Лекция по теме: "Свойства вписанных и описанных многогранников", 11 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) по теме

Лекция по теме: "Свойства вписанных и описанных многогранников", 11 класс

Вписанные и описанные конусы

Определение.  Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.                                                                                                                                                                

Важно!!! ЕГЭ. Около пирамиды  можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Определение. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду. 

Важно!!! ЕГЭ. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание вписать окружность.

Определение. Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

Важно!!! ЕГЭ. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. 

Напомним, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле , где S - площадь, p - полупериметр треугольника.

Определение. Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.

Важно!!! ЕГЭ. В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Определение. Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.

Важно!!! ЕГЭ. Около любого конуса можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.

Радиус R окружности, описанной около треугольника находится по формуле , где S –площадь, a, b, c – стороны треугольника.

Определение. Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу. 

Важно!!! ЕГЭ. Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Например: Задача № 1. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1. 

Решение: Т.к.  в основании пирамиды, вписанной в конус, правильный треугольник, то сторона а, равная АС основания пирамиды,  равна а = R= 1 ∙= .

Ответ:

Задача № 2. (В10, ЕГЭ). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 28. Найдите образующую конуса.

Решение.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем: , откуда  

Радиус сферы равен 28, поэтому образующая  .

Ответ:56.

Задача № 3. Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы. 

Решение. Δ SAB - равнобедренный: SA = SB = 10, SH = 8. Найдем HB.

ΔSHB: по т. Пифагора HB = . Площадь Δ SAB:

S = SH∙АВ = 12∙8 = 48. Площадь этого же треугольника можно вычислить через радиус описанной окружности, т.к. он является радиусом сферы S = , , . Отсюда R = .

Ответ:

Реши самостоятельно:

1. (В 10, ЕГЭ). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 75. Найдите образующую конуса.

2. Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

3. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.