Дидактический материал для подготовки к ГИА по геометрии
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

Задачи по геометрии (2 часть) для подготовки к ГИА

1. В выпуклом четырехугольнике АВСД длины диагоналей равны 12и 7. Найдите площадь четырехугольника, если длина отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника равны.
2. В выпуклом четырехугольнике АВСД длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали 9 и 6.
3. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 6, отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
4. В прямоугольной трапеции АВСД биссектрисы углов при меньшем основании пересекаются в точке, лежащей на большем основании. Большая боковая сторона образует с основанием угол в 30. Найдите длину большего основания, если меньшая боковая сторона равна 9.
5. Найдите площадь трапеции, боковые стороны которой равны 8 и 6, а основания 14 и 4.
6. Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
7. Основания трапеции равны 20 и 60, боковые стороны 13 и 37. Вычислите высоту трапеции.
8. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
9. Площадь равнобедренной трапеции описанной около окружности, равна 18, а углы при основании равны 30 , Найдите длину боковой стороны.
10. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равна 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
11. Докажите , что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды, равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
12. На продолжении стороны АС треугольника АВС (за точку С) взята точка Р (СР=АС). В каком отношении прямая РК делит сторону ВС (К- середина АВ)?
13. В треугольнике АВС биссектриса угла С, равна 5, образует со сторонами углы в 30  и делит противоположную сторону в отношении 5:2. Найдите сторону ВС.
14. Докажите, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
15. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
16. Периметр равнобедренного треугольника АВС(АВ=ВС) равен 50, а периметр  АВД (ВД- высота) равен 40. Найдите высоту ВД.
17. В окружность вписан прямоугольник, одна из сторон которого стягивает дугу в 120 . найдите стороны прямоугольника, если радиус окружности равен 5.
18. В равнобедренной трапеции средняя линия равна 9, а площадь трапеции равна 54. Найдите основания трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
19. Трапеция с основаниями 6 и 8 вписана в окружность, причем расстояние от центра окружности до большего основания равно3. Найдите высоту трапеции.
20. В параллелограмме АВСД биссектрисы при сторонах АВ и СД пересекаются  точках К и L соответственно, КL= АВ. Известно, что АДСД. Найдите, во сколько раз АД больше СД.
21. Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности больше радиуса окружности, вписанной в этот шести угольник, на 1. Найдите сторону данного шестиугольника.
22. В ромб вписана окружность радиусом 5. Расстояние между точками касания  этой окружности с двумя соседними сторонами равно 6. Найдите сторону ромба.
23. В трапеции основания равны 9 и 15, а боковые стороны 2 и 2, при этом оба угла при большем основании – острые. Продолжения серединных перпендикуляров к боковым сторонам пересекаются в точке Р. Определите расстояние от точки  Р до большего основания.
24. В прямоугольной трапеции АВСД с прямым углами А и В, биссектрисы прямых  углов пересекаются  в точке К, биссектрисы двух других углов– в точке L. Основания трапеции равны 3 и 9, длина КL составляет 2. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что их сумма меньше 9.
25. Основание ВС трапеции АВСД больше основания АД. В трапецию вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке К так, что АК= 3, КВ= . Угол, образованный  прямыми АВ и СД и содержащий центр окружности, равен30. Найдите длину стороны СД.
26. Основание АВ трапеции АВСД больше основания СД. В трапецию вписана окружность, касающаяся стороны АД в точке К так, что АК=4КД. Косинус угла, образованный  прямыми АД и ВС и содержащий центр окружности, равен 0,8. Найдите отношение  ВС : КД.
27.  В трапеции АВСД боковая сторона СД равна 14, а расстояние от середины боковой стороны АВ до прямой СД равно 5. Найдите площадь трапеции.
28. В трапеции АВСД  расстояние от вершины А до прямой, содержащей боковую сторону  СД,  равно 9. Найдите  расстояние от середины боковой стороны АВ до прямой СД, если  АД : ВС= 3 : 4.
29. Биссектриса угла С параллелограмма АВСД пересекает сторону АД в точке М. Докажите, что треугольник СДМ – равнобедренный.
30. Докажите , что биссектриса любого из внешних  углов  при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Самостоятельная работа по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике», 8 класс

Вариант 1

1. В  треугольнике АВС угол C равен 90 , угол А равен 30 , ВС = 2.

Найдите :  АС и АВ.

2. В треугольнике АВС угол C равен 90 ,  СН – высота, АС = 10, АН = 8. Найдите:  сos B, sin A, ВС.
3. В  треугольнике АВС  АС= ВС =10 ,  АВ = 12, СН – высота. Найти sin A.
4. В  треугольнике АВС  АB = ВС ,СН – высота, равная 8, АН = 16  ( угол АВС тупой). Найдите тангенс угла АСВ и площадь треугольника АВС.
5. В  треугольнике АВС  АС= ВС , АВ = 10,  высота АН , ВН = 6. Найти  sinA.
6. Найти площадь ромба, сторона которого равна  , а острый угол равен 30.

         Вариант 2

1. В  треугольнике АВС угол C равен 90 , угол А равен 45 , ВС = 2. Найдите :  АС и площадь треугольника АВС .
2. В треугольнике АВС угол C равен 90 , ВС = 9,  tg A = 0,75. Найдите:  сos B, sin A, AС.
3. В  треугольнике АВС  АС= ВС, АВ = 10, АН = 8, AH – высота. Найти sin A.
4. В  треугольнике АВС  АВ = ВС ,СН – высота,   АB = 10, BH = 6  ( угол АВС тупой).  Найдите  синус  угла ВАС и угол ВАС.
5. В  треугольнике АВС  АС= ВС , АВ =2,  угол С равен 120. Найти АС.
6. Найти площадь ромба, сторона которого равна  , а острый угол равен 60.

Самостоятельная работа по теме « Теорема синусов» для 9 класса

Вариант 1

1. В треугольнике АВС   АС =  0, 59см, угол А  равен   40 , угол С  равен              35. Вычислите  ВС  и ВА.
2. В  равнобедренном  треугольнике  АВС  длина  основания АВ равна  ,       угол при основании равен   30 ,  АД   – биссектриса угла. Найдите АД.        
3. В  треугольнике  АВС угол С прямой , угол А равен  15 , СД  -  биссектриса.  Найдите АД , если АС =                .

Вариант 2

1. В треугольнике АВС   АС =  0, 75см , угол А  равен   40 , угол С  равен              20. Вычислите  ВС  и ВА.
2. В  равнобедренном  треугольнике  АВС  длина  основания АВ равна  ,       угол при основании равен   30  ,  АД   – биссектриса угла. Найдите АД.        
3. В  треугольнике  АВС угол С прямой , угол А равен  15 , СД  -  биссектриса.  Найдите АД , если АС =                .

Вариант 3

1. В треугольнике АВС   АС =  0, 59см, угол А  равен   35 , угол С  равен              40. Вычислите  ВС  и ВА.
2. В  равнобедренном  треугольнике  АВС  длина  основания АВ равна  ,       угол при основании равен   30  ,  АД   – биссектриса угла. Найдите АД.        
3. В  треугольнике  АВС угол С прямой , угол А равен  15 , СД  -  биссектриса.  Найдите АД , если АС = 2                .

Вариант 4

1. В треугольнике АВС   АС =  0, 6см, угол А  равен   40 , угол С  равен              30. Вычислите  ВС  и ВА.
2. В  равнобедренном  треугольнике  АВС  длина  основания АВ равна  ,       угол при основании равен   30  ,  АД   – биссектриса угла. Найдите АД.        
3. В  треугольнике  АВС угол С прямой , угол А равен  15 , СД  -  биссектриса.  Найдите АД , если АС = 3               .

Самостоятельная по теме «Касательная к окружности»

Вариант1

1. Прямая АВ касается окружности с центром  О и радиусом 5см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12см.
2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8см проведены две касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и ВС, если угол ВАС равен 60.
3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом8см проведены две касательные АМ и ВМ (А и В-точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ. Если угол АОВ равен 120.

         Вариант 2

4. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом  15см в точке В. Найдите АВ, если АО = 17см.
5. Из точки М к окружности с центром  О   проведены две касательные  МА и  МВ (Аи В – точки касания). Найдите АМ и ВМ, если угол АМВ равен 90и ОМ =10см.
6. Из точки А к окружности с центром О   проведены две касательные АВ и АС (В и С - точки касания). Найдите периметр треугольника АВС, если угол ВОС равен 60 и ОА = 12см.

Тест по геометрии 9 класс «Метод координат»

Вариант 1

1. В какой четверти находится точка А(-7;6) ?          
2. Даны точки: С(5;-1) и В(3;4).

а)найдите координаты вектора АВ и ВА.

б) найдите координаты середина отрезка АВ.

в) найдите длину вектора АВ.

г) постройте  вектор АВ в прямоугольной системе координат.

3. Какие уравнения задают прямую, а какие окружность?

а)  2х – 3у +5 =0.

б)   х+2 = 0.

в)   у2 +х2 = 0.

г)   у + х2 = 0.

д)  х – 5у +9 = 0.

е)  (у – 6)2 + х2 = 10.

 в)   у2 +х2 = 13.

4. Какой прямой из задания 3 принадлежит точка  С (2;3)? .

 Какой окружности  из задания 3 принадлежит точка  Д(2;3)?

(покажите это)

5. Запишите уравнение окружности с центром в точке М (-4;1)и радиусом 5. Постройте ее в прямоугольной системе координат.

Часть 2  (вариант 1)

1. Расстояние  между точками А(-2;4) и В(-4;5)  будет   равно    _______________  

2. С(-5;-9), К(6;7). Тогда координаты точки Р середины отрезка  СК будут равны _____________________________________________

3. Уравнением прямой , проходящей через точку А(-4; 5) и параллельной оси абсцисс, будет____________

4. Окружность с центром в точке Д(0, -9) и радиусом 4 задается уравнением _________________________________________________

5.Уравнением прямой, проходящей через точки А(-4;- 2) и В(4;2), будут  ___________

6. Даны векторы  и . Тогда координаты вектора   будут равны_________

7. Разложить полученный вектор по единичным векторам i и j.

8. Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(0;8), В(-6;0),      С(2;-6), Д(8;2) является квадратом.  

Вариант 2

1.  В какой четверти находится точка А(2;-4) ?    
2. Даны точки  А(2;-3) и В(-1;2).

а)найдите координаты вектора АВ и ВА.

б) найдите координаты середина отрезка АВ.

в) найдите длину вектора АВ.

г) постройте  вектор АВ в прямоугольной системе координат.

3. Какие уравнения задают прямую, а какие окружность?

а)  3х – 3у - 5 =0.

б)   х+7 = 0.

в)   (у-9)2 +х2 = 0.

г)   у - х2 = 0.

д)  2х – 5у - 21 = 0.

е)  (у – 6)2 + (х-6)2 = 10.

 в)   у2 + (х-5)2 = 18.

4. Какой прямой из задания 3 принадлежит точка  С (-2;-5)? .

 Какой окружности  из задания 3 принадлежит точка  Д(2;3)?

(покажите это)

5. Запишите уравнение окружности с центром в точке М (4;3)и радиусом 2. Постройте ее в прямоугольной системе координат.

Часть 2  (вариант 2)

1. Расстояние  между точками А(2;6) и В(4;8)  будет   равно    _______________  

2.C (5;9), К(1;7). Тогда координаты точки Р середины отрезка  СК будут равны _____________________________________________

3. Уравнением прямой , проходящей через точку А(-4; 5) и параллельной оси ординат, будет

4. Окружность с центром в точке Д(8, -9) и радиусом 7 задается уравнением _________________________________________________

5.Уравнением прямой, проходящей через точки А(-4; 1) и В(0;2), будут  ___________

6. Даны векторы  и . Тогда координаты вектора   будут равны_________

7. Разложить полученный вектор по единичным векторам i и j.

8. Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(1;6), В(4;2),      С(0;-1), Д(-3;3) является ромбом. Будет ли ромб АВСД квадратом?