"Применение теорем синусов и косинусов" 9 класс
план-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему

             Урок обобщения и систематизации

                               знаний по теме

       «Применение теорем синусов и косинусов

              для решения треугольников»

Цель:

Образовательная: повторение ранее изученного материала: теоремы синусов, теоремы косинусов, формул площади треугольников и умение использовать их при решении задач, применять соотношения между сторонами и углами треугольника в решении задач стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

Развивающая:  развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность., закрепление  ранее изученного материала на практике решения задач, развитие навыков контроля, самоконтроля, взаимопомощи.

    Воспитательная:  воспитание умения внимательно слушать и оценивать устную информацию, воспитание умения четко формулировать свои мысли, воспитание коммуникативных  способностей, аккуратности.

Ход урока:

1. Организационный момент

Добрый день!

Сели ровно, оглянулись.

Друг другу улыбнулись

И в работу окунулись. 

2. Мотивация урока.

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник.

А уж вам-то как не знать.

Но совсем другое дело –

Очень быстро и умело

Треугольники «решать».

 Станция «Теоретическая»

3.  Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1.Что называют решением треугольников?

2.Какие теоремы применяются при решении треугольников?

3.Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?

4.Чему равна сумма углов треугольника?

5.Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)

  6. По какой формуле можно вычислить площадь прямоугольного , произвольного    треугольника?

4. Игра-молчанка.

По команде учителя поднять карточку с тем цветом,

   напротив которого находится правильный ответ.

Закончи предложение.

1. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;

б) сумме квадратов двух других его сторон;

в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

  2. Заполни пропуски. В треугольнике KH

а) KH ; б) HT; в) TK.

    3. Стороны треугольника пропорциональны

        А) тангенсам противолежащих углов

        В)  косинусам противолежащих углов

С) синусам противолежащих углов

    4. Теорема синусов.

А.

        В .

       С.

    5. Теорема косинусов.

         А) с2 = a2+ b2 + 2ab cosC

         В) с2 = a2+ b2 - 2ab cosC

         С) с2 = a2+ b2 - b cosB

    6. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:

А) АС;

В) ∠ В;

С) ∠ А;

7. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле …

     A. S =          В.  S =                          C.  S = 4 R (a + b + c)

         a               b

     c          

     Cтанция  «Реши треугольник»

Команда «Считалкины» выполняет № 47 (стр.25) в  рабочей тетради.

Команда «Решалкины» решает задачу  № 1 с использованием теоремы синусов.

Команда «Смекалкины» решает задачу № 1 с использование теоремы косинусов

                     В        Задача № 1.

           5                    7                        Найдите сторону АС

             60⁰

А                   х                     С

        Решение задачи № 1.

I способ (с использование теоремы косинусов)

Пусть АС = х

По теореме косинусов ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС ∙ АВ ∙ cos 60⁰

                                            72 = 52 + x2 – 2 ∙ 5 ∙ x ∙

                                            x2 – 5x – 24 = 0

                                           x1 = 8;             x2 = - 3 (не уд. усл. задачи)

Ответ: АС = 8

II способ (с использование теоремы синусов)

Пусть АС = х

По теореме синусов ;    ;

Sin C = ∠C = 38⁰ 14´

∠B = 180⁰ - 60⁰ - 38⁰ 14´ = 81⁰46´;    x =  =  ≈ 8

Ответ: АС = 8

Станция  «Раз задачка,  два задачка…»

                                Задача № 2

 Одна из сторон треугольника равна 2, а два его угла равны 45⁰ и 60⁰. Найдите

площадь треугольника. ( sin 75⁰ = )

I случай.       В

                      𝛄                                 Решение.

2

                                                 𝛄= 180⁰ - (60⁰+45⁰) = 75⁰

      А    45⁰      60⁰     С

                       x         ;   S∆ =  =

II случай.      

                                                      Решение.

                       В

            X          𝛄        𝛄= 180⁰ - (60⁰+45⁰) = 75⁰

              45⁰       60⁰           ;    x =

         А            2        С

S ∆ =  ∙   =  =  = 3 -

III случай

                B                                           Решение.

                         2                      ;       x =

       45⁰       60⁰

A             x            C

S ∆ =  =  =  =

Станция «Спортивная»

 Физкультминутка (выполнение упражнений для рук)

Руки подняли и покачали –

Это деревья в лесу.

Руки нагнили, кисти встряхнули –

Ветер сбивает росу.

В сторону руки, плавно помашем –

Это к нам птицы летят.

Как они сели, тоже покажем –

Руки мы сложим – вот так. 

Станция «Практическая».

                          Задача № 1.

Климанова Наталья 9а

1. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступной точки С.

        Дано:

A – точка наблюдения            В

Решение:

        Задача № 2.

Баленкова Арина 9 а

В 7 часов утра пассажирский самолет вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолет сделал поворот на вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найдите расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолета на каждом участке полета была равна 320км/ч.

               Задача № 3.

Зименков Андрей 9а.

Для определения ширины непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте h, измерили углы α и β. Найдите ширину болота.

                      С        

      D   A                              B  

Дано: 

<САD = α; <СВА = β; СD = h 

Найти: АВ. 

Решение:

1.  Из прямоугольного ∆АCD  находим:

АС =

  2.Из ∆АВС  теореме о внешнем угле треугольника

3.По теореме синусов имеем:

             Задача № 4.

       Антамони Мария 9а.

   Вершина горы видна из точки А под углом 38о, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42о. Найдите высоту горы.

Дано:  АВ=200 м, угол САВ=а=38о, угол СВD=b=42о,

                   CD перпендикулярна DA.

Найти: CD.            

       С

       D                         B               A

1)Обозначим угол BCA=y  . Тогда из треугольника CBA по теореме       синусов имеем: СВ   =  AB    => CB = AB * sin a = AB * sin a = 200 * sin  38o    =                         sin a       sin y             sin y           sin (b-a)      sin(42o – 38o)

= 200 * 0.6157 = 1 764 м                   

      0.0698

  2) Из треугольника СBD следует, что CD = CB*sin b = 1 764*sin 42o =

= 1 764*0.6691 = 1 180 м.

Ответ: высота горы 1 180 м. 

Я люблю математику не только потому, что она находит применение в жизни, но и потому что она красива.

                                                                         Петер Роске

Рефлексия.

• Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
• Что удивило?
• Что понравились больше всего?
• Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
• На уроке сегодня я узнал…
• Мне было интересно, когда…
• Я так и не понял…
• Знания, полученные на уроке,  мне пригодятся…

Домашнее задание.

I уровень.

 1. Определить  вид  треугольника  со  сторонами  5,  6  и  7  см.  

     а)  остроугольный;                           б)  равнобедренный;

     в)  тупоугольный;                             г)  прямоугольный.                                                    (1 балл). 

 2.  В  параллелограмме  острый  угол = 60 ,  а  стороны  6 см  и  8 см.  Найти  меньшую  диагональ.

     а)  2см;                     б) 2см;

     в)  2см;                                  г)  7 см.                                                                        (3 балла).

3.  Найти  углы  треугольника,  если  a=12,  b=8,  c=10.                                                 (3 баллов).

 4.  В  треугольнике  АВС  угол  ∠В= 105,                   В                  8                     С

      угол  ∠А= 45,  ВС= 8 см.  Найти  АВ.                              105

      а) 4см;           б) 4см;                                       45

      в) 8см;           г) 4см.                          А                                                               (2 балла)

5.  Найти  сторону  треугольника,  если  противолежащий  ей  угол  равен  60,  а  радиус  описанной  окружности  равен  9 см.

   а) 9 см;   б)  9 см;   в)  12 см;   г)  18 см.                                                                  (3 балла).

Итоги  урока.

Как вы считаете, актуальны ли в наше время слова Андрея Николаевича Колмогорова: «Знания по геометрии или умение пользоваться формулами необходимы почти каждому мастеру или рабочему»? (ответы)

Сегодня мы с вами убедились, что умение решать треугольники, необходимо каждому человеку в повседневной жизни. Помните, что, решая маленькие задачи вы готовитесь к решению больших и трудных.

 Спасибо за урок.