«Систематизация знаний по геометрии в свете подготовки к ЕГЭ и ОГЭ»
план-конспект занятия по геометрии (9 класс) по теме
Цель данной работы - систематизировать и обобщить материал по теме «Треугольники», изучаемый в разные годы обучения, показать учащимся его целостность, взаимосвязь треугольников со свойствами других геометрических фигур. Этот материал можно использовать в ходе подготовки к экзамену по математике и в 9 и в 11 классе. Работа состоит из двух частей:
1. Замечательные точки и линии треугольника
2. Площадь треугольника
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 sistematizatsiya_znniy_po_geometrii_v_svete_pdgotovki_k_ege_i_oge.docx | 350.25 КБ |
 zamechatelnye_tochki_i_linii_treugolnika.pptx | 200.3 КБ |
| ploshchad_treugolnika_i_bissektrisa.pptx | 324.26 КБ |
| ploshchad_treugolnika_i_vysoty.pptx | 135.29 КБ |
| ploshchad_treugolnika_i_mediany.pptx | 210.11 КБ |
| ploshchad_treugolnika_i_podobie.pptx | 259.84 КБ |
| proportsionalnost_ploshchadey.pptx | 136.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №3
г. Курганинска Краснодарского края
«Систематизация знаний по геометрии
в свете подготовки к ЕГЭ и ОГЭ»
Автор:
Учитель математики МАОУ СОШ №3
Короткова Ася Эдиковна
Курганинск,
2014 год
Алгебра и геометрия – равноправные разделы математики, и подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2014 года не возможна без изучения одного из них. С каждым годом геометрическим заданиям отводится все больше места в контрольно-измерительных материалах, поэтому систематизации знаний и отработке навыков решения задач по этому предмету следует уделить особое внимание.
К сожалению, для школьников наиболее тяжелой была и остается геометрия. Учитывая тот факт, что количество геометрических заданий в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ и ОГЭ по математике с каждым годом только увеличивается, это настоящая проблема. Часто при решении различных заданий КИМов геометрического содержания повышенного и высокого уровня сложности геометрическим методом, мы приходим к методу ключевого треугольника.
С 2 | |
Геометрический метод | Координатно-векторный метод |
Теорема о трех перпендикулярах | Метод ключевого треугольника |
Введение
Цель данной работы - систематизировать и обобщить материал по теме «Треугольники», изучаемый в разные годы обучения, показать учащимся его целостность, взаимосвязь треугольников со свойствами других геометрических фигур. Этот материал можно использовать в ходе подготовки к экзамену по математике и в 9 и в 11 классе. Работа состоит из двух частей:
- Замечательные точки и линии треугольника.
- Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
- Точка пересечения биссектрис треугольника
- Точка пересечения медиан треугольника
- Площадь треугольника
- Площадь треугольника и высоты
- Пропорциональность площадей
- Площадь треугольника и медианы
- Площадь треугольника и подобие
- Площадь треугольника и биссектриса
Занятия можно провести отдельно по каждому пункту (в приложениях имеются презентации, разноуровневые задания).
- Замечательные точки и линии треугольника
1º. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ( центр описанной окружности)
Повторение по этой теме следует начать с характеристического свойства точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку. Затем повторить определение вписанной и описанной окружности.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.
При повторении теоремы об окружности, описанной около треугольника, весьма полезно привести ее доказательство, что подготавливает учащихся к решению задания С4.
Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Доказательство. 1)Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне АВ, следовательно ОА=ОВ. Обозначим это расстояние буквой R, т.е. ОА=ОВ=R. Аналогично: ОС=ОВ=ОА=R. 2) Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника единственная. |
Далее следует отметить, что центр описанной окружности внутри треугольника, если треугольник остроугольный, вне треугольника, если он тупоугольный, середина гипотенузы, если он прямоугольный.
остроугольный | тупоугольный | прямоугольный |
Выводы
Обозначим углы треугольника АВС буквами α, β, γ, а стороны а, в, с.
- Угол АСВ – вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, т.е. дуга АВ=2 γ.
- О- точка серединного перпендикуляра, значит, ОА=ОВ, т.е. ∆АОВ – равнобедренный. АОВ – центральный => АОВ = 2 γ.
- Из ∆АОК: АОК= ½ АОВ = γ =>sin γ= АК/ R=c/2:R=c/2R =>
c= 2R sin γ => с/ sin γ=2R (теорема синусов).
Аналогично доказывается а / sin α =2R, b/ sin β =2R. Таким образом:
а / sin α = b/ sin β = с/ sin γ=2R – теорема синусов.
Замечание. Данная конструкция рассматривает острый угол С. Можно предложить школьникам рассмотреть конструкцию для тупого угла С.
- В математике часто бывает, что объекты, определенные совсем по- разному, оказываются совпадающими.
Пример. Пусть А1, В1, С1 – середины сторон ∆АВС ВС, АС, АВ соответственно. Показать, что окружности, описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Причем эта точка центр описанной около ∆АВС окружности.
∆С А1В1.
|
Обобщение. Если на сторонах ∆АВС АС, ВС, АС взять произвольные точки А1, В1, С1, то окружности описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Выяснить, чем является эта точка для ∆АВС. (Этот материал можно предложить сильным учащимся в качестве проекта).
2º. Точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности)
- Характеристические особенности точек лежащих на биссектрисе угла (точка, лежащая на биссектрисе равноудалена от сторон угла). Полезно отмечать половины одного угла одинаковыми буквами.
- При повторении теоремы о точке пересечения биссектрис треугольника полезно привести ее доказательство.
Выводы.
- 2α+ 2β+ 2γ= 180º =>α+ β+ γ= 90º.
- Центр вписанной окружности всегда внутри треугольника.
- Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен углу между хордой и касательной, проходящей через конец хорды.
90 º - ( 90 º - γ) = γ. |
- Задача. (Можно предложить в качестве проекта сильным учащимся)
Дан ∆АВС и точки А1, В1, С1 – точки касания вписанной окружности в треугольник АВС. Доказать, что ∆А1В1С1 всегда остроугольный.
Если обозначить стороны треугольника АВС: АВ=с, ВС=а, АС=в, то через них можно выразить отрезки касательных, проведенных из точек А. В. С к окружности. |
а=х+у (1), b= х+z (2), с= х+у (3). (1) + (2) – (3), то получим: а+b-с= 2z =>
z= (а + b - c)/2. Аналогично: х= (b + c - а)/2, у = (а + с – b)/2.
- Биссектриса угла треугольника разбивает противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
SАВС = ½ ar + ½ br + ½ cr = ½ r( a+b+c) = rp, где p= ½P. SАВС= rp, где p= ½ P.
|
3º. Точка пересечения медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. |
4º. Точка пересечения высот треугольника
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. |
- Площадь треугольника
- Площадь треугольника и высоты
Обобщение этого материала можно начать с понятия равновеликих фигур, заострить внимание на равновеликих треугольниках. Если а||b , то равновеликие Δ АСВ, Δ АDB, Δ AFB с основание АВ, а высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми). Равновеликие треугольники:
Задача.
В трапеции АВСD диагональ АС равна 8 см и образует с боковой стороной СD угол в 60°. Через середину СD проведена прямая, параллельная АС и пересекающая диагональ ВD в точке К. Найдите площадь треугольника АСК, если СD = 4 см |
а) Повторить формулы площади треугольника, свойства параллельных прямых, определение равновеликих треугольников.
б) Решение. Треугольники АСК и АСМ равновеликие (имеют общую сторону и равные высоты, проведенные к этой стороне), следовательно,
SАСК = SAСМ = ½ АС ·СМ· sin 60º = ½· 8 ·2·√3/2 = 4√3.
- Пропорциональность площадей
Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.
Значит, SAВС:SAKС:SKBС=AB:AK:KB | |
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=3:4 и BN:NC=3:5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника MNA равна 9. |
Утверждение. Площади треугольников АОВ и DOС, образованных при пересечении диагоналей трапеции АС и ВD в точке О, равны.
Доказательство. SАВС = SAOB + SBOC, SDВС = SDOC + SBOC. Треугольники АВС и ВСD равновеликие, т.е. SAOB + SBOC = SDOC + SBOC => SAOB = SDOC. |
Закрепление. Рассмотреть на уроке:
- Площадь треугольника и медианы
Утверждение: медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. |
Задача для самостоятельного решения.
Следует рассмотреть на уроке следствия из приведенного утверждения. Следствие 1: диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника.
Следствие 2.
Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
Следствие 3.
Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна ¼ площади исходного треугольника. |
Далее, следует повторить теорему о точке пересечения медиан.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении два к одному, считая от вершины. |
Задача. Медианы треугольника ВСЕ ВК и ЕМ пересекаются в точке О. Найти SMOK:SCMK.
Решение. Обозначим SАВС = 1. SМЕС = ½. В треугольнике СМЕ МК – медиана => SСМК = SМКЕ = ½ SМЕС = ¼. В треугольнике МКЕ (по свойству точки пересечения медиан) ЕО:ОМ = 2:1 =>SЕКО : SМОК = 2:1, т.е. SМОК = ⅓ SМКЕ = ⅓·¼ = 1/12. SMOK:SCMK = (1/12) : (1/4) = 1:3. |
- Площадь треугольника и подобие
|
Задача. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 и 9. Найдите площадь трапеции.
Решение.
=> k² = 9/16 = > k= ¾ => ОС:ОА = =3:4 = > SОСВ : SОАВ = 3:4= > SОАВ = 9:3·4 = 12. SОСD = SОАВ =12. SABCD = SОСВ + SОАD + SОСD +SОАВ = =9+16+24=49. |
Задачи для самостоятельного решения.
1) Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК и площади четырехугольника КРСМ.
2) В трапеции АВСD отношение длин оснований АD и ВС равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника АОВ равна 6. Найти площадь трапеции.
- Площадь треугольника и биссектриса
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. | |
Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение стороны треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. |
Задача. В параллелограмме АВСD АВ=4см, ВС=6см, ÐА=30°. Биссектриса угла В пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВК.
Решение. SABCD = AB·AD·sin30º=24·½=12. По свойству биссектрисы, АК:КС=АВ:ВС => АК:КС= =2:3 => SABK= |
Задача для самостоятельного решения. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее в отношении 5:8. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2.
Приложение №1
Список используемой литературы
- Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование; среднее (полное) общее образование. 2004 г. (Приказ МО РФ от 05. 03. 04 № 1089).
- Гордин Р. К. ЕГЭ 2014. Математика. Задание С4. Планиметрия. – М.: МЦНМО, 2014.
- Ланских Е. В. Презентация «Обучение геометрии в свете ГИА и ЕГЭ».- Краснодар: ФГКОУ «Краснодарское ПКУ», 2014.
- Лысенко Ф. Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ. – Ростов – на –Дону: «Легион М», 2012.
- А. Л. Семенов, И. В. Ященко. Математика. ЕГЭ 2014. Типовые тестовые задания. – М. :«Экзамен». 2014.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Замечательные точки и линии треугольника
Элементы треугольника Медиана треугольника – Биссектриса треугольника – Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
1º. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ( центр описанной окружности)
Задачи: 1 уровень: Пусть А1, В1, С1 – середины сторон ∆АВС ВС, АС, АВ соответственно. Показать, что окружности, описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Причем эта точка центр описанной около ∆АВС окружности. 2 уровень: Если на сторонах ∆АВС АС, ВС, АС взять произвольные точки А1, В1, С1, то окружности описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Выяснить, чем является эта точка для ∆АВС.
2º. Точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности)
Задачи: 1 уровень: Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен углу между хордой и касательной, проходящей через конец хорды. 2 уровень: Дан ∆АВС и точки А1, В1, С1 – точки касания вписанной окружности в треугольник АВС. Доказать, что ∆А1В1С1 всегда остроугольный.
S АВС= г p , где p = ½ P . abc 4 R =
3º. Точка пересечения медиан треугольника С 1 А 1 В 1 С А О Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.
4º. Точка пересечения высот треугольника Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Замечательные точки и линии треугольника
Элементы треугольника Медиана треугольника – Биссектриса треугольника – Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
Значит , S A ВС :S AK С :S KB С =AB:AK:KB A B C К а h М Пропорциональность площадей Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. М С В А Следствие 1
А B C D О Рассмотреть на уроке Следствие 1.
В С 1 А 1 В 1 С А О Следствие 2 Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Следствие 2.
K N M A C B Доказать на уроке Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника. Следствие 3.
Площадь треугольника a b
С В А С 1 В 1 А 1 Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как произведения сторон, заключающих данные углы. Теорема
Н С В А Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Следствие
A C B H Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение стороны треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Следствие
Задача № 4 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее в отношении 5:8. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2. С А В М Н О
Задача № 5 А B C D О В параллелограмме АВС D АВ=4см, ВС=6см, А=30°. Биссектриса угла В пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВК. К
Решение . SABCD = AB·AD·sin30º=24·½=12. По свойству биссектрисы, АК:КС=АВ:ВС => АК:КС= = 2:3 = > SABK= SABC = · SABCD = · 6 = 2,4. А B C D О К
Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
ГИА 2013 А В С К М Р F
Теорема о пропорциональных отрезках Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Равновеликие ф фигуры игуры
Площадь треугольника a b c
Параллельные прямые а b A B C D F К 2 . Расстояния между параллельными прямыми равны. 1. Расстояние между параллельными прямыми длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой прямой.
а b A B C D F Значит S ABC =S ABD =S ABF У Δ АСВ, Δ А DB, Δ AFB основание АВ, а высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми). h h h Равновеликие треугольники а ||b
Равновеликие треугольники a
Равновеликие треугольники a b 180° a a
В трапеции АВС D диагональ АС равна 8 см и образует с боковой стороной С D угол в 60°. Через середину С D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая диагональ В D в точке К. Найдите площадь треугольника АСК, если С D = 4 см. А В С D К М Параллельные прямые Площадь треугольника Задача №1 Равновеликие треугольники
Решение. Треугольники АСК и АСМ равновеликие (имеют общую сторону и равные высоты, проведенные к этой стороне), следовательно, S АСК = SA СМ = ½ АС ·СМ· sin 60º = ½· 8 ·2·√3/2 = 4√3. А В С D К М Параллельные прямые Площадь треугольника Задача №1 Равновеликие треугольники
Задачи 1 уровень Продолжения боковых сторон АВ и С D трапеции АВС D пересекаются в точке Р. Площадь треугольника АР D равна 80. Найти площадь трапеции, если известно, что ВС: А D =3:4. 2 уровень На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=3:4 и BN:NC=3:5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника MNA равна 9.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Замечательные точки и линии треугольника
Элементы треугольника Медиана треугольника – Биссектриса треугольника – Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
Значит , S A ВС :S AK С :S KB С =AB:AK:KB A B C К а h М Пропорциональность площадей Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. М С В А Следствие 1
Применение М С В А 2 12
А B C D О Рассмотреть на уроке Следствие 1.
В С 1 А 1 В 1 С А О Следствие 2 Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Следствие 2.
K N M A C B Доказать на уроке Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника. Следствие 3.
С 1 А 1 В 1 С В А О Теорема Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении два к одному, считая от вершины. Свойство медиан треугольника
Медианы ВК и ЕМ треугольника ВСЕ пересекаются в точке О. Найти S MOK : S CMK . Задача № 3 В Е С М К О Решение. Обозначим S АВС = 1. S МЕС = ½ . В треугольнике СМЕ МК – медиана => S СМК = S МКЕ = ½ S МЕС = ¼ . В треугольнике МКЕ (по свойству точки пересечения медиан) ЕО:ОМ = 2:1 => S ЕКО : S МОК = 2:1, т.е. S МОК = ⅓ S МКЕ = ⅓ ·¼ = 1/12. S MOK : S CMK = (1/12) : (1/4) = 1:3.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Замечательные точки и линии треугольника
Элементы треугольника Медиана треугольника – Биссектриса треугольника – Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
Значит , S A ВС :S AK С :S KB С =AB:AK:KB A B C К а h М Пропорциональность площадей Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. М С В А Следствие 1
А B C D О Рассмотреть на уроке Следствие 1.
В С 1 А 1 В 1 С А О Следствие 2 Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Следствие 2.
K N M A C B Доказать на уроке Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника. Следствие 3.
Подобие треугольников А В С D O Где k =
А В С D O Вспомнить доказанное ранее П лощади треугольников АВО и DCO равны.
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 и 9. Найдите площадь трапеции. ГИА 2012 А В С D O
Решение k ² = 9/16 = > k = ¾ => ОС:ОА = =3:4 = > S ОСВ : S ОАВ = 3:4= > S ОАВ = 9:3·4 = 12. S ОС D = S ОАВ =12. SABCD = S ОСВ + S ОА D + S ОС D + S ОАВ = =9+16+24=49.
Задачи для самостоятельного решения. 1) Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК и площади четырехугольника КРСМ. 2) В трапеции АВС D отношение длин оснований А D и ВС равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника АОВ равна 6. Найти площадь трапеции.
ЕГЭ прошлых лет А В С D O
ГИА 2013 А В С К М Р F
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Площадь треугольника a Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к данному основанию.
Значит , S A ВС :S AK С :S KB С =AB:AK:KB A B C К а h М Пропорциональность площадей Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=3:4 и BN:NC=3:5 . Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника MNA равна 9. Задача №2 А В С М N
А В С D O Рассмотреть на уроке Доказать, что площади треугольников АВО и DCO равны.
А В С D O Рассмотреть на уроке Доказательство. S АВС = SAOB + SBOC , SD ВС = SDOC + SBOC . Треугольники АВС и ВС D равновеликие, т.е. SAOB + SBOC = SDOC + SBOC => SAOB = SDOC. .
А В С D O Рассмотреть на уроке Так как , то
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Треугольник» (геометрия, 7 класс).
Конспект урока геометрии....
Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Треугольник» (геометрия, 7 класс).
Конспект урока геометрии....
«Систематизация знаний по обществознанию при подготовке к ГИА-9»
ГИА по обществознанию не является обязательным при окончании 9 класса, но многие ученики сознательно выбирают этот предмет какдополнительный для сдачи потому, что ...
Рабочая программа курса по выбору «Систематизация знаний по химии при подготовке к экзамену» для обучающихся 9, 10 классов
Программа факультативного курса «Систематизация знаний по химии при подготовке к экзамену» составлена на основе ...
Технологическая карта урока: Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Четырехугольник», с учетом требований новых ФГОС (геометрия 8 класс)
Заключительный урок по теме "Четырехугольник" по геометрии в 8 классе, на котором происходит систематизация теоретического материала и применение полученных знаний к решению задач. Уро...
Урок систематизации знаний по теме "Параллельные прямые" (геометрия, 7 класс)
Материал содержит технологическую карту урока, вспомогательную презентацию и раздатку для обучающихся....
Конспект урока геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний по теме «Метод координат»
Краткая аннотация урока:· Класс: 9 класс, учебник "геометрия 7-9", авторы Л.С. Атанасян и др.·...