Координатно-векторный метод в пространстве. Консультирование в условиях самостоятельного изучения темы.
план-конспект занятия по геометрии (10 класс) по теме

Российский Государственный Педагогический Университет им.А.И.Герцена.

Творческая работа по методике обучения математике.

Координатно-векторный метод в пространстве. Консультирование в условиях самостоятельного изучения темы.

                                                                                Выполнила: студентка 4 курса 4 группы,

                                                                      факультета математики,

                                                                Шабанова Вера.    

Санкт-Петербург

2006

Основные теоретические положения метода и особенности. Его применение в учебном процессе.

По определению термина консультирования – это

1. Помощь в затруднительной ситуации, поддержка, нахождение выхода из затруднительной ситуации (с точки зрения психологии).
2. Методическая интерпретация этого термина  отличается от предыдущей формулировки:

• ликвидация проблем в знаниях,
• углубление знаний,
• формирование новых знаний.
• передача опыта, как учителем, так и детьми.

Данный метод может занимать различные места в учебном процессе:

• промежуточные консультации, с целью ликвидации пробелов в знаниях
• обобщающая консультация по теме, подводящая итог пройденной теме.
• вводные консультации по теме, с целью повторения материала перед началом изучения темы.

В связи с перечисленными пунктами вытекают и особенности организации и проведения таких уроков. По каждому из выделенных блоков учитель составляет теоретическое и практическое содержание, которое предлагается учащимся для самостоятельного изучения.

Возможен следующий план подготовки к урокам – консультациям:

1. Совместно с учениками каждого класса создать «Дерево знаний» (оно может представлять собой рисунок дерева, на которое перед каждым уроком дети будут наклеивать свои вопросы, которые по мере ответов на них будут срываться учителем).
2. Можно предложить детям сделать почтовый ящик, в который за день до урока, дети будут бросать письма с вопросами. Роль почтальона могу выполнять помимо учителя и дети.
3. Непосредственно на уроке, по любой из схем учитель отвечает на вопросы. Помимо учителя на вопросы могут отвечать и дети, разобравшиеся в обсуждаемом вопросе.
4. Понятно, что консультация должна проходить логично, то есть не должно быть скачков с одной темы на другую.
5. Правило номер 5 – выслушать необходимо каждого, кто хочет высказаться.!!!!!

Тема: Координатно-векторный метод в пространстве. Консультирование в условиях самостоятельного изучения темы.

Метод координат является основой аналитической геометрии, в которой геометрические фигуры изучаются с помощью методов алгебры. Представление о методе координат учащиеся уже имеют по курсу алгебры, где было введено понятие прямоугольной системы координат и непосредственно из геометрии (метод координат на плоскости).

Цели: 1.Расширить и углубить представления учащихся о методе координат в пространстве,

2.Развить умение применять алгебраический аппарат при решении геометрических задач,

3.Учащиеся должны также усвоить, что практическое применение метода координат состоит в том, что вводится соответствующим образом прямоугольная система координат, условие задачи записывается в координатах и далее решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Разбиение содержания на блоки (исходя из 12ч на тему) (учеб. «Геометрия» под ред. Л.С.Атанасяна и др., «Просвещение» 2005г):

1. Координаты точки и вектора в пространстве (Прямоугольная система координат в пространств, координаты вектора, связь между координатами вектора и координатами точки в пространстве).
2. Скалярное произведение векторов (Угол между векторами, скалярное произведение векторов, вычисление углов между прямыми и плоскостями).
3. Движения (центральная, осевая, зеркальная симметрии, параллельный перенос).

1 блок. Координаты точки и вектора в пространстве(3ч)

Цели: 1. Ввести понятие координаты вектора в пространстве, разложение вектора по единичным, рассмотреть правила, позволяющие находить координаты вектора суммы, разности, и др.

2. Показать связь между координатами вектора и точки в пространстве.

3. Научиться решать простейшие задачи.

Задачный материал:400-405,409,410,413,415,421,423424-428.

2 блок. Скалярное произведение векторов(3ч)

Цели: 1.Главная цель этого пункта – ввести ещё одно действие над векторами - скалярное произведение.

2.Познакомить детей со свойствами скалярного произведения (переместительный, сочетательный и распределительный законы).

3.Научиться применять этот материал при решении задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Задачный материал:443-448,451,454,461,464,465,469,470.

3 блок. Движения(3ч)

Цели:1.Ввести понятия центральная, осевая, зеркальная симметрии, а так же параллельный перенос в пространстве.

2.Научить детей применять полученные знания при решении задачного материала.

Задачный материал:

Центральная симметрия:478(а),479(а),480

Осевая симметрия:478(б),481

Зеркальная  симметрия:482,483

Параллельный перенос:484,485

Общие задачи по движению:487-489.

После последней темы повторение 2ч и 1ч-контрольная работа.

Инструкции к применению метода консультирования:

Первый вопрос, который должен возникнуть у читателя,  почему разработка этой темы идет с помощью метода консультирования? И вопрос действительно справедливый.

Если оглянуться назад и представить себя в роли ученика, которому необходимо разобраться самостоятельно с материалом целой главы, то на первый взгляд это не просто не возможно, но он и не стал бы этого делать. Но с другой стороны, когда начинаешь читать эту главу, то понимаешь, что ничего сложного в этом нет, это ни что иное, как повторение и углубление знаний полученных в 9 классе. И если даже ученик учился из ряда вон плохо, то уж точки на координатной плоскости с трудом, но поставить сумеет. Ну а дальше всё тех же правила сложения векторов, повторение всех ранее известных видов движения, только на чуть более сложном уровне.

Думаю, что мне удалось убедить читателя в том, что даже самому «умному» ученику класса вполне по силам справиться с разбором этой главы, ну а если возникли вопросы, на помощи и придёт метод консультирования, о котором и идёт речь в моей работе.

По этой теме могут быть рассмотрены следующие вопросы:

1. Изображение координатных прямых в пространстве.
2. Построение точек с заданными координатами в пространстве.
3. Как определить в какой координатной плоскости лежит точка, при этом какая координата имеет значение, равное нулю.
4. Зачем вводятся единичные векторы?
5. Как определяется нулевой вектор в пространстве?
6. Справедливы ли правила сложения векторов , которые были на плоскости в пространстве?
7. Можно ли сказать, что угол между векторами задают угол между плоскостями, содержащими эти векторы?
8. Можно ли вычислить угол между произвольным вектором и нулевым вектором?
9. Всегда ли можно вычислить угол между векторами?
10. Какие то вопросы можно взять и из «Вопросов к главеV».(уч. Атанасяна)

Актуализируемые знания:

Прямоугольная система координат на плоскости; координаты вектора на плоскости;

Правила сложения, вычитания, умножения вектора на число; координаты середины отрезка; задача о вычислении длины вектора; расстояние между двумя точками; понятие двыжения, виды движений (центральная, осевая симметрии и параллельный перенос).

Новые знания:

Понятия прямоугольной системы координат, координаты вектора, правила сложения, вычитания и др. переносятся из плоскости в пространство. Вводятся новые понятия-угол между векторами, скалярное произведение векторов, вычисление углов между прямыми и плоскостями, из симметрий вводится понятие зеркальной симметрии.

Урок – консультация по третьему блоку «Движения» (урок - конференция)

Что бы разнообразить формы проведения уроков – консультаций, можно предложить игру в виде пресс-конференции.

Модель урока:

В научно-исследовательском институте получены важные теоретические выводы. На конференцию приглашены сотрудники НИИ и представители прессы, задача которых проверить правильность выводов и подготовить материал для своей редакции по вопросам конференции.

Подготовка к уроку

Подготовка начинается за три урока. Все ученики класса делятся на четыре группы: представители прессы(7-10 человек), научные группы, делающие доклады(6-8 человек), научные сотрудники(3-4человека) и библиотекарь(1). Распределить обязанности нетрудно при помощи таблицы:

Группы участников                             Фамилии учащихся                       

Представители прессы                     1.

                                                               2.

                                                               3.

                                                              …

Научные группы                                 1.

                                                              2.

                                                              …

Научные сотрудники                       1.

                                                             2.

                                                             …

Библиотекарь                                    1.

Также рядом необходимо вывесить план конференции, то есть доклады, которые будут заслушиваться, и оцениваться, а также список литературы.

План конференции по теме: « Движение»

1. Решение задачи о существовании центральной симметрии в пространстве.(п.49)
2. Осевая симметрия в пространстве является движением.(п50)
3. Открытие нового вида движения – зеркальная симметрия.(п.51)
4. Параллельный перенос в пространстве является движением.(п.52)
5. Ответы научной группы на вопросы прессы.
6. Выпуск газеты.
7. Список литературы от библиотекаря.

Содержание урока:

Цели: 1.Систематизация знаний по теме.

2.Разобрать те моменты темы, которые непонятны при самостоятельном изучении темы.

Урок начинается со вступительного слова учителя, которое вносит в урок позитивный настрой учащихся.

«Уважаемые участники конференции, уважаемые представители прессы! Организаторы рады приветствовать вас в этом зале. Через несколько минут вы сможете прослушать доклады об интересных, практически важных, но для нас еще неизвестных фактах. Докладчики представят вам современную научную точку зрения на вопросы, указанные в плане конференции».

Далее ведущий напоминает план конференции, после чего начинается заслушивание докладов.

После окончания чтения докладов представители прессы приступают к вопросам.

Пресса обязана подготовить вопросы до начала урока, а так же задавать вопросы, которые появляются в связи с прослушиванием докладов.

Рассмотрим фрагмент такого урока.

1.Решение задачи о существовании центральной симметрии в пространстве

В нашем исследовании была поставлена цель, выяснить, существует ли центральная симметрия в пространстве, т.к. на плоскости она существует, и мы все это хорошо знаем из 9 класса и если она существует доказать тот факт, что и в пространстве она является движением.

Вопрос о существовании сразу отпал, как только  мы попытались найти примеры центральной симметрии в нашем мире, тем более её плоские аналоги нам уже известны.

Примеры в пространстве: снежинка, симметрична относительно своего центра, лепестки ромашки, симметричны относительно серединки, ну и конечно если окружность симметрична относительно центра, то пространственный аналог этой ситуации – шар, который так же симметричен относительно своего центра.

После из этих соображений мы решили дать следующее определение центральной симметрии:

Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.

Далее мы доказали, что центральная симметрия является движением:

Обозначим буквой О центр симметрии и введём прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами точек M(x,y,z) и  M(x1,y1,z1), симметричных относительно точки O. Если точка М не совпадает с центром О, то О – середина отрезка ММ1. По формулам координат середины отрезка получаем х1=-х,у1=-у,

Z1=-z. Это так же верно  и в том случае, когда точки М и О совпадают.

Легко доказать и тот факт что расстояния между симметричными точками одно и тоже с помощью формул расстояния между двумя точками.

После доклада пресса задаёт свои вопросы:

1. Чем отличаются определения центральной симметрии на плоскости и в пространстве?
2. Вы доказали что центральная симметрия является движением, а что такое движение?
3. А что получится, если в доказательстве точка М совпадёт с точкой О?
4. Является ли примером центральной симметрии прямоугольная система координат в пространстве? Если да, то что является её центром?
5. …

Помимо сотрудников, которые делали доклад, на вопросы отвечают и сотрудники, входящие в научную группу.

Далее переходят ко второму докладу.

Разработка системы контроля.

1 блок темы:

Вариант 1

1. Куб АВСDA`B`C`D` помещён в прямоугольную

   систему координат . А(2,-2,0).

1. Найдите координаты всех остальных вершин.
2. Найдите координаты векторов OD,OC`,ОМ

и разложите их по единичным векторам.

2. Даны вектора а {2,-1,3}, в{-3,2,1}, с{-10,6,-4}.Будут ли коллинеарными векторы а-в и с?

Вариант 2

1. Тетраэдр DABC помещён в прямоугольную

 систему координат AB=AC=25,BC=30,BO=OC.

 Грань ADCсоставляет с плоскостью основания угол 45о .

1. Найдите координаты вершины тетраэдра.
2. Найдите координаты вектора ОК , где К- основание

 перпендикуляра, опущенного из точки О на грань ACD,и

 разложите их по единичным векторам.

2. При каких значениях т векторы  а {2,-1,3}, в{1,3,-2}, с{т,2,1} компланарны.

2 блок темы:

Вариант 1

1. Рёбра правильного тетраэдра DABC равны а.К- середина ВС. Найдите:

1. произведение векторов DA на АК.
2. Произведение векторов DA на ВС.

2.В кубе ABCDA`B`C`D` - центр грани DD`C`C. Какой угол между векторами АМ и BD`?

Вариант 2

1. В правильной треугольной призме АВСА`B`C`все рёбра равны а. Р-середина A`B`. Найдите произведение векторов:

1. C`P на B`C
2. AP на PC`

2. Точки А(14,-8,-1), В(7,3,-1), С(-6,4,-1), D(1,-7, -1)являются вершинами ромба. Найдите острый угол ромба.

3 блок темы:

По этому блоку детям, вместо самостоятельной работы, в качестве проверки знаний, можно предложить следующую работу:

1. На чистой страничке нарисовать прямоугольную систему координат в пространтве

2. Отметить произвольно 5 точек(ABCDE) и построить ответы на вопросы:

1. Нарисуйте фигуру, симметричную фигуреAED, относительно точки В.
2. Используя параллельный перенос, покажите, какая получится фигура, при переносе фигуры ABE на вектор DE.

*Аналогичные задания можно дать по всем видам симметрий. Из-за различного выбора положений точек, все работы детей будут различными и не нужно давать разные варианты.

Итоговая контрольная работа по теме:

1.Какой угол образуют единичные векторы а и в, если известно, что векторы а+2в и 5а-4в взаимно перпендикулярны?(1 балл)

2.В кубе ABCDA`B`C`D` длина ребра  равна 1. М-центр грани  DD`C`C. Используя метод координат, найдите:

1. угол между прямыми АМ и B`D,
2. расстояние между серединами отрезков АМ и B`D.(3балла)

3.Даны две точки : А, лежащая на оси ординат, и В(1,0,1). Прямая АВ составляет с плоскостью OXZ угол 30о. Найдите координаты точки А.(3 балла)

4*.Найдите координаты вектора а, коллинеарного вектору в{6,8,-7,5} и образующего тупой угол с координатным вектором j, если |а|=50.(5 баллов)

Система оценивания:

1. После каждого урока за активную работу, за самый интересный вопрос, за нестандартный способ решения задачи, на уроке следует выставлять баллы (от 1 до 3).
2. За участие в итоговой конференции по каждому блоку (аналог был представлен выше) можно награждать детей от 1 до 5баллов.
3. Самостоятельные и контрольные работы оцениваются от1 до 7 баллов.
4. Зачёт по этому разделу ставится:

«3» если ученик набирает от 65% до75% от общего числа баллов.

«4» если ученик набирает от 75%до85% от общего числа баллов.

«5» если ученик набирает более 85%.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11,учебник для общ.учр.,М-2005.
2. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика,М.-Педагогика ,1989.
3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы.-СПб .: «ЧеРо-на-Неве»,2003.
4. Шарыгин И.Ф. Математика.2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы.-М.:Дрофа,1999.-304.
5. Куцланин Е.Д. Геометрия 10-11 – М.:Рольф, Айрис-пресс,1997.-416.
6. Александров А.Д. Стереометрия-М.:МИРОС,ЧеРо,1997.-352.
7. А.Л.Вернер,Геометрия.Ч1.Учебное пособие.-СПб.: «Специальная литература»,1997.-352.
8. Л.С.Атанасян, Изучение геометрии в 7,8,9 классах-М.:Просвещение,2003.