Конспект урока по теме "Применение теорем синусов и косинусов"
рабочая программа по геометрии (11 класс) на тему
Урок проводится с использование технологий дифференцированного обучения, группового обучения и метода проектов.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок обобщения и систематизации
знаний по теме
«Применение теорем синусов и косинусов
для решения треугольников»
Цель:
Образовательная: повторение ранее изученного материала: теоремы синусов, теоремы косинусов, формул площади треугольников и умение использовать их при решении задач, применять соотношения между сторонами и углами треугольника в решении задач стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Развивающая: развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность., закрепление ранее изученного материала на практике решения задач, развитие навыков контроля, самоконтроля, взаимопомощи.
Воспитательная: воспитание умения внимательно слушать и оценивать устную информацию, воспитание умения четко формулировать свои мысли, воспитание коммуникативных способностей, аккуратности.
Ход урока:
1. Организационный момент
Добрый день!
Сели ровно, оглянулись.
Друг другу улыбнулись
И в работу окунулись.
2. Мотивация урока.
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник.
А уж вам-то как не знать.
Но совсем другое дело –
Очень быстро и умело
Треугольники «решать».
Станция «Теоретическая»
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
1.Что называют решением треугольников?
2.Какие теоремы применяются при решении треугольников?
3.Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?
4.Чему равна сумма углов треугольника?
5.Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)
6. По какой формуле можно вычислить площадь прямоугольного , произвольного треугольника?
4. Игра-молчанка.
По команде учителя поднять карточку с тем цветом,
напротив которого находится правильный ответ.
Закончи предложение.
- Квадрат любой стороны треугольника равен …
а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;
б) сумме квадратов двух других его сторон;
в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Заполни пропуски. В треугольнике KH
а) KH ; б) HT; в) TK.
3. Стороны треугольника пропорциональны
А) тангенсам противолежащих углов
В) косинусам противолежащих углов
С) синусам противолежащих углов
4. Теорема синусов.
А.
В .
С.
5. Теорема косинусов.
А) с2 = a2+ b2 + 2ab cosC
В) с2 = a2+ b2 - 2ab cosC
С) с2 = a2+ b2 - b cosB
6. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:
А) АС;
В) ∠ В;
С) ∠ А;
7. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле …
A. S = В. S = C. S = 4 R (a + b + c)
a b
c
Cтанция «Реши треугольник»
Команда «Считалкины» выполняет № 47 (стр.25) в рабочей тетради.
Команда «Решалкины» решает задачу № 1 с использованием теоремы синусов.
Команда «Смекалкины» решает задачу № 1 с использование теоремы косинусов
В Задача № 1.
5 7 Найдите сторону АС
60⁰
А х С
Решение задачи № 1.
I способ (с использование теоремы косинусов)
Пусть АС = х
По теореме косинусов ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС ∙ АВ ∙ cos 60⁰
72 = 52 + x2 – 2 ∙ 5 ∙ x ∙
x2 – 5x – 24 = 0
x1 = 8; x2 = - 3 (не уд. усл. задачи)
Ответ: АС = 8
II способ (с использование теоремы синусов)
Пусть АС = х
По теореме синусов ;
;
Sin C = ∠C = 38⁰ 14´
∠B = 180⁰ - 60⁰ - 38⁰ 14´ = 81⁰46´; x = =
≈ 8
Ответ: АС = 8
Станция «Раз задачка, два задачка…»
Задача № 2
Одна из сторон треугольника равна 2, а два его угла равны 45⁰ и 60⁰. Найдите
площадь треугольника. ( sin 75⁰ = )
I случай. В
𝛄 Решение.
2
𝛄= 180⁰ - (60⁰+45⁰) = 75⁰
А 45⁰ 60⁰ С
x ; S∆ =
=
II случай.
Решение.
В
X 𝛄 𝛄= 180⁰ - (60⁰+45⁰) = 75⁰
45⁰ 60⁰ ; x =
А 2 С
S ∆ = ∙
=
=
= 3 -
III случай
B Решение.
2 ; x =
45⁰ 60⁰
A x C
S ∆ = =
=
=
Станция «Спортивная»
Физкультминутка (выполнение упражнений для рук)
Руки подняли и покачали –
Это деревья в лесу.
Руки нагнили, кисти встряхнули –
Ветер сбивает росу.
В сторону руки, плавно помашем –
Это к нам птицы летят.
Как они сели, тоже покажем –
Руки мы сложим – вот так.
Станция «Практическая».
Задача № 1.
Климанова Наталья 9а
- Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступной точки С.
Дано:
A – точка наблюдения В
Решение:
Задача № 2.
Баленкова Арина 9 а
В 7 часов утра пассажирский самолет вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолет сделал поворот на вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найдите расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолета на каждом участке полета была равна 320км/ч.
Задача № 3.
Зименков Андрей 9а.
Для определения ширины непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте h, измерили углы α и β. Найдите ширину болота.
С
D A B
Дано:
<САD = α; <СВА = β; СD = h
Найти: АВ.
Решение:
- Из прямоугольного ∆АCD находим:
АС =
2.Из ∆АВС теореме о внешнем угле треугольника
3.По теореме синусов имеем:
Задача № 4.
Антамони Мария 9а.
Вершина горы видна из точки А под углом 38о, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42о. Найдите высоту горы.
Дано: АВ=200 м, угол САВ=а=38о, угол СВD=b=42о,
CD перпендикулярна DA.
Найти: CD.
С
D B A
1)Обозначим угол BCA=y . Тогда из треугольника CBA по теореме синусов имеем: СВ = AB => CB = AB * sin a = AB * sin a = 200 * sin 38o = sin a sin y sin y sin (b-a) sin(42o – 38o)
= 200 * 0.6157 = 1 764 м
0.0698
2) Из треугольника СBD следует, что CD = CB*sin b = 1 764*sin 42o =
= 1 764*0.6691 = 1 180 м.
Ответ: высота горы 1 180 м.
Я люблю математику не только потому, что она находит применение в жизни, но и потому что она красива.
Петер Роске
Рефлексия.
- Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
- Что удивило?
- Что понравились больше всего?
- Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
- На уроке сегодня я узнал…
- Мне было интересно, когда…
- Я так и не понял…
- Знания, полученные на уроке, мне пригодятся…
Домашнее задание.
I уровень.
1. Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см.
а) остроугольный; б) равнобедренный;
в) тупоугольный; г) прямоугольный. (1 балл).
2. В параллелограмме острый угол = 60
а) 2
в) 2
3. Найти углы треугольника, если a=12, b=8, c=10. (3 баллов).
4. В треугольнике АВС угол ∠В= 105
угол ∠А= 45
а) 4
в) 8
5. Найти сторону треугольника, если противолежащий ей угол равен 60
а) 9 см; б) 9
Итоги урока.
Как вы считаете, актуальны ли в наше время слова Андрея Николаевича Колмогорова: «Знания по геометрии или умение пользоваться формулами необходимы почти каждому мастеру или рабочему»? (ответы)
Сегодня мы с вами убедились, что умение решать треугольники, необходимо каждому человеку в повседневной жизни. Помните, что, решая маленькие задачи вы готовитесь к решению больших и трудных.
Спасибо за урок.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели и задачи. Определение диофантова уравнения Биография Диофанта Диофантовые уравнения первой степени Диофантовые уравнения высших степеней Проект учащихся «Метод бесконечного спуска» Другие методы решения диофантовых уравнений Содержание.
Цели урока: Образовательные: 1.Познакомить учащихся с уравнениями, которые решаются в целых числах. 2.Организовать самостоятельный поиск решений диофантовых уравнений. 3.Рассмотреть различные приёмы решения. 4.Научить решать текстовые задачи, по которым можно составить диофантово уравнение. Развивающие. 1. Формирование умений обобщать, сравнивать, оценивать, контролировать, анализировать, делать выводы, 2. Развитие познавательных возможностей, творческих способностей, креативности личностных качеств, 3.Организация способности общения (живого, виртуального, обоюдного, группового и т.д.),. 4. Развитие инициативы, познавательного интереса, 5. Обучение методам исследовательского поиска, 6. Развитие мыслительной деятельности, 7.Развитие практической направленности изучаемого материала 8. Привитие любви к математике 3
Задача. У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения. 4
Решение. Пусть марок по 4 р. х штук, по 3 р. – у штук. 5 Всего имеется 50 р., отсюда уравнение: 4 х + 3 у = 50 Эта задача имеет не одно, а несколько решений. х 2 5 8 11 у 14 10 6 2
Первым начал рассматривать такие уравнения Диофант ( II – III вв. до нашей эры). Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так: ax + by = c ; (1) где a, b и c целые числа, и ответ должен быть дан только в целых числах. Такие уравнения называют « диофантовыми ».
Диофант пытался ответить на следующий вопрос: « Дано уравнение с целыми коэффициентами. Имеет ли оно целые решения ?» Диофантовы уравнения - алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Примеры диофантовых уравнений: ax+by=c , x 2 +y 2 =d 2 .
Биографических данных о древнегреческом ученом-математике Диофанте из Александрии практически не сохранилось. До наших времен дошла лишь часть математического трактата Диофанта "Арифметика", 6 книг из 13, а также отрывки книги о многоугольных числах. В "Арифметике", Диофант излагал начала алгебры, привел множество задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и отметил методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел - теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. 8
9 Рассмотрим линейное диофантово уравнение 2х + 3у = 1. Найдите целые решения. Одно из решений – пара чисел х = 5, у = -3 Проверка: 2 · 5 + 3 · (-3) = 1 Любое решение диофантова уравнения называется частным решением
При с = 0 уравнение (1) имеет вид ах + b у = 0 и называется однородным диофантовым уравнением. Пример. 2х + 3у = 0 2х = -3у Левая часть равенства делится на 2, а правая – на 3. Числа 2 и 3 взаимно просты. Поэтому у = 2 n, x = -3n , где 10
В общем виде решением уравнения ах + b у = 0 является пара (- b n, an) Общим решением диофантова уравнения 2х + 3у = 1 является х = 5 – 3 n, y = -3 + 2n, 11
Работа в группах. 1 группа. Предложите как можно подобрать частное решение уравнения 31х + 11 у = 1 2 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 2 3 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 3 4 группа. Решите уравнение:2х + 3у = 7 12
= 5·(31 – 11 · 2) – 4 · 11= 5 · 31+ 11· (- 14). х=5; у =- 14(частное решение) Проверка. Группа 1. Частное решение уравнения 31х + 11 у = 1 можно найти с помощью алгоритма Евклида: 31 11 22 2 11 9 9 1 9 2 8 4 1 1 = 9 – 4 · 2 2 = 11 – 9 · 1 9 = 31 – 11 · 2 подставим 1 = 9 – 4 ·(11 – 9) = 5 · 9 – 4 ·11 подставим
Группа 2. 6х + 9у = 2 (6х + 9у) ⫶ 3; 2 не делится на 3⟾ это уравнение не имеет решений. Группа 3. 6х + 9у = 3. Разделим обе части уравнения на 3. 2х + 3у = 1. Частное решение: х = 5; у = - 3. 2х + 3у = 2 ∙ 5 + 3 ∙ (-3) 2 ( х – 5) + 3 (у + 3) = 0. Сделаем замену: х´= х – 5, у´= у + 3; 2х´ + 3у´= 0; х´=-3 n, у´=2 n х = 5 + х´= 5 – 3 n ; у = -3 + у´= -3 + 2 n. Ответ: (5 – 3 n ; -3 + 2 n) , 14
Группа 4. 2х + 3у = 7 Частное решение х = 2; у = 1 Решение соответствующего однородного уравнения: х = 3 n ; у = - 2 n . Ответ: (2 + 3 n ; 1 - 2 n ), 15
Другой способ решения. 2х + 3у = 7 х = 16 3 – у + ; = n у = 1 – 2 n ; х = 3 – (1 – 2 n) + n = 2 + 3n Ответ: (2 + 3 n; 1 – 2n) ,
Диофантовы уравнения высших степеней. 1. Метод разложения на множители Задача 1. Доказать : что уравнение ( x - y ) 3 + ( y - z ) 3 + ( z - x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах. Решение: Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду ( x - y )( y - z )( z - x ) = 10. Заметим, что ( x - y ) + ( y - z ) + ( z - x ) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.
Задача 2. Решите уравнение в целых числах : 3ху + 2х + 3у = 0 Решение: 3ху + 2х + 3у + 2 = 2 3у ( х + 1) + 2 ( х + 1) = 2 (3у + 2)( х + 1) = 2 3у + 2 = 2 х + 1 = 1 3у + 2 = 1 х + 1 = 2 3у + 2 = -2 х + 1 = - 1 3у + 2 = -1 х + 1 = -2 Решите системы и отберите целые решения 18 Ответ: (0;0); (-3; -1)
19 Проект учащихся «Метод б есконечного спуска»
2. Метод «бесконечного спуска» Предположим, что уравнение имеет решение, строим бесконечный процесс, в то время как по смыслу задачи этот процесс должен на чём-то закончиться. Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположим, что мы уже добрались до естественного конца, и видим, что «остановиться» невозможно. 20
21 Историческая справка. Метод бесконечного спуска изобрели, по-видимому, древнегреческие математики. Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма . Есть основания полагать, что Ферма пытался доказывать свою Великую теорему именно этим методом.
Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска. Чтобы доказать, что уравнение не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах x = X1, y = Y1, z = Z1. При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X3, Y3, Z3) и т.д. Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая =3. 22
Задача. 23 Решите уравнение в целых числах: Решение. 1 4 - 2 - 8 z 1 3 = 0 2 х 3 – у 3 – 4 z 1 3 =0 у 3 = 2(х 3 – 2 z 1 3 ) у 3 – чётное , у ⫶ 2, у = 2 у 1 2х 3 – 8у 1 3 – 4 z 1 3 = 0 х 3 – 4 у 1 3 – 2 z 1 3 = 0 х 3 - чётное число, х ⫶ 2, х = 2 х 1 1
Значит числа х 1 , у 1 и z 1 – тоже делятся на 2. Сколько бы раз мы не делили на 2,получаем числа, которые снова делятся на 2. Таким свойством обладает только 0. Ответ: (0;0;0). 24
Задание для самостоятельной работы. Доказать, что уравнение x 3 + 2 y 3 + 4 z 3 - 6 xyz = 0 в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно. 25
Другие методы решения диофантовых уравнений Задача: Доказать, что уравнение x 3 + y 3 + z 3 = 2 имеет бесконечно много решений в целых числах. Решение: Положим x = a + b , y = a - b . Тогда x 3 + y 3 = 2 a 3 + 6 ab 2 . С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид 2 a 3 + 6 ab 2 + z 3 = 2. Положив a = 1, получим z 3 = -6 b 2 . Положим теперь b = 6 t 3 . Отсюда z = - 6 t 2 , x = 1 + 6 t 3 , y = 1 - 6 t 3 . Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t
Домашнее задание. № 1 Решите в целых числах уравнение: а)8х + 14у = 32; б)6х – 15у = 27; в)19х – 5у = 119 № 2. Найдите общий вид целых неотрицательных чисел, дающих при делении на 7 остаток 3, а при делении на 11 остаток 4. № 3. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получились соответственно остатки 5 и 4. 27
За что ты можешь себя ПОХВАЛИТЬ? Что тебе УДАЛОСЬ на уроке? Над чем еще нужно ПОРАБОТАТЬ? Зачем нам нужен был этот урок? Итоги урока
29 Удачи! Урок окончен!
Литература Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9кл. общелюразоват . учреждений.- М.: Просвещение, 1999.-237 с. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 кл . общеобразоват . учреждений. – М. : Просвещение, 1994.- 190с. http ://garshin.ru/evolution/mathematics/math-history.html http://www.math.md/school/krujok/diofantr/diofantr.html http://virlib.eunnet.net/books/numbers/text/5.html http://maths3.narod.ru/algteo4.html
Предварительный просмотр:
УТВЕРЖДАЮ:
Директор МОУ школа № 10
___________________ Винник Е.Б.
« _____ » _____________ 2013 год
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по геометрии
( профильный уровень )
11 А класс
Составитель: Перевезенцева Людмила Германовна,
учитель математики высшей категории
2013 год
Пояснительная записка.
Статус документа
Рабочая программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.
Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 10-го класса профильного уровня обучения и основана на следующих документов:
1. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев:
Сборник “Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл.”/ Сост. Г.М.Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – 3-е изд., стереотип.- М. Дрофа, 2002; 4-е изд. – 2004г.
2. Стандарт основного общего образования по математике.
Стандарт среднего (полного) общего образования по математике // Математика в школе.– 2004г,- № 4
Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса.
Рабочая программа составлена по учебнику Геометрия, 10: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Е.В.Потоскуева, Л.И. Звавича – М.: Просвещение, 2012.
Рабочая программа выполняет две основные функции:
Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.
Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.
Учебно-методический комплект (УМК), состоящий из учебников и задачников, методических пособий, предназначен для обучения геометрии (стереометрии) учащихся 10—11 классов с углубленным и профильным изучением математики. Изучение программного материала рассчитано на 2 часа в неделю (всего 68 часов в год)
В основе концепции предлагаемого курса стереометрии лежат идеи дальнейшего формирования и развития конструктивно-пространственного воображения, а также таких качеств учащихся, как интеллектуальная восприимчивость к новой информации, гибкость и независимость логического мышления.
Курс осуществляет логическое упорядочение свойств фигур, которые выступают в определенной логической связи, устанавливаемой системой определений, аксиом и теорем.
При написании учебников выдержан принцип преемственности — изложение материала согласуется с изложением материала в имеющихся учебниках геометрии для 7—9 классов.
Этот курс является самодостаточным, и дает возможность учащимся подготовиться к итоговой аттестации и вступительным экзаменам в вузы. Основные части учебников и задачников полностью соответствуют федеральному компоненту Государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (курса стереометрии) для классов с углубленным и профильным изучением математики; помимо текста, содержащего программный теоретический материал,
Цели:
Изучение математики на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:
- формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
- овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
- развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
- воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.
Содержание обучения.
Преобразования пространства (9 ч)
Отображения пространства. Центральная симметрия пространства: определение, запись в координатах. Обратное преобразование. Композиция преобразований.
Движения пространства: определение движения; композиция движений. Движения первого и второго рода в пространстве. Свойства центральной симметрии. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости центральной симметрии. Центрально-симметричные фигуры.
Симметрия относительно плоскости («зеркальная симметрия»): определение, запись в координатах. Свойства симметрии относительно плоскости. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости зеркальной симметрии. Фигуры, симметричные относительно плоскости.
Параллельный перенос: определение, запись в координатах. Свойства параллельного переноса. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости параллельного переноса.
Взаимосвязь различных видов движения пространства. Композиции двух зеркальных симметрий относительно параллельных и пересекающихся плоскостей. Семь различных видов движений.
Гомотетия пространства. Формулы гомотетии пространства в координатах и её свойства. Определение подобия пространства; разложение подобия в композицию гомотетии и движения.
Многогранники (32 ч)
Определение многогранника и его элементов.
Определение многогранника и его элементов: вершин, рёбер, граней. Эйлерова характеристика многогранника. Понятие о развёртке многогранника. Свойства выпуклых многогранников. О понятии объёма тела. Свойства объёмов тел. Объём прямоугольного параллелепипеда.
Призма и параллелепипед.
Определение призмы и ее элементов. Количество вершин, рёбер, граней, диагоналей у n –угольной призмы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Перпендикулярное сечение призмы. Боковая и полная поверхность призмы; формулы вычисления их площадей.
Формулы вычисления объёмов прямой и наклонной призм.
Определение параллелепипеда. Наклонный, прямой, прямоугольный параллелепипед. Свойство прямоугольного параллелепипеда. Куб. Объём параллелепипеда. Построение плоских сечений призмы и параллелепипеда различными мет одами.
Трёхгранные и многогранные углы.
Понятие о многогранном угле. Вершина, грани, рёбра, плоские углы при вершине выпуклого многогранного угла. Трёхгранный угол. Теорема о плоских углах трёхгранного угла. Теорема синусов и теорема косинусов трёхгранного угла.
Пирамида.
Определение пирамиды и её элементов. Количество вершин, рёбер и граней n –угольной пирамиды. Некоторые частные виды пирамид: пирамида, все боковые рёбра которой равны между собой; пирамида, все двугранные углы которой при рёбрах основания равны между собой; пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости её основания; пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию; пирамида, две несоседние грани которой перпендикулярны основанию; пирамида, боковое ребро которой образует равные углы с рёбрами основания, выходящими из одной вершины. Формулы вычисления площадей боковой и полной поверхностей пирамиды.
Правильная пирамида и её свойства. Апофема правильной пирамиды. Формула вычисления боковой и полной поверхности пирамиды. Объём пирамиды и формула его вычисления. Формула вычисления объёма усечённой пирамиды.
Тетраэдр. Об объёме тетраэдра. Свойство отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней. Ортоцентрический тетраэдр. Равногранный тетраэдр.
Правильные многогранники.
Доказательство теоремы Декарта – Эйлера для выпуклых многогранников. Виды, элементы и свойства правильных многогранников. Вычисление площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Решение задач на все виды многогранников.
Фигуры вращения. (23 часа)
Цилиндр и конус.
Поверхность и тело вращения. Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостью. Изображение цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру. Развёртка цилиндра. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей цилиндра. Призма, вписанная в цилиндр и описанная около цилиндра. Вычисление объёма цилиндра.
Конус вращения. Вершина, основание, образующие, ось, высота, боковая и полная поверхности конуса. Сечения конуса плоскостью. Равносторонний конус. Касательная плоскость к конусу. Изображение конуса. Развёртка. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей конуса. Свойства параллельных сечений конуса. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды. Цилиндр, вписанный в конус.
Усечённый конус: основания, образующие, высота, боковая и полная поверхности. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей усечённого конуса. Вычисление объёма конуса и усечённого конуса.
Сфера и шар.
Шар и сфера. Хорда, диаметр, радиус сферы, шара. Изображение сферы. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Пересечение шара и сферы с плоскостью. Плоскость, касательная к сфере и шару. Теоремы о касательной плоскости.
Шары и сферы, вписанные в цилиндр, конус, многогранник и описанные около него. Шары и сферы, вписанные в двугранный и многогранный углы. Шары и сферы, вписанные в правильные многогранники и описанные около них.
Шаровой сегмент, его основание и высота; сегментная поверхность. Шаровой слой, его основания и высота; шаровой пояс. Шаровой сектор и его поверхность. Формулы для вычисления площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса, поверхности шарового сектора. Формулы для вычисления объёмов шара, шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя.
Повторение. (7 часов)
Календарно-тематическое планирование
№ темы | Тема | Кол- во часов | Уроков | Сам. работы | Контр. работы | Срок по плану | Срок по факту |
Преобразования пространства. | 9 | 8 | 1 | ||||
1. | Отображения пространства. Центральная симметрия. Обратные преобразования. | 1 | 1 | ||||
2. | Движение пространства и его свойства. | 1 | 1 | ||||
3. | Центральная симметрия. Симметрия относительно плоскости | 1 | 1 | ||||
4. | Свойства центральной симметрии и симметрии относительно плоскости. | 1 | 1 | ||||
5. | Параллельный перенос | 1 | 1 | ||||
6. | Поворот | 1 | 1 | ||||
7. | Виды движений пространства | 1 | 1 | Сам.работа (20 мин) | |||
8. | Гомотетия и подобие пространства. | 1 | 1 | ||||
9. | Контрольная работа №1 на тему «Преобразование пространства.» | 1 | Контр. работа | ||||
Многогранники. | 30 | 27 | 2 | ||||
10. | Многогранник и его элементы. | 1 | 1 | ||||
11-12. | Объёмы многогранников. Объём прямоугольного параллелепипеда | 2 | 2 | ||||
13-15. | Боковая и полная поверхность призмы. Объём призмы. | 3 | 3 | ||||
16. | Объём наклонной призмы. | 1 | 1 | Сам. работа (25 мин) | |||
17. | Параллелепипед. | 1 | 1 | ||||
18-20. | Площадь боковой поверхности параллелепипеда. Объём параллелепипеда. | 3 | 3 | ||||
21. | Решение задач. | 1 | 1 | Сам. работа (20 мин) | |||
22. | Контрольная работа № 2 по теме: «Призма и параллелепипед» | 1 | Контр. работа | ||||
23. | Трёхгранный и многогранный углы. | 1 | 1 | ||||
24-25. | Определение пирамиды и её элементов.. | 2 | 2 | Сам. работа 20 мин | |||
26-27. | Пирамида, одна или несколько граней которой перпендикулярны основанию. | 2 | 2 | ||||
28-29. | Правильная пирамида. | 2 | 2 | ||||
30. | Боковая и полная поверхность пирамиды. | 1 | 1 | ||||
31-33. | Свойства параллельных сечений пирамиды. Усечённая пирамида. | 3 | |||||
34-35. | Объём пирамиды. | 2 | 2 | ||||
36-37. | Правильные многогранники | 2 | 2 | ||||
38. | Зачёт | 1 | зачёт | ||||
39.. | Контрольная работа № 3 по теме: «Пирамида» | 1 | Контр. работа | ||||
Фигуры вращения. | 21 | 18 | 2 | ||||
40. | Поверхность вращения. Цилиндр. | 1 | 1 | ||||
41-42. | Боковая поверхность и объём цилиндра. | 2 | 2 | ||||
43. | Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра. | 1 | 1 | ||||
44-45. | Объём цилиндра | 2 | 2 | Сам. работа (25 мин.) | |||
46-47. | Конус. Сечения конуса. Касательная плоскость к конусу. | 2 | 2 | ||||
48-50. | Свойства параллельных сечений конуса. Усечённый конус. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды. | 3 | 3 | Сам. работа (20 мин) | |||
51. | Определение шара, сферы и их элементов. | 1 | 1 | ||||
52-53. | Плоскость, касательная к сфере и шару. | 2 | 2 | ||||
54. | Сфера и многогранники. | 1 | 1 | ||||
55-57. | Вписанные и описанные шары и сферы. | 3 | 3 | Сам. работа (20 мин) | |||
58. | Площадь поверхности шара и его частей. | 1 | 1 | ||||
59. | Объём шара. | 1 | 1 | ||||
60. | Зачёт по главе «Фигуры вращения» | 1 | 1 | зачёт | |||
61. | Контрольная работа №4 по теме: «Фигуры вращения.» | 1 | Контр. работа | ||||
Повторение. | 7 | 6 | 1 | ||||
62. | Повторение. Координатный метод для решения стереометрических задач. | 1 | 1 | ||||
63. | Повторение. Векторы. | 1 | 1 | ||||
64. | Повторение. Многогранник. Площадь поверхности многогранника. | 1 | 1 | ||||
65. | Повторение. Объёмы многогранника. | 1 | 1 | Сам. работа | |||
66. | Повторение. Фигуры вращения. Объём и площадь поверхности. | 1 | 1 | ||||
67. | Итоговая контрольная работа. | 1 | Контр. работа | ||||
68. | Обобщение и повторение. | 1 | 1 |
Требования к уровню подготовки.
Знать/ понимать:
- определения: отображение и преобразования пространства; композиции преобразований; преобразование, обратного данному;
- определение движения в пространстве и его видов: центральной и осевой симметрии, симметрии относительно плоскости, параллельного переноса, поворота , гомотетии и подобия; изучить свойства этих преобразований;
- определение неподвижной фигуры при преобразовании;
-определение равенства фигур на основе движений;
-координатное выражение геометрических преобразований пространства;
-определения: выпуклой и связной геометрической фигуры; внутренней и граничных точек; геометрического тела и его поверхности; многогранника и его элементов;
-для числа В вершин, числа Р рёбер и числа Г граней любого выпуклого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 2 (теорема Декарта-Эйлера)
-определения:
а) призмы и её элементов; прямой, наклонной, правильной призмы и их свойства;
б) перпендикулярного сечения призматической поверхности;
-свойство диагоналей параллелепипеда;
- формулы вычисления боковой и полной поверхности призмы; объёма;
-объём параллелепипеда можно находить тремя способами, принимая за основание этого параллелепипеда любую грань, а за высоту-расстояние между этой гранью и гранью, параллельной ей;
-неравенство трёхгранного угла: в трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов;
-сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360⁰;
- теорему косинусов и теорему синусов для трёхгранного угла;
-сечением многогранного выпуклого угла плоскостью, проходящей через его внутреннюю точку и пересекающей все его рёбра, является выпуклый многоугольник;
- множеством всех точек пространства, лежащих внутри трёхгранного угла и равноудалённых от его граней, есть луч прямой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов этого трёхгранного угла;
-определение пирамиды, усечённой пирамиды, правильной пирамиды и их элементов;
- формулы вычисления площадей боковой и полной поверхности пирамиды, объёма пирамиды и усечённой пирамиды;
-свойства параллельных сечений пирамиды;
-свойства тетраэдра;
- определение ортоцентрического тетраэдра;
-если два боковых ребра пирамиды равны между собой, то вершина такой пирамиды проецируется на серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего основания равных боковых рёбер;
-свойства правильной пирамиды
- признаки правильной пирамиды
- доказательство теоремы Декарта-Эйлера для выпуклых многогранников;
- определение правильного многогранника;
-свойства правильных многогранников;
определение цилиндра, конуса вращения, их элементов; перпендикулярного сечения; боковой и полной поверхности;
-осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра;
-формулы вычисления площади боковой и полной поверхности и объёма цилиндра и конуса;
-при решении задачи, в которой дан правильный многогранник. Вписанный в конус, достаточно изобразить сечение этих фигур плоскостью, проходящей через ось конуса и диагональ основания многогранника, тогда решение стереометрической задачи сводится к решению задачи планиметрической;
-определения сферы и шара;
-плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания;
-взаимное расположение сферы и плоскости;
-диаметр шара (сферы), делящий хорду пополам. Перпендикулярен этой хорде4
-отрезки всех касательных, проведённых к шару из одной точки, равны между собой;
-определение сферы, вписанной в двугранный и многогранный углы;
-определения сферы и шара, вписанных и описанных около многогранника;
-свойства вписанных и описанных многогранников;
-при решении задачи на комбинацию сферы и конуса (цилиндра) использовать сечение комбинации диаметральной плоскостью сферы, содержащей ось конуса (цилиндра);
-при решении задачи, в которой даны две, три и более попарно касающиеся сферы, удобно «привлекать на помощь» треугольник или тетраэдр с вершинами в центрах данных сфер.
уметь:
- строить образы фигур при каждом преобразовании пространства конструктивно и пользуясь координатными формулами этих преобразований;
-видеть и корректно обосновывать существование:
а) неподвижной фигуры при каждом преобразовании пространства;
б) центра (плоскости, оси) симметрии данной геометрической фигуры;
в) движений, при которых данная фигура отображается на себя;
- применять геометрические преобразования при решении стереометрических задач на доказательство, построение и вычисление, аргументировано обосновывая каждый шаг решения;
-в параллельной проекции строить:
а) изображения куба, прямого и наклонного параллелепипедов, правильной пирамиды;
б) изображения прямых и плоскостей, параллельных и перпендикулярных рёбрам и граням данного многогранника;
в) сечения многогранников;
г) на изображении многогранника выделять его невидимые элементы штриховыми линиями;
д) определять и вычислять углы между его рёбрами и гранями, линейные углы двугранных углов между его гранями;
- строить развёртки многогранников;
- пользоваться теоремой Декарта-Эйлера для определения одного из чисел В, Р и Г, если в данном многограннике известны два из них;
- строить изображения прямой и наклонной призмы, прямого и наклонного параллелепипеда с последующими дополнительными построениями на этих изображениях;
- на изображении призмы и параллелепипеда6
а) выделять их невидимые элементы штриховыми линиями;
б) «видеть» углы между рёбрами и гранями, линейные углы двугранных углов между его гранями и уметь их вычислять, используя условие задачи;
-строить различными методами сечения призмы и параллелепипеда, вычислять площади этих сечений;
- решать задачи на вычисление площади боковой и полной поверхности, объёма призмы и параллелепипеда, аргументировано обосновывая каждый шаг построения и вычисления;
- находить расстояние от вершины угла до точки, расположенной внутри угла и равноудалённой на данное расстояние от его: а) граней; б) рёбер, аргументировано обосновывая каждый шаг построения и вычисления;
- находить величину угла:
а) который образует с плоскостью грани трёхгранного угла луч с началом в его вершине, лежащий внутри этого угла и составляющий со всеми его гранями равные углы;
б) который образует с ребром многогранного угла луч с началом в вершине угла, лежащий внутри этого угла и составляющий со всеми его рёбрами равные углы;
- верно и наглядно изображать:
а) правильные пирамиды;
б) пирамиду, все боковые рёбра которой образуют равные углы с плоскостью её основания (все боковые рёбра пирамиды равны между собой);
в) пирамиду, все двугранные углы которой при рёбрах основания равны между собой;
г) пирамиду, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости её основания;
д) пирамиду, две соседние (две не соседние) боковые грани которой перпендикулярны плоскости её основания;
-строить сечения различных видов пирамид различными методами и находить площади полученных сечений, аргументировано объясняя каждый «шаг решения»;
- находить площади боковой и полной поверхностей, объём различных видов пирамид (в том числе, усечённых);
-верно и наглядно изображать правильные многогранники, строить их развёртки и склеивать модели;
-строить сечения правильных многогранников различными методами и находить площади полученных сечений,
- находить площади боковой и полной поверхностей, объём различных правильных многогранников;
-выводить формулу вычисления площади боковой и полной поверхностей, объёма цилиндра и конуса;
- строить изображения: цилиндра и конуса; правильных призм и пирамид, вписанных в цилиндр и конус;
- корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения задачи на комбинацию многогранников с цилиндрами и конусами4
-выводить формулы вычисления площади поверхности и объёма шара, шаровых пояса, сектора, сегмента;
- векторно-координатным методом решать задачи на комбинации сферы с многогранниками;
- верно и наглядно изображать сферу в комбинации с многогранниками, цилиндром, конусом и другими сферами;
- корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения на комбинацию сферы (шара) с многогранниками, цилиндром, конусом и другими сферами (шарами)
Контрольные работы.
Контрольная работа № 1
I вариант.
1.Дана точка А(-3;2;5). Найдите образ этой точки:
а) при симметрии относительно начала координат;
б) ) при симметрии относительно плоскости Oyz;
в) при повороте на 900 относительно оси Оx;
г) при параллельном переносе на вектор а(-1;2;-3);
д) при симметрии относительно точки Н(1;2;0).
2. Плоскость α задана уравнением 3x – 5y – z + 2 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:
а) при параллельном переносе на вектор r (-2;1;3); б) при симметрии относительно начала координат.
3.Рассматривается симметрия относительно плоскости 2x + 3y – z + 2 = 0. Запишите, если это возможно: а) координаты какой-нибудь неподвижной точки этой симметрии; б) параметрическое уравнение какой-нибудь прямой, неподвижной при этой симметрии;
в) уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этой симметрии;
г) уравнение какой-нибудь сферы, которая неподвижна при этой симметрии.
4. Даны два тетраэдра МАВК и РАВС, все рёбра которых равны между собой. Прямые АВ и СК пересекаются, а точки М и Р лежат в разных полупространствах относительно плоскости ВСК.
Укажите любую композицию нескольких симметрий пространства, при которой один из данных тетраэдров совмещается с другим.
5. Докажите, что композиция Sα
6.(дополнительная) ABCDA1B1C1D1 – куб. Движение f пространства таково, что f(A) = D1, f(A1) = C1, f(D) = D, f(B) = A1. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении.
II вариант.
1.Дана точка А(3;-7;1). Найдите образ этой точки:
а) при симметрии относительно начала координат;
б) при симметрии относительно точки С(1;2;0).;
в) при симметрии относительно плоскости Oxy;
г) при параллельном переносе на вектор r(-2;1;-3);
д) при повороте на 900 относительно оси Оy;
2. Плоскость α задана уравнением 3x – 2y + 7z - 12 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:
а) при параллельном переносе на вектор a (2;-1;-3); б) при симметрии относительно начала координат.
3.Рассматривается параллельный перенос на вектор р(-1;2;3). Запишите, если это возможно: а) координаты какой-нибудь неподвижной точки при этом переносе; б) параметрическое уравнение какой-нибудь прямой, неподвижной при этом переносе;
в) уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этом переносе.
4. Даны два тетраэдра МАВС и РМКЕ, все рёбра которых равны между собой. Точки М и Р лежат в разных полупространствах относительно плоскости правильного шестиугольника АКВМСЕ.
Укажите любую композицию нескольких симметрий пространства, при которой один из данных тетраэдров совмещается с другим.
5. Докажите, что композиция Sβ
6.(дополнительная) ABCDA1B1C1D1 – куб. Движение f пространства таково, что f(D1) = A, f(C1) = A1, f(D) = D, f(A1) = B. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении.
Контрольная работа № 2.
I вариант.
1.Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом α, а площадь этой грани равна Q. Найдите полную поверхность призмы
2. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороной а. Одна из вершин второго основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда равна h. Найдите:
а) площадь диагонального сечения;
б) боковую поверхность параллелепипеда
3.Основание прямого параллелепипеда – ромб, диагонали которого относятся как 5 : 9. Диагонали параллелепипеда равны 26 и30 см. Найдите его объём.
4.Основание призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 30⁰. Боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному углу, является квадратом и наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите объём призмы.
II вариант.
1.Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом α, а площадь основания призмы равна S.. Найдите полную поверхность призмы
2. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороной а, все боковые грани – ромбы. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите:
а) площадь диагонального сечения;
б) боковую поверхность параллелепипеда
3.Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 18 см.. Диагонали параллелепипеда относятся как 13 : 15. Найдите его объём.
4.Основание призмы – прямоугольный треугольник с острым углом 60⁰. Боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу, является квадратом с площадью 36 см2 и образует с плоскостью основания угол 30⁰. Найдите объём призмы.
Контрольная работа № 3.
I вариант.
1.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом β. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
2. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Расстояние от основания высоты пирамиды до середины апофемы равно l. Найти полную поверхность пирамиды.
3. В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны оснований равны 2 и 4 см., а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 600. Найти объем пирамиды.
4. Полная поверхность правильного тетраэдра с ребром а равновелика полной поверхности икосаэдра. Найти ребро икосаэдра.
II вариант.
1. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом β. Найти площадь третьей боковой грани и площадь боковой поверхности пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен β. Расстояние от основания высоты пирамиды до середины бокового ребра равно l. Найти полную поверхность пирамиды.
3.Правильный тетраэдр с ребром а и правильная четырехугольная пирамида с высотой а
4. Полная поверхность октаэдра с ребром а равновелика полной поверхности правильного тетраэдра. Найдите ребро тетраэдра.
III вариант.
1. Площадь одного из оснований усеченной пирамиды в четыре раза больше площади второго основания. Боковая поверхность пирамиды равна 36 см2, а все двугранные углы при большем основании пирамиды равны 600. Найти полную поверхность пирамиды.
2.В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция с острым углом α. Высота пирамиды равна Н, а все двугранные углы при основании равны β. Найдите высоту трапеции, лежащей в основании и площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине α. Боковая грань пирамиды, содержащая основание треугольника, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом β. Найти объем пирамиды.
4. Ребро октаэдра равно а. Найти расстояние между двумя противолежащим вершинами октаэдра.
IV вариант.
1. Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани, содержащие соседние стороны квадрата, перпендикулярны плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом β. Высота пирамиды равна H. Найти боковую поверхность пирамиды.
2. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 8 см., а боковое ребро пирамиды образует с плоскостью большего основания угол 450. Найдите высоту данной пирамиды и боковую поверхность полной пирамиды, из которой получена данная усеченная пирамида.
3. Основание пирамиды – ромб с периметром 40 см. и площадью 60 см2. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 600. Найдите объем пирамиды.
4. Полная поверхность октаэдра равна 8
Контрольная работа № 4
I вариант.
1. Через конец радиуса шара под углом 600 к радиусу проведено сечение шара, имеющее площадь
16π см2. Найдите площадь поверхности и объём шара.
2. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 и 4 см, а высота слоя – 5см. Найдите объём слоя, если плоскости его оснований лежат по разные стороны от центра шара.
3. Точка высоты конуса, удалённая от плоскости основания на расстояние а, равноудалена от концов образующей. Отрезок, соединяющий эту точку с точкой окружности основания под углом β. Найдите боковую поверхность конуса.
4.Найдите отношение объёмов шара, вписанного в цилиндр и шара, описанного около того же цилиндра.
II вариант.
1. Через конец радиуса шара под углом 450 к радиусу проведено сечение шара. Данное сечение пересекает поверхность шара по окружности длиной 8
2. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 и 4 см, а высота слоя – 5см. Найдите объём слоя, если плоскости его оснований лежат по одну сторону от центра шара.
3. Точка высоты конуса удалена на расстояние b от точек окружности основания и боковой поверхности конуса. Отрезок, соединяющий эту точку с точкой окружности основания, наклонён к плоскости основания под углом 
4.Найдите отношение площадей вписанной и описанной сфер для цилиндра .
Итоговая контрольная работа.
I вариант.
1.Основания прямого параллелепипеда – ромб с большей диагональю 4 см и острым углом 60⁰. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
2.Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объём конуса, если его боковая поверхность равна S.
3.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом α. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите объём пирамиды, если расстояние от основания её высоты до бокового ребра равно m.
4.В цилиндр вписан шар, а в этот шар вписан ещё один цилиндр, подобный данному. Найдите отношение объёмов цилиндров.
II вариант.
1.Основания прямого параллелепипеда – ромб с площадью 32 см2 и острым углом 60⁰. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30⁰. Найдите объём параллелепипеда.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен β. Найдите боковую поверхность конуса, если его объём равен V..
3.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом α. Расстояние от основания высоты пирамиды до вершины этого угла равно b. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите объём пирамиды.
4.В цилиндр вписан шар, а в этот шар вписан ещё один цилиндр, подобный данному. Найдите отношение площадей поверхностей цилиндров.
Литература.
- Потоскуев Е. В., ЗвавичЛ.И. Геометрия. 11 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2012;
- Потоскуев Е. В., ЗвавичЛ.И. Геометрия. 11 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2009;
- Потоскуев Е. В., Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Геометрия. 11 кл.: методическое пособие к учебнику Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Геометрия. 11 класс». — М.: Дрофа, 2010;
- Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Контрольные и проверочные работы по геометрии. 10—11 классы: методическое пособие. — М.: Дрофа, 2007.
- Ковалёва Г.И., Мазурова Н.И. Геометрия 10-11 классы:тесты для текущего и обобщающего контроля. Волгоград: Учитель, 2011
«Согласовано» «Согласовано»
на заседании ШМО заместитель директора по УВР
учителей математики
__________(Драгунова Е.Ю) ______________Боброва М.С.
Протокол № _________ от «____»_________2013 г.
«___»__________ 2013 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока "Введение в теорию вероятностей"
Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, соб...
Презентация к уроку математики на тему "Синус и косинус", 10 класс
Презентация к уроку математики в 10 классе на тему "Синус и косинус"....
Презентация к уроку математики на тему "Синус и косинус. Решение уравнений sin t=a и cos t=a", 10 класс
На уроке рассматривается вопрос о решении уравнений вида sin t=a и cos t=a с помощью числовой окружности. Выводятся формулы sin(-t)=-sint, cos(-t)=cost....
Конспект урока по теме: Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
Тип занятия: урок-практикумЗадачи занятия:Обучающие: -повторить теоретические знания по теме: «Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника»-систематизировать знания по темеРазвива...
Конспект урока по геометрии "Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов"
Тема: "Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов".Цель: а) Закрепить применение теоремы 7.3 и значения синуса, косинуса и тангенса углов 30˚,45˚,60˚ при решении задач на вычисление;б) Выраб...
"Применение теорем синусов и косинусов" 9 класс
quot;Применение теорем синусов и косинусов" 9 класс...
Конспект урока "Задачи по теории вероятностей"
Подготовка обучающихся 9-х классов к государственной итоговой аттестации по математике. Урок по теме : "Задачи по теории вероятностей"....