = 32 + 42; CD = 5
5. АВ = 3 + 5 = 8 футов.

Ответ: высота дерева 8 футов

Задача 2.

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см,
        АС=16 см,          ВD перпендикулярно AC

Найти: BD.

Задача 3.

Дано: АВСD – прямоугольник,  

                                                                                              АВ=5 см, АС=13 см

                                                                             Найти: АD.

8. Домашнее задание.

п. 54: теорема с доказательством

   № 483 (б), № 484 (а)

9. Подведение итогов урока.

Почему же теорему Пифагора считают самой главной теоремой геометрии?

   Значение её состоит в том, что из неё  или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Замечательна эта теорема ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: с2 = а2 + b2.

   И в заключении  урока, фотоснимок (слайд) памятник Пифагору.