Использование психолго - педагогических теорий при разработке методики обучения теме "Соотношения между сторонами и углами треугольника" в 7 классе.
проект по геометрии (7 класс) на тему

ГОУ ДПО МО

Педагогическая академия последипломного образования

кафедра естественно-математических дисциплин

ПРОЕКТ

Тема: Использование психолого-педагогических теорий при разработке

методики обучения теме «Соотношения между сторонами и углами

треугольника»

учащихся  7  класса общеобразовательной школы

                                                 Выполнил слушатель учебного курса

                                                 «Психолого-педагогические основы

                                                  обучения математике», учитель математики                  

                                                 МОУ Яковлевская СОШ  д.Яковлево

                                                 Ленинского района Московской области

                                                 Мадьярова З.И. (руководитель курса

                                                 профессор    Л.И. Боженкова)                                                

Москва 2011

Содержание

ВВЕДЕНИЕ        3

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»        5

§ 1. Познавательные психические процессы        

1.1. Психические явления        

1.2. Интеллектуальные операции (их связь с познавательными УУД при обучении математике)        9

§ 2. Учебная деятельность и её формирование        12

2.1. Понятие, структура и продукт учебной деятельности        

2.2. Теория поэтапного формирования умственных действий        14

2.3.Проблемное обучение и самостоятельная исследовательская  работа        16

§ 3. Интеллектуальное воспитание ученика при обучении математике (переработка учебной информации, саморегуляция)        21

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»        26

§ 4. Логико-математический анализ темы        

4.1. Понятия        

4.2. Теоремы        28

4.3. Задачи        31

§ 5. Цели обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»        36

5.1. Диагностируемые цели обучения теме        

5.2. Логическая структура и содержание темы        42

5.3. Средства обучения теме (в том числе ИТ)        43

§ 6. Карта изучения темы и её использование        44

§ 7. Примеры реализации целей обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»        46

7.1. Формирование понятия        

7.2. Обучение теореме (свойству, предписанию на основе теории П.Я. Гальперина)        47

7.3. Обучение решению задач по теме        50

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        52

Список литературы        54

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Ценности личности формируются в семье, неформальных сообществах, трудовых, армейских и других коллективах, в сфере массовой информации и т. д. Но наиболее системно, последовательно и глубоко духовно-нравственное развитие и воспитание личности  происходит в сфере  общего  образования, где развитие и воспитание обеспечено всем укладом школьной жизни. Духовно- нравственное развитие и воспитание  обучающихся является первостепенной задачей  современной образовательной системы и представляет собой важный компонент социального заказа для образования. Базовые национальные ценности лежат в основе целостного пространства духовно-нравственного развития и воспитания школьников, т. е. уклада школьной жизни, определяющего  урочную, внеурочную и внешкольную деятельность обучающихся.  [3]

Приоритетным направлением новых образовательных стандартов является реализация развивающего потенциала общего среднего образования. Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Все это достигается путем сознательного, активного присвоения обучающимся социального опыта.

В современной школе в связи с появлением, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии. Изучение треугольников и соотношений между сторонами и углами в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является очень актуальной. Между тем при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» возникают определенные трудности: при применении определения, свойства внешнего угла треугольника к решению практических задач, к доказательству теорем; при решении задач на построение.

Соответственно возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы с теоретическим и задачным материалом по данной теме.

Цель проекта. Применение психолого-педагогических теорий при разработке методики обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» учащихся 7 класса общеобразовательной школы.

Задачи исследования.

1. Выявить психолого-педагогические основы обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

2. Выполнить отбор средств обучения теме

3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.

4. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их при обучении учащихся.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по геометрии; беседы с учителями, тестирование учащихся.

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

§ 1. Познавательные психические процессы

1.1. Психические явления. Познавательные  процессы присущи каждому человеку. Ощущения, восприятие, внимание, воображение, память, мышление, речь составляют познавательные процессы. Они являются важнейшими компонентами человеческой деятельности. Для того чтобы удовлетворять свои потребности человек должен каким-то образом воспринимать мир. Психические процессы не просто участвуют в деятельности, они в ней развиваются и сами представляют собой особые виды деятельности.

Психические процессы являются базовой основой человеческой психики. Три разновидности человеческих процессов – познавательные, эмоциональные и волевые – образуют в своей совокупности психическую деятельность человека. Психические процессы, с помощью которых формируются образы окружающей среды, а также образы самого организма и его внутренней среды, называются познавательными психическими процессами. Познавательные процессы – восприятие, представление, воображение, внимание, память, речь – формируют информационную базу, ориентировочную основу психики. С помощью познавательных процессов человек получает и осмысливает информацию, отображает объективный мир, преобразуя его в субъективный образ. Таким образом, познавательные процессы – это различные по сложности и адекватности уровни отражения реальности, которые образуют систему.

Познавательная психическая деятельность начинается с ощущений. Согласно теории отражения, ощущение – это первый и неприметный источник всех наших знаний о мире.

Психические явления - это ответы мозга на внешние (окружающая среда) и внутренние (состояние организма как физиологической системы) воздействия.

Иными словами психические явления – это постоянные регуляторы деятельности, возникающей в ответ на раздражения, которые действуют сейчас (ощущение и восприятие) и были когда-то в прошлом опыте (память), обобщающие эти воздействия или предвидящие результаты, к которым они приведут (мышление, воображение).

Психические процессы – процессы, происходящие в голове человека и отражающиеся в динамически изменяющихся психических явлениях.

Ощущения считаются самыми простыми из всех психических явлений. Они представляют собой осознаваемый, субъективно представленный в голове человека или неосознаваемый, но  действующий на его поведение продукт переработки центральной нервной системой значимых раздражителей, возникающих во внутренней или внешней среде. Жизненная роль ощущений состоит в том, чтобы своевременно и быстро доводить до центральной нервной системы как главного органа управления деятельностью сведения о состоянии внешней и внутренней среды, наличии в ней биологически значимых факторов.

Наши ощущения тесно связаны и взаимодействуют друг с другом. На основе этого взаимодействия возникает восприятие, процесс более сложный. Восприятие – познавательный психический процесс, состоявший в целостном отражении предметов, ситуаций и событий, возникающий при непосредственном воздействии физических раздражителей на рецепторные поверхности органов чувств. Результатом восприятия как процесса является образ, то есть целостная, устойчивая система ощущений, связываемых с определенным предметом или явлением. 

Если в результате ощущения человек получает знания об отдельных свойствах, качествах предметов, то восприятие дает целостный образ предмета или явления.

Воображение – особая форма человеческой психики, стоящая отдельно от остальных психических процессов и вместе с тем занимающая промежуточное положение между восприятием, мышлением и памятью. От восприятия воображение отличается тем, что его образы не всегда соответствуют реальности, в них есть элементы фантазии, вымысла. Воображение может быть четырех основных видов: активное, пассивное продуктивное и репродуктивное. Активное воображение характеризуется тем, что пользуясь им, человек по собственному желанию, усилием воли вызывает у себя соответствующие образы .

В жизни человека воображение выполняет ряд специфических функций. Первая из них состоит в том, чтобы представлять действительность в образах и иметь возможность пользоваться ими, решая задачи. Эта функция воображения связана с мышлением и органически в него включена. Вторая функция воображения состоит в регулировании эмоциональных состояний. Данная функция особенно подчеркивается и разрабатывается в психоанализе. Третья функция воображения связана с его участием в произвольной регуляции познавательных процессов и состояний человека, в частности восприятия, внимания, памяти, речи, эмоций. Четвертая функция – формирует внутренний план действий, способность выполнять их в уме, манипулируя образами. Пятая функция – это планирование и программирование деятельности, составление таких программ, оценка их правильности, процесса реализации. С помощью воображения мы можем управлять многими психофизиологическими состояниями организма, настраивать его на представляющую деятельность.

Венцом эволюционного и исторического развития познавательных процессов человека является его способность мыслить. С помощью мышления человек познает окружающий мир во всем многообразии, свойствах и отношениях. Преимущества, которые дает человеку мышление, заключается также в том, что с помощью него человек может проиграть в уме различные варианты возможных и невозможных событий, которые в действительности нигде и никогда не происходили, предвосхитить наступление наиболее вероятных событий. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственного данного, расширяет границы познания. Мышление в отличие от других процессов совершается в соответствии с определенной логикой, следовательно, в структуре мышления можно выделить следующие логические операции: сравнение, анализ, синтез, абстракция и обобщение. Достигнутый человеком уровень умственного развития зависит от его интеллектуальных способностей. Интеллект (или общая умственная способность) - не сумма знаний и умственных операций, а то, что способствует их успешному усвоению. Если интеллект - это условие усвоения знаний и умений, то умственное развитие характеризует в первую очередь содержание, способы и формы мышления.[4]

1.2. Интеллектуальные операции. Один из наиболее известных психологов современности, швейцарский ученый Ж.Пиаже предложил теорию развития интеллекта в детстве. В теоретическом плане он придерживался мысли о практическом, деятельностном происхождении основных интеллектуальных операций. В развитии операционального интеллекта у детей Ж.Пиаже выделил следующие четыре стадии:

 1. Стадия сенсомоторного интеллекта (от 0 до 2 лет).

 2. Стадия операционального мышления (от 2 до 7 лет).

 3. Стадия конкретных операций с предметами ( от 7 до 11—12 лет).

 4. Стадия формальных операций ( от 11—12 до 15 лет).

Данная стадия характеризуется способностью ребенка выполнять операции в уме, пользуясь логическими рассуждениями и понятиями. Внутренние умственные операции превращаются на этой стадии в структурно организованное целое.

В нашей стране наиболее широкое практическое применение в обучении мыслительным действиям получила теория формирования и развития интеллектуальных операций, разработанная П.Я.Гальпериным. В основу данной теории было положено представление о генетической зависимости между внутренними интеллектуальными операциями и внешними практическими действиями.

П.Я.Гальпериным была разработана теория формирования мышления, получившая название концепции планомерного формирования умственных действий. Гальперин выделил этапы интериоризации внешних действий, определил условия, обеспечивающие их наиболее полный и эффективный перевод во внутренние действия с заранее заданными свойствами.
Процесс переноса внешнего действия вовнутрь, по П.Я.Гальперину, совершается поэтапно, проходя строго определенные стадии. На каждом этапе происходит преобразование заданного действия по ряду параметров. В этой теории утверждается, что полноценное действие, т.е. действие высшего интеллектуального уровня, не может сложиться без опоры на предшествующие способы выполнения того же самого действия. Процесс формирования умственных действий, по П.Я.Гальперину, представляется следующим образом:

1. Ознакомление с составом будущего действия в практическом плане, а также с требованиями (образцами), которым оно в конечном счете должно будет соответствовать. Это ознакомление есть ориентировочная основа будущего действия.

 2. Выполнение заданного действия во внешней форме в практическом плане с реальными предметами или их заменителями. Освоение этого внешнего действия идет по всем основным параметрам с определенным типом ориентировки в каждом.

3. Выполнение действия без непосредственной опоры на внешние предметы или их заменители. Перенесение действия из внешнего плана в план громкой речи. Перенесение действия в речевой план, — считал П.Я.Гальперин, — означает не только выражение действия в речи, но прежде всего речевое выполнение предметного действия

4. Перенесение громкоречевого действия во внутренний план. Свободное проговаривание действия целиком «про себя».

5. Выполнение действия в плане внутренней речи с соответствующими его преобразованиями и сокращениями, с уходом действия, его процесса и деталей выполнения из сферы сознательного контроля и переходом на уровень интеллектуальных умений и навыков.

В соответствии с ФГОС в программе представлено четыре вида УУД: личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные. 

Общепознавательные  универсальные учебные действия обеспечивают способность к познанию окружающего мира: готовность осуществлять направленный поиск, обработку и использование информации. [5]

К общеучебным УУД относятся:  самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; информационный поиск; знаково-символические действия; структурирование учебной информации и знаний; произвольное и осознанное построение устного и письменного речевого высказывания; смысловое чтение текстов; извлечение информации в соответствии с целью чтения; рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий. [1]

Учебный предмет «Математика» имеет большие потенциальные возможности для формирования всех видов УУД: личностных, познавательных, коммуникативных и регулятивных. Реализация этих возможностей на этапе основного математического образования зависит от способов организации учебной деятельности школьников: словесно-логическое мышление, произвольная смысловая память, произвольное внимание, планирование и умение действовать во внутреннем плане, знаково-символическое мышление, с опорой на наглядно – образное и предметно - действенное мышление.

Целью действующего ребенка является узнавание, открытие, освоение, поэтому он выполняет целый комплекс  познавательных УУД. Основным средством формирования познавательных УУД в курсе математики являются вариативные по формулировке учебные задания (объясни, проверь, оцени, выбери, сравни, найди закономерность, верно ли утверждение, догадайся, наблюдай, сделай вывод и т.д.), которые нацеливают учащихся на выполнение различных видов деятельности, формируя тем самым умение действовать в соответствии с поставленной целью.

Учебные задания побуждают учащихся анализировать объекты с целью выделения их существенных и несущественных признаков; выявлять их сходство и различие; проводить сравнение и классификацию по заданным или самостоятельно выделенным признакам (основаниям); устанавливать причинно следственные связи; строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его структуре, свойствах; обобщать, т.е. осуществлять генерализацию для целого ряда единичных объектов на основе выделения сущностной связи.

Вариативные учебные задания, представленные в каждой теме учебника целенаправленно формируют у школьников  весь комплекс УУД, который следует рассматривать как целостную систему, так как происхождение и развитие каждого действия определяется его отношением с другими видами учебных действий, что и составляет сущность понятия «умение учиться».

Не менее важным условием формирования УУД является логика построения содержания курса математики. Данный курс построен по тематическому принципу. Каждая следующая тема органически связана с предшествующими, что позволяет осуществлять повторение ранее изученных понятий и способов действия в контексте нового содержания. Это способствует формированию у учащихся представлений о взаимосвязи изучаемых вопросов, помогает им осознать какими знаниями и видами деятельности (универсальными и предметными) они уже овладели, а какими пока ещё нет, что оказывает положительное влияние на познавательную мотивацию учащихся и целенаправленно готовит их к принятию и осознанию новой учебной задачи, которую сначала ставит учитель, а в последствии и сами дети. Такая логика построения содержания курса создаёт условия для совершенствования УУД на различных этапах усвоения предметного содержания и способствует развитию у учащихся способности самостоятельно применять УУД для решения практических задач, интегрирующих знания из различных предметных областей. [5]

§ 2. Учебная деятельность и её формирование

2.1. Понятие, структура и продукт учебной деятельности.

   Учебная деятельность –  проявляемая обучаемыми  мотивированная активность при достижении целей учения.

Средства учебной деятельности – это интеллектуальные действия и мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение, классификация), а также знаковые языковые средства, в форме которых усваивается знание.

Продукт учебной деятельности – это актуальное структурированное знание, которое лежит в основе умения решать формируется как личность. 

Согласно Эльконину Д. Б., учебная деятельность – это деятельность, содержанием которой является овладение обобщенными способами действий в сфере научных понятий. Учебная деятельность – это такая деятельность, которая должна побуждаться адекватными мотивами. Это могут быть мотивы приобретения обобщенных способов действий, другими словами, мотивы собственного роста, совершенствования.

Учебная деятельность может рассматриваться как специфический вид деятельности. Она направлена на самого обучающегося как ее субъекта – совершенствование, развитие, формирование его как личности благодаря осознанному, целенаправленному присвоению ими социокультурного опыта в различных видах и формах общественно полезной, познавательной, теоретической и практической деятельности. В учебной деятельности выделяется ее предмет, средства, способы, продукт, результат действия, структура деятельности. Задачи различных областей наук и практики, требующие его применения, а также внутренние новообразования в психике и поведении в ценностном, смысловом и мотивационном планах. Продукты учебной деятельности в виде основной органичной части входят в индивидуальный опыт обучающегося. Главным продуктом учебной деятельности является формирование у обучающегося теоретического сознания и мышления. Именно от сформированности  теоретического мышления, сменяющего эмпирическое мышление, зависит характер знаний, приобретаемых в ходе дальнейшего обучения

Структура  учебной деятельности (по Д. Б. Эльконину):

• Учебная задача – то, что должен усвоить ученик, подлежащий усвоению способ действия. Основным компонентом структуры учебной деятельности является учебная задача. Она предлагается обучающемуся как определенное учебное задание (формулировка которого чрезвычайно существенна для его решения и результата) в определенной учебной ситуации, совокупностью которых представлен сам учебный процесс в целом.
• Учебные действия – то, что ученик должен делать, чтобы сформировать образец усваимого действия и воспроизводить этот образец;
• Действия контроля – сопоставление воспроизведенного действия с образцом;
• Действие оценки – определение того, насколько ученик достиг результата, степени изменений, которые произошли в самом ребенке.

Первый обязательный компонент учебной деятельности, мотивация, входит в структуру деятельности и может быть внешней или внутренней по отношению к ней. Мотивация всегда является внутренней характеристикой личности как субъекта этой деятельности. Эффективность учебного процесса зависит от мотивации учащихся.

Целью учебной деятельности является приобретение знаний, эта деятельность не позволяет достичь никакой другой цели. Если ученик не имеет потребности в знаниях, то достижение этой цели для него становится бессмысленным, если не удовлетворяет какой-либо другой потребности.

По мнению П. Я. Гальперина, развивающий эффект обучения при этом заключается в том, что учебная деятельность формирует новый способ ориентировки обучающегося, новые формы мышления. Деятельность из внешней, развернутой и совместной превращается во внутреннюю, свернутую, индивидуальную. Процесс  поэтапного перехода "материальной" (внешней) деятельности в умственный внутренний план – это главное в механизме усвоения знаний. Механизмы усвоения и развития – главные моменты в деятельностной теории учения.[4]

2.2. Теория поэтапного формирования умственных действий

Развитие творческих способностей школьников и интеллектуальных умений невозможно без проблемного обучения. Творческие способности реализуются через мыслительную деятельность. Психологической основой концепции проблемного обучения является теория мышления, как продуктивного процесса, выдвинутая С.Л.Рубинштейном. Мышление занимает ведущую роль в интеллектуальном развитии человека. Значительный вклад в раскрытие проблемы интеллектуального развития, проблемного и развивающего обучения внесли Н.А.Менчинская, П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина, Т.В.Кудрявцев, Ю.К.Бабанский, И.Я.Лернер, М.И.Махмутов, А.М.Матюшкин, И.С. Якиманская и др.

Согласно теории П.Я. Гальперина, поэтапное формирование умственных действий позволяет строить усвоение этих действий планомерно, целенаправленно, в желаемом качестве.

В процессе отработки действия на последующих этапах оно обобщается, что достигается, во-первых, тем, что предусматривается построение модели этого действия на третьем этапе и работа с этой моделью (формирование действия в материализованной форме), а во-вторых, путем варьирования предъявляемых учащимся задач, решаемых с помощью осваиваемого действия. П. Я. Гальперин указывает, что учащимся должны быть предложены задачи и задания с полным набором необходимых условий, с недостатком некоторых из них, с наличием избыточных, лишних условий и, наконец, с недостатком одних условий и наличием ненужных условий.

При поэтапном формировании умственных действий не возникает проблемы разрыва знаний от умений и навыков, ибо знания формируются без предварительного заучивания в процессе применения к решению задач формируемого действия. Единицей содержания обучения выступают не знания, умения и навыки, а умственные и практические действия, которые объединяют в себе знания об изучаемом объекте и действии над ним и умения и навыки, составляющие способ действия на основе знаний.

Задача учителя сделать из ученика активного соучастника учебного процесса. Ученик может усвоить информацию только в собственной деятельности при заинтересованности предметом. Поэтому учителю нужно забыть о роли информатора, он должен исполнять роль организатора познавательной деятельности ученика.

Самостоятельное открытие знания учеником доставляет ему огромное удовольствие, возвышает его в собственных глазах. Ученик самоутверждается как личность. Так возникает интерес не просто к предмету, а познавательный интерес.

   2.3. Проблемное обучение и самостоятельная исследовательская работа.

Развитию познавательных и творческих интересов у учащихся, исследовательских навыков учащихся способствуют различные виды технологий: компьютерные технологии, технология проблемного и исследовательского обучения, технология игрового обучения, использование тестов и т.д.

Организация научно-исследовательской деятельности учащихся создает положительные результаты: у них формируется научное мышление, а не простое накопление знаний. Исследовательская деятельность дает ученику возможность развить свой интеллект в самостоятельной творческой деятельности, с учетом индивидуальных особенностей и склонностей.

Наиболее удачным приемом подачи материала является проблемное обучение

Проблемное обучение – это такая организация педагогического процесса, когда ученик систематически включается учителем в поиск решения новых для него проблем. Структура процесса проблемного обучения представляет собой систему связанных между собой и усложняющихся проблемных ситуаций.

В психолого-педагогической литературе проблемное обучение рассматривают как форму активного обучения, которое базируется на психологических закономерностях. Как обучение, в котором учащиеся систематически включаются в процесс решения проблем и проблемных задач, построенных на содержании программного материала. Как тип развивающегося обучения, в котором сочетаются систематическая самостоятельная поисковая деятельность учащихся с усвоением ими готовых знаний.

Во всех определениях подчёркиваются главные признаки, которые лежат в основе моделирования уроков в режиме технологии проблемного обучения. В основе проблемного обучения лежит  идея  С.Л. Рубинштейна о способе развития сознания человека через разрешение познавательных проблем, содержащих в себе противоречия. Проблемное обучение  раскрывается через создание проблемных ситуаций, обучение учащихся в процессе решения проблем, сочетание поисковой деятельности и усвоения знаний в готовом виде.

Проблемная ситуация  →   проблема   →   разрешение проблемы.

Проблемная ситуация  - психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения учебного задания, когда ему не хватает знаний, и стимулирующая к поиску новых знаний и способов деятельности.

 Проблемная ситуация включает три компонента: а) необходимость выполнения такого действия, при котором возникает познавательная потребность в новом знании или способе действия; б) неизвестное, которое должно быть раскрыто в возникшей ситуации; в) возможности учащихся при выполнении поставленного задания.

Проблемное обучение является одним из методов развития учащихся. Постановкой проблем, проблемных вопросов или проблемных ситуаций учитель создает определенные организационные условия для активизации мыслительной деятельности учащихся, стимулируя поиск недостающих знаний для разрешения познавательного противоречия.

Существуют различные формы решения проблемных ситуаций: дискуссия; научный спор; проблемная лекция; проблемные задачи и задания; задачи исследовательского характера; исторические документы, тексты, материалы с проблемной направленностью.

Самостоятельная деятельность учащихся исследовательского характера является высшей формой самостоятельной деятельности и возможна лишь тогда, когда они обладают достаточными знаниями, необходимыми для построения научных предположений, а также умением выдвигать гипотезы.

         Способы создания проблемной ситуации:

1. Демонстрация или сообщение некоторых фактов, которые учащимся неизвестны и требуют для объяснения дополнительной информации.

2. Использование противоречия между имеющимися знаниями и изучаемыми фактами, когда на основании известных знаний учащиеся высказывают неправильные суждения

3. Объяснение фактов на основании известной теории.

4. Построение гипотезы на основе известной теории, а затем ее проверку.

5. Нахождение рационального пути решения, когда заданы условия и дается конечная цель.

6. Принцип историзма также создает условия для проблемного обучения.

Наиболее удачно найденной проблемной ситуацией следует считать такую, при которой проблему формулируют сами учащиеся.

Проблема (учебная) – чёткое словесное выражение проблемной ситуации (вопрос, задание).

Моделирование учебной проблемы:

1) разработка конкретной задачи обучения и воспитания учащихся;

2)  анализ содержания учебного материала;

3) определение уровня операциональных знаний, умений, психологической готовности;

4) установление соответствия между уровнем сложности проблемы и уровнем подготовленности учащихся

Метод проблемного обучения – творческий, оригинальный подход к обучению, требующий активной, поисковой, исследовательской работы школьников. Учащиеся в ходе урока получают не готовые объяснения нового материала, а работают с ним самостоятельно.

Цель  применения технологии проблемного обучения: научить учащихся идти путем самостоятельных находок и открытий.

Для достижения этой цели надо решать следующие задачи:

- создать  условия для приобретения учащимися средств познания и исследования.

- повышать познавательную активность в процессе овладения знаниями.

- применять дифференцированный и интегрированный подход в учебном и воспитательном процессе.

Дифференциация - это ориентация образовательных учреждений на развитие интересов, склонностей, способностей и педагогических возможностей обучающихся

Индивидуализация - это учет и развитие индивидуальных особенностей учащихся во всех формах взаимодействия с ними в процессе обучения и воспитания

Дифференцированный подход к обучению это - процесс обучения, учитывающий особенности разных групп учащихся, рассчитанный на посильность обучения в каждой группе, т.е. дифференциация – средство реализации индивидуализации.

Дифференциация может осуществляться по разным признакам: на основе успеваемости учащихся – уровневая дифференциация темпа обучения, работоспособности учащихся,  способностей и т.д.

Организация  дифференцированного обучения возможна через сочетание групповой и индивидуальной работы.[6]

Критерии организации дифференцированного обучения:

- уровень сформированности предметных видов деятельности;

- уровень умственной активности школьника  выявляется через способность выполнить задание репродуктивного, конструктивного или исследовательского, творческого характера;

- уровень познавательной самостоятельности как способность выполнить задание самостоятельно, по плану или с помощью учителя;

- уровень развития познавательного интереса;

- уровень сформированности системных обобщенных знаний

Схема организации дифференцированного подхода в обучении.

Можно использовать  следующие методы и средства при дифференциации по уровням усвоения материала: игровой метод; создание проблемно-поисковых ситуаций; метод проектов; моделирование; алгоритмический метод; групповую работу; систему подсказок учителя, направленных на активизацию мыслительной деятельности учащихся; исследовательские методы; компьютер (презентация).

Обучение должно быть проблемным, так как оно формирует творческую личность, способную логически мыслить, находить решение в различных проблемных ситуациях, способную к высокому самоанализу, саморазвитию, самокоррекции.

§ 3. Интеллектуальное воспитание ученика при обучении математике 

Математическое образование — это испытанное столетиями средство интеллектуального развития в условиях массового обучения. Такое развитие обеспечивается принятым в качественном математическом образовании систематическим, дедуктивным изложением теории в сочетании с решением хорошо подобранных задач. Успешное изучение математики облегчает и улучшает изучение других учебных дисциплин.

Математика - наиболее точная из наук. Поэтому учебный предмет «математика» обладает исключительным воспитательным потенциалом: он воспитывает интеллектуальную корректность, критичность мышления, способность различать обоснованные и необоснованные суждения, приучает к продолжительной умственной деятельности.

Под «интеллектуальным воспитанием учащихся при обучении математике» понимается управление обогащением умственного опыта учащихся содействующее развитию базовых интеллектуальных способностей, становлению математической грамотности и субъектных  качеств ученика, необходимых  для полноценного функционирования в информационном обществе.   К базовым интеллектуальным способностям относятся: способность к индуктивному и дедуктивному рассуждениям, способность построения модели, способность понимания обучаемости.

 Развитие интеллектуальных способностей предполагает наличие некоторого исходного уровня умственного развития, умственного опыта. Умственный опыт  по С.Л. Рубинштейну определяется совокупностью знаний и интеллектуальных навыков личности, приобретенных в ходе социализации с раннего детства до конца жизни, является мерой овладения культурой общества. Важнейший результат умственного воспитания – готовность и способность к самовоспитанию в плане совершенствования собственных интеллектуальных возможностей.

Умственный опыт включает:

1. переработку информации (хранение, упорядочивание, передачу имеющейся и поступающей) в процессе познания – обеспечивается познавательными и регулятивными УУД
2. саморегуляция, позволяющая осуществлять самостоятельное сознательное управление собственной интеллектуальной деятельностью при освоении геометрии – обеспечивается регулятивными и общеучебными познавательными УУД
3. опыт эмоционально-ценностного отношения к освоению геометрии, позволяющий субъекту учитывать собственные познавательные склонности, интересы, мотивы, коммуникации в процессе освоения геометрии – обеспечивается коммуникативными и регулятивными УУД

В результате обогащения всех форм умственного опыта осуществляется личностное становление учащихся.

Группа личностных УУД направлена на установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов; установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

Так как основное содержание школьного курса геометрии представляют понятия, теоремы и задачи, то  для его усвоения учащимся требуются умения перерабатывать информацию, связанную с этими единицами содержания. Для этого нудно формировать следующие УУД: информационный поиск, знаково-символические действия; структурирование учебной информации и знаний; произвольное и осознанное построение устного и письменного речевого высказывания; извлечение информации в соответствии с целью чтения; рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность; выбор наиболее эффективных способ решения задач в зависимости от условий.

Для осуществления управления собственной умственной деятельностью (целеполагание, планирование, реализация плана, самоконтроль, коррекция) необходимы общие и специфические приемы, с помощью которых осуществляется это управление, формируются умения: работать с понятиями и теоремами, использовать математические методы для решения задач различных типов. Для этого необходимо формировать следующие УУД: анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков; синтез, как составление целого из частей; выбор оснований и критериев для сравнения, классификации; подведение под понятие, выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи  рассуждения, выдвижение гипотез, их обоснование; доказательство.

Так как интеллектуальные предпочтения связаны с познавательными склонностями, то в процессе освоения математики необходимо дать ученикам возможность выбора: способов переработки учебной информации, уровня усвоения теорем, общих методов решения задач определенного типа, определенного вида учебных задач.

Для интеллектуального воспитания учащихся в процессе обучения геометрии используется следующая группа задач:

1. геометрические задачи определенных классов, общий метод решения которых выражается предписанием;
2. учебная задача: составление схем определений понятий;
3. учебная задача: составление задач по готовому чертежу;
4. учебная задача: составление задач сходных с решенной задачей;
5. учебная задача: составление обратных задач;
6. учебная задача: составление набора упражнений для подведения объекта под понятие;
7. учебная задача: составление классификационных схем взаимосвязи понятий;
8. учебная задача: составление информационных схем – моделей элементов содержания геометрии;
9. учебная задача: доопределение задач с недостающими данными;
10. учебная задача: составление поисковых областей понятий, связанных отношением (равенство, параллельность, перпендикулярность);
11. учебная задача: составление предписаний для решения задач определенного класса (типа);

Разработаны основные направления интеллектуального воспитания учащихся в процессе обучения геометрии. Эти направления конкретизируются и дифференцируются в соответствии с целями интеллектуального воспитания на всех этапах учебно-познавательной деятельности учащихся на уроках различных типов.

Основные направления интеллектуального воспитания личности ученика в процессе геометрии

Необходимым условием обогащения умственного опыта является готовность учащихся к саморегуляции УПД при обучении геометрии. Условиями готовности к саморегуляции являются:  1) ознакомление учащихся со структурой процесса саморегуляции в процессе обучения геометрии, 2) осознание учеником содержания этой структуры, ее значения для организации собственной интеллектуальной деятельности при освоении геометрии, 3) обеспечение ученика средствами, необходимыми для саморегуляции процесса переработки учебной информации при усвоении геометрии – сформированные УУД. Компонентами саморегуляции УПД учащихся при обучении геометрии – это:

А - постановка учебной цели, выбор уровня достижения цели (целеполагание);

Б - выявление объективной учебной информации, необходимой для решения учебной задачи;

В – соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями, принятие решения об использовании помощи;

Г – определение последовательности исполнения учебных действий в процессе выполнения учебных заданий, составление плана деятельности и его реализация;

Д – контроль выполнения УПД;

Е – оценивание результатов выполненной УПД;

Ж – самодиагностика и коррекция собственных учебных действий, направленных на достижение цели.

Процесс освоения геометрии должен быть неотделим от интеллектуального и личностного развития учащихся. Интеллектуальное воспитание осуществляется с одной стороны как процесс последовательного обогащения умственного опыта учеников, характеризующийся постепенным накоплением составляющих регуляторного процесса и использование средств УУД, обеспечивающих осознанную переработку учебной  информации школьного курса геометрии. С другой стороны компоненты структуры регуляторного процесса способствуют обогащению умственного опыта учащихся при усвоении геометрии. [2]

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме

«Соотношения между сторонами и углами треугольника»

§ 4. Логико-математический анализ темы.

4.1. О понятиях. Основным способом помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. Каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы.  Формирование понятий – сложный психологический процесс. Он осуществляется  и протекает по следующей схеме:

ощущения -> восприятие -> представление -> понятие

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

• мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется  целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия);
• выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);
• формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Выделяются два пути формирования понятий (рис. 3).

Рис.3.Пути формирования понятий

Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией часто понимают последовательное, многоступенчатое разбиение множества на классы с помощью некоторого свойства.

Классификация понятий  -  выяснение объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды.  Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение некоторых условий:

1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми, т.е. их пересечение должно быть пустым множеством.

3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, должна равняться  объему исходного понятия.

4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Так, содержанием понятия внешнего угла треугольника  является совокупность условий «быть углом», «быть смежным с внутренним углом треугольника».

Например, для понятия “остроугольный треугольник” содержание будет представлено следующим свойством: все углы – острые.

Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

4.2. О теоремах. При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. 

Существует два вида формулирования теоремы: условная, категорическая. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы)

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что P истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно в целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

1. Тезис (главная цель доказательства - установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса - суждение.

2. Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

3. Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:

• постановка вопроса (создание проблемной ситуации).
• обращение к опыту учащихся.
• высказывание предположения.
• поиск возможных путей решения.
• доказательство найденного факта.
• проведение доказательства в максимально простой форме.
• установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения есть доказательство. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся:

- Прием преобразования условия суждения (синтетический).

- Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

- Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся:

-  Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения).

-  Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

Для того, чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений:

-  умение искать доказательство,
-  умение проводить доказательство,
-  умение оформлять доказательство теоремы.

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, неверно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации.

4.3. О задачах. Обучение математике в средней школе осуществляется и при решении задач. При решении математических задач учащиеся усваивают многие математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств и т. д., т.е. обучаются математике.

Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем). Такая же цель ставится перед решением задач, с помощью которых перед изучением новых теоретических вопросов в памяти и сознании учащихся восстанавливаются те сведения, знание которых необходимо для изучения новых математических фактов.

Дидактической целью учебных математических задач может быть закрепление только что приобретенных теоретических знаний. Это могут быть задачи для усвоения математических понятий и их определений, для формирования умений, для закрепления формулировок, аксиом и теорем, для закрепления методов доказательств и т. д. Такие задачи следуют за изучением теоретических сведений.

Дидактической целью задач и упражнений может быть формирование умений и навыков.

1) Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, методом решения некоторого класса задач,

2) Формирование математических навыков может быть дидактической целью не отдельной задачи, а системы задач и упражнений. Умение оперировать многими приемами, способами и методами решения математических задач должно быть автоматизировано.

Навыки формируются на основе осмысленных знаний и умений путем многократного повторения операций, действий, приемов, алгоритмов, составляющих предмет изучения. Поэтому для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач. В такой системе должна быть правильно установлена последовательность упражнений с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся и принципа "от простого к сложному".

 При решении большинства задач учащиеся применяют ранее полученные знания, умения, навыки. Такова особенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности ее разделов. Контроль за усвоением математических знаний - одна из дидактических целей математических задач и упражнений. Каждая задача практически имеет своим назначением текущий контроль или самоконтроль.

Анализ и синтез находят широкое применение при решении задач в геометрии. Напомним, что анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.

Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач, каждой задачи.

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

2) Анализ и синтез при решении на вычисление. При решении задач на вычисление с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Как известно, решение этих задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование. Название первой части - анализ говорит само за себя: это действительно метод анализа, ведущий от искомых к данным, точнее, к их использованию в построении. При анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим путем. При доказательстве возможно использование как анализа, так и синтеза, но чаще применяется последний. Исследование предполагает преимущественное применение метода анализа.

Рассмотренные анализ и синтез являются самыми общими методами решения задач. Некоторые  общие методы решения задач имеют более ограниченное применение.

Один из них - метод исчерпывающих проб, моделирование, метод сведения. Суть его состоит в том, что. данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый 'результат.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать - это значит свести новую теорему (задачу) в конечном счете к аксиомам.

В практике решения задач различные часто комбинируются.

Одна из основных целей решения задач в школьном курсе математики и состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каждым учеником основных методов (анализ, синтез, метод исчерпывающих проб, моделирование, метод сведения) и приемов решения учебных математических задач.

Советы учителя ученику, предлагаемые на каждом этапе решения задачи.

1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи (1-й этап). Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения.

а) Если задача геометрическая , то полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые

б) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

в) Уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" (полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи).

2) Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы:

а) Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача?

б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Если такая задача не известна, то стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.

При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями).

г) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

д) При составлении плана задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения.

е) Если следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения, тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.

ж) Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая.

3) Реализация плана решения задачи (3-й этап). План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом полезно следовать некоторым советам:

а) Проверяйте каждый свой шаг, иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями".

в) При решении некоторых задач помогает совет: "Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов".

4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап). Получение результата не означает еще, что задача решена правильно. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение:

1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи.

5) От общих советов к частным. Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Потом обращаться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. [9]

Ясно, что систематизирующие рассмотрения не только ценны для повторения теории и решения задач, но и имеют еще и явно выраженный исследовательский характер, содержат элементы творчества. Существенно, наконец, что они являются верным средством установления связей между различными математическими вопросами.

§ 5. Цели обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

5.1. Диагностируемые цели обучения. Целью изучения курса геометрии в VII-XI классах является систематическое изучение  свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии в  старших классах.

Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:

1) в направлении личностного развития:

- логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту

- формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению  мыслительных стереотипов;

- воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;

- формирование качеств мышления, нужных для адаптации в  информационном обществе ;

- развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей

2) в метапредметном направлении:

- формирование представлений о математике как части общечеловеческих представлений о математике культуры, о значимости математики в развитии цивилизации;

- развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, приобретение начального опыта математического моделирования;

- воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;

- формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для человеческой деятельности

3) в предметном направлении:

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, для применения в повседневной жизни;

- создание фундамента для математического развития, формирование механизмов мышления, характерных для математической деятельности [5]

Цель - это то, к чему стремятся, что надо осуществить. На уроке ставятся  обучающая (образовательная), воспитывающая и развивающая цели.

Цели должны быть диагностируемые. Диагностичность целей обозначает, что имеются средства и возможности проверить, достигнута ли цель. Критерии измеримости бывают качественные и количественные.

Формулировка целей должна производиться в форме, допускающей проверку уровня их достижения. Формулирование цели в виде конечного образовательного продукта – наиболее эффективный способ целеполагания (процесс выявления целей и задач субъектов деятельности (учителя и ученика), их предъявления друг другу, согласования и достижения).

Диагностируемые цели обучения математике соотносятся с этапами формирования понятий, изучения теорем, уровнями усвоения учебного материала, со структурой урока.

Все компоненты урока находятся в тесной взаимосвязи. Однако цели — это фокус, вокруг которого организуется весь урок; его контролирующая сила, направляющая всю деятельность преподавателя и учащихся.

Определение целей урока начинается с операции продумывания их по нисходящей линии: цели обучения, цели предмета, цели темы и цели данного урока. При этом цели соотносятся с особенностями класса. На этапе разработки целей урока важную роль играют следующие вопросы: комплексность, многоплановость целей урока; их исходные уровни и позиции; мотивационное значение целей урока и условия, способствующие повышению этого значения; категории целей урока.

Цели урока исходят из задач обучения, воспитания и развития умственных способностей учащихся. Овладение знаниями, умениями и навыками не может считаться единственной целью урока в школе; в целях должны быть также отражены требования развивать познавательные способности учащихся.

Цели, принятые учащимися, побуждают их к учению, преодолению трудностей и не только указывают, чего надо достичь, но и намечают конкретные пути для этого.

Хорошо сформулированные цели урока показывают учащимся важность изучения данного материала, а последовательно усложняемые, но посильные познавательные задачи ведут класс к достижению целей;

Цели урока можно сгруппировать в три основных раздела:

Знания. Эта категория включает факты, понятия (принципы, законы, теории) и связи между ними, которые учащиеся должны усвоить на уроке.

Умения и навыки. Здесь включаются все типы действий учащихся — умственные и физические.

Отношения. Сюда входят подходы, точки зрения, стандарты оценок, мировоззрение учащихся, нормы поведения.

На каждом уроке необходимо реализовывать все три группы целей, причем цели развития учащихся последовательно включаются в каждую из них.

Одно из средств достижения целей обучения – реализация дифференцированного подхода в обучении.

Карта целей при обучении теме « Соотношения между сторонами и углами треугольника»

5.2. Логическая структура и содержание темы. Впервые, в школьном курсе математики, с треугольниками  школьники встречаются в начальной школе. Дальнейшее знакомство с треугольниками происходит в 5 и 6 классах. В учебнике  «Геометрия, 7-9» ( авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и

 С.Б. Кадомцев) тема  «Соотношения между сторонами и углами треугольника» изучается в седьмом  классе. Этой теме в учебнике посвящены первый и второй параграфы главы IV. Материал рассчитан на 9  часов.[8]

В п. 30  рассматривается теорема о сумме углов треугольника, даются определение внешнего угла треугольника  и свойство внешнего угла треугольника, предлагаются задачи на усвоение  теоремы, определения, свойства.
      В п.31 рассматривается следствие из теоремы о сумме углов треугольника, даются определения остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников, катета и гипотенузы прямоугольного треугольника.

В п. 32 – теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия из теоремы (о гипотенузе прямоугольного треугольника; признак равнобедренного треугольника).

В п. 33 – неравенство треугольника (теорема и следствие)

5.3. Средства обучения теме (в том числе ИТ). К средствам обучения можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). Средства: модели треугольников, чертежи; магнитная доска; интерактивная доска,  информационные схемы  определения понятий, классификационная схема видов треугольника; приемы составления схемы поиска доказательства теорем и решения задач, построения чертежа к задаче;[2]  математические задачи как средство подведения под понятие фигуры и конкретизации теоретического факта; математические задачи как цель реализации математической деятельности на школьном уровне. При изучении этой темы целесообразно использовать презентации, которые являются важным средством обучения, так как дает возможность иллюстрировать объяснение учителя, организовывать учебную деятельность учащихся, проверку их знаний, уровня сформированности умений. Смена средств обучения способствует активизации деятельности учащихся, что в свою очередь позволяет улучшить усвоение материала. При изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» можно использовать различные приемы организации учебной деятельности учащихся. Укажем некоторые из них:

1) Сравнение решения задачи с помощью алгоритма и без него. Этот прием дает возможность воспитывать творческий подход, показывать важность анализа условия задачи.

2) Прием составления серии задач с нарастающей сложностью преобразований.

3) Прием поиска ошибки в данном «решении» позволяет воспитывать критичность мышления, более глубоко осознавать теоретический материал.  

4) Могут быть использованы задания с выборочными ответами, а также прием работы с книгой, прием построения алгоритма  решения определенного класса задач.

§ 6. Карта изучения темы и её использование

I. Логическая структура темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

 С                                                                                 

       Ц 1,5                    Ц 2,3                  Ц 1,3,4             Ц 1,3,5                 Ц 3,4                 Ц 1,5                  Ц 2,3                 Ц2,3,5               Ц 2,3,5                    

  II. Актуализация: угол, виды углов, треугольник, равнобедренный треугольник, смежные углы, свойства углов при параллельных прямых и секущей, свойства равнобедренного треугольника.

  III. Теоретическое содержание темы:

П.30 Понятия:  внутренние углы, внешние углы  треугольника. Теоремы: Сумма углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника. П.31. Понятия: Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Катеты и гипотенуза  прямоугольного треугольника. Следствие из теоремы о сумме углов треугольника.  П.32. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Свойство гипотенузы. Признак равнобедренного треугольника. П.33.Теорема о сторонах треугольника. Следствие из теоремы.

Карта темы помогает учащимся организовать повторение материала, необходимого для актуализации знаний;  определить, какие понятия, признаки и свойства фигур он должен знать после изучения данной темы; образец контрольной работы дает возможность подготовиться учащимся к итоговому контролю по теме, индивидуальные задания позволяют расширить кругозор учащихся.

§ 7. Примеры реализации целей обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

7.1. Формирование понятия. Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:  1.  Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид. 2.  Указываются видовые отличия и связь между ними.

Формирование понятия внешний угол треугольника.

Фронтальная работа по готовым чертежам

        c)

На каком из рисунков  (а-с)  вы видите смежные углы?

Какие углы называются смежными?

Какой из углов можно назвать смежным для внутреннего угла треугольника?

     Дать определение внешнего угла треугольника.

    Практическое задание: постройте угол, смежный с одним из углов данного треугольника.

7.2. Обучение теореме (свойству, предписанию на основе теории П.Я. Гальперина). Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений. Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы "Соотношения между сторонами и углами треугольника».

При доказательстве теоремы о сумме углов треугольника используются свойство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей, свойство угла, разделенного  лучами на части.

        Рассмотрим задачу  нахождения суммы всех  углов треугольника.

(  демонстрация измерений (несколько случаев) на экране в программе УМК « Живая математика»).

Вопрос: какую закономерность вы заметили?

Ответ: сумма углов рассмотренных треугольников равна 180 градусам.

Докажем, что сумма углов любо треугольника равна 180 градусам.

Доказательство:

Рассмотрим две параллельные прямые а и в, пересеченные двумя секущими, так, чтобы точка пересечения секущих лежала на одной из параллельных прямых. Образовался треугольник, сумма углов которого равна сумме углов при точке пересечения прямой  а  и секущих. Так как эта сумма равна 180 градусам, то и сумма углов треугольника также равна 180 градусам.

Что и требовалось доказать.

    а

в

Усвоить содержание теорем не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы, как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы.

 Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;

2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;

 3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы:

Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство: (что необходимо рассмотреть для доказательства теоремы?)       Точка D  на стороне АВ отмечена так, что АС = АD

1. Треугольник АСD – равнобедренный
2. АСD – часть АСВ, значит АСВ >АСD
3. АDС >В ( внешний угол угол треугольника меньше любого угла треугольника , не смежного с ним)
4. АDC =АСD ( углы равнобедренного треугольника)

Из 2) - 4) следует, чтоС >В. Что и требовалось доказать.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Правилами, которыми  нужно руководствоваться при поиске последовательности доказательства  не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Некоторые правила полезно помнить:

1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.[9]

7.3. Обучение решению задач по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника».  При  решении задач необходимо научить ребят общим приемам саморегуляции

Наиболее часто при решении задач по геометрии  применяют логические методы познания. «Метод от противного» часто применяется для решения задач на доказательство.

Пример. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Перед решением некоторых задач рекомендуется решить более легкие задачи. Так,  например, перед решением задачи № 250 на нахождение основания равнобедренного треугольника, необходимо решить задачу №249.[7]

По теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» задачи, приведенные в учебнике, можно объединить в две группы:

1. Задачи на вычисления: №№ 223,224,227,228,229,230,234, 235,250, 252, 253.
2. Задачи на доказательство и объяснение: №№225,226,231- 233,236-248,251. [7]

Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими задачами; после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления, найти несколько направлений, в которых удаётся обобщить задачу, и найти затем решение созданных таким образом новых проблем. Опыт показывает, что успешность в реализации воспитывающих функций математических задач во многом определяется пробуждением у учащихся интереса к данной задаче, возникновением у них устойчивой потребности в её решении, наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнего часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин, интерес к учению в целом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Прочное усвоение знаний является главной задачей процесса обучения, это очень сложный процесс. В него входят восприятие учебного материала, его запоминание и осмысливание, а также возможность использования этих знаний в различных условиях.

В теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» закладываются понятия видов треугольников, знание соотношений между сторонами и углами треугольников, и здесь же учащиеся знакомятся с основными видами задач, с методами их решения, оформления записи. В ходе изучения важно добиться, чтобы каждый ученик овладел всеми знаниями и умениями, необходимыми для дальнейшего успешного изучения новых понятий и теорем. 

При актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании учителем новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся значительную роль  имеет применение таких дидактических приёмов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующее интенсивному протеканию процесса понимания. При этом вырабатывается гибкость, подвижность ума, обобщённость знаний.

Использование психолого-педагогических теорий на разных этапах изучения математического материала является эффективным средством активизации учебной деятельности школьников, положительно влияющим на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности.

Таким образом, цель проекта применение  психолого-педагогических теорий при разработке методики обучения теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» учащихся 7 класса общеобразовательной школы выполнена.

Задачи проекта решены.

Список литературы

1. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. – 159 с.
2. Боженкова Л.И. Планиметрия в таблицах, предписаниях, УУД. Учебные материалы. – М., Калуга: КПГУ им. К.Э. Циолковского, 2010. – 48 с. 
3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. - М.: Просвещение, 2009. – 24 с.
4. Е.В. Есина Педагогическая психология Конспект лекций http://fictionbook.ru/author/e_v_esina/pedagogicheskaya 
5. Кезина Л.П., Кондаков А.М. Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования: проект. – М.: Просвещение, 2010. – 102 с
6. Малкова Н.Г. Организация групповой работы на уроках математики. //Сайт «ПЕДСОВЕТ.ORG»

http://pedsovet.org/component/option,com_mtree/task,viewlink/link_id,4501/Itemid,118/

7. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев Геометрия. 7 - 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2009. – 70 - 76 с.
8. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2006. –67с.
9. Фридман Л.М. Психологические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии. -М.: Просвещение, 1983