Обобщающее повторение геометрии 7-11, как способ активизации познавательной деятельности учащихся.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

  Решение задач по теме «Вписанные и описанные окружности». Практикум.

  Основные формулы для решения задач.

1)  Теорема о центре вписанной окружности.                                    

      В

                                         Центр вписанной окружности лежит на

                                          пересечении биссектрис треугольника.

    А                                     С

2) Теорема о центре описанной окружности.

       Центр описанной окружности лежит на пересечении  серединных

        Перпендикуляров к сторонам треугольника.

• Центр описанной окружности в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника;
• Центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника;
• Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.

3) Тригонометрические функции в прямоугольном

       треугольнике.

 А                                      , , ,

           b            с                                           

          С                   В                                          

        а

4) Площадь треугольника.

      а) ;

      б) ;

      в) , где ;

      г) , где R – радиус описанной окружности;

      д) ;

      е) , где r радиус вписанной окружности, Р – периметр

                            треугольника;

      ж)  - площадь равностороннего треугольника;

5) Свойства описанного четырехугольника.

                b                 В любом описанном четырехугольнике суммы

                                     противоположных сторон равны:        

        a             c с                        

                  d

6) Свойства вписанного четырехугольника.

                                            В любом вписанном четырехугольнике сумма

                                            противоположных углов равна :

7) Площадь любого четырехугольника, у которого диагонали

     перпендикулярны, выражается формулой:

                   В                    

             А                 С            ,  гдеи - диагонали

                четырехугольника АВСD.

8) Правильные многоугольники.            

                           - сторона правильного многоугольника,

                                                       где R – радиус описанной окружности;

 - сторона правильного многоугольника, где  – r радиус

                            вписанной окружности;

Задача 1.  В окружность радиуса  вписан  правильный

              треугольник АВС. Хорда BD пересекает сторону AC в

              точке Е, АЕ : ЕС =3 : 5. Найдите ВЕ.

                 В                                                                Дано:

                               АВС – равносторонний,

                                                                                 BDАС=Е,   АЕ : ЕС =3 : 5

                                                                                 R=

                        Найти:  ВЕ

   А                         С                                      

          D                            

                                               Решение:

Способ первый.

1) Так как АВС равносторонний, то все  его углы равны по , т. е.

    , и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС =

    (сторона  правильного многоугольника вычисляется по формуле:

     Следовательно,  АВ = ВС  = АС =  .

2) Поскольку АЕ : ЕС =3 : 5, то АЕ=3х, ЕС=5х. Так как АС=8,

     АС=АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ=3, ЕС=5.

3) Рассмотрим ЕВС. По теореме косинусов найдем искомую сторону ВЕ.

    , отсюда

     ВЕ=7.

     Ответ: ВЕ=7.

Способ второй.

                                            Решение:

1) Так как АВС равносторонний, то все  его углы равны по , т. е.

    , и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС = =8.

2) Поскольку АЕ : ЕС =3 : 5, то АЕ=3х, ЕС=5х. Так как АС = 8,

     АС=АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ = 3, ЕС = 5.

3) В АВС приведем высоту ВН, причем ВН будет являться высотой и

    Медианой ,   т.к. АВС  – равносторонний, т.е. АН = НС = 4 (АС = 2НС=8,

    отсюда НС=4). Рассмотрим ВНС. ВНС – прямоугольный, поэтому по

    теореме Пифагора

4) Рассмотрим ВНЕ. ВНЕ – прямоугольный, ВН = ,

    ЕН = ЕС – НС = 5 – 4 = 1. Тогда по теореме Пифагора

     Ответ: ВЕ = 7.

Задача 2.  Около равнобедренного треугольника с основанием

                   АС и углом при основании  описана окружность с

               центром О. Найдите её радиус, если площадь

               треугольника ВОС  равна 16.

                         В                                                              Дано:

                                                                           АВС – равнобедренный,

        А=, 16,

                                                                       ВО=ОС=R          

                                                                                            Найти: R

                 А                     С

                                                 Решение:

1. Так как А – вписанный и по условию равен  , то дуга  ВС, на которую он опирается, равна (по определению вписанного угла).

     На эту же дугу ВС опирается центральный угол ВОС, тогда

     ВОС =.

1. Рассмотрим ВОС. ВОС  – равнобедренный (ВО = ОС как радиусы

     одной окружности), ВОС =, тогда ,

          . По условию

          , тогда 16 =, отсюда , R = 8, но R = -8 не

           удовлетворяет условию задачи, поэтому R = 8.

           Ответ: R = 8.

Задача 3.  Из точки А, лежащей на окружности, проведены две

              хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности,

              если расстояние между серединами хорд равно 10.

                       А                                               Дано:                                       

                                                                                 АВ=15, АС=7

                                                                         АЕ=ЕВ, AL=LC, EL=10

                                                                                    Найти:  2R

      В                          С

                                              Решение:

     Способ первый.

1. Выполним дополнительное построение: соединим точки Е и L, В и С и рассмотрим АВС. В АВС  EL – средняя линия, так как по условию соединяет середины отрезков АВ и АС. Тогда по теореме о средней линии EL =ВС, следовательно, ВС =20.
2. С одной стороны, , где , то есть . С другой стороны, , или , отсюда , тогда 2R = 25.

     Ответ:  2R = 25.

Способ второй.                                                                                 

                                                              Решение:

1. Выполним дополнительное построение: соединим точки Е и L, В и С и рассмотрим АВС. В АВС  EL – средняя линия, так как по условию соединяет середины отрезков АВ и АС. Тогда по определению средней линии EL =ВС, следовательно, ВС =20.
2. По теореме косинусов . , тогда  ,  отсюда Sin А = .
3. Из следствия теоремы синусов известно, что   или, откуда 2R = 25.

     Ответ: 2R = 25.

Задача 4.   Найдите радиус окружности, вписанной в

                    остроугольный треугольник АВС, если высота ВН

               равна 12 и известно, что Sin A = Sin C = .

             В                                                                   Дано:

        АВС – остроугольный,

        ВН=12, Sin A, Sin C

                                                                                  Найти: r

      А                                   С

            Н                        

   Решение:

1) АНВ – прямоугольный,  так как ВН – высота, поэтому ,

     по условию, тогда ,откуда АВ =13.

2) ВНС - прямоугольный,  так как ВН – высота, поэтому ,

     по условию, тогда , откуда ВС = 15.

3) АНВ: по теореме Пифагора , .

4) ВНС: по теореме Пифагора , .

5) АС = АН + НС , АС =5 + 9 = 14.

6) С одной стороны, , , с другой стороны,

    , где  Р – периметр, Р = АВ + ВС + АС =13 + 15 +14 = 42. Тогда

     и , откуда r = 4.

     Ответ: r = 4.

Задача 5.  В равнобедренный треугольник РМК с основанием

                   МК вписана окружность с радиусом . Высота РН

              делится точкой пересечения с окружностью в

              отношении 1 : 2, считая от вершины Р. Найдите

              периметр треугольника РМК.

                            Р            Дано:

        РМК – равнобедренный,

        r =,  РЕ : ЕН = 1 : 2

                   А                   В               РН - высота

                                                                                      Найти: 

         М                 Н                 К

                                                  Решение:

Способ первый.

1) ЕО = ОН = ОВ = ОА=  как радиусы одной окружности, причем

        ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания отрезков МР и РК  с

    окружностью.

2) ЕН = ЕО + ОН = ,  по условию, откуда 2РЕ = ЕН, РЕ =

3)РВО = РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),

    тогда и РА = РВ. По теореме Пифагора ,

   , тогда РВ = РА = 6.

4) Пусть РК = РМ = х, тогда ВК = АМ = х – 6. Но ВК = НК, АМ = МН, как

    отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.

   РНК: по теореме Пифагора , или ,

    ,  , откуда х =12. Тогда РК = РМ= 12,

    МК = МН + НК = 2 НК  (так как РМК – равнобедренный, РН – высота и

    медиана), или МК = 2х – 12 = 12.

5) ,

    .

     Ответ: .

Способ второй.

             Решение:

1) ЕО = ОН = ОВ = ОА=  как радиусы одной окружности, причем

        ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания МР и РК с окружностью.

2) ЕН = ЕО + ОН = ,  по условию, откуда 2РЕ = ЕН, РЕ = ,

    тогда РО = РЕ + ЕО = +=, РН = РО  + ЕН = + =.

3) РВО = РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),

     тогда и РА = РВ и  ОРВ = ОРА. РВО:, значит,

      ОРВ = ОРА = .

4) РНК : , НРК =ОРВ = , , значит,

    , откуда РК = РМ = 12.

5) РКМ =РМК =  (из РНК :), как углы  при

     основании  равнобедренного треугольника.  Тогда  МРК  = (из

  РМК:

    ), следовательно, РНК – равносторонний и МК=12.

6) , .

     Ответ: .

Задача 6.  Один из катетов прямоугольного треугольника равен

                  15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16.

              Найдите диаметр окружности,  описанной около

              этого треугольника.

                                 С

                                                                              Дано:

                                  АВС – прямоугольный,

        СВ = 15, АН = 16

        Найти: 2R

    А                          Н                В

                                                            Решение:

1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

    .

2) По теореме Пифагора

    ,

    ,  

    .

    Пусть    АВ = х, тогда

     , ,

      - не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.

     АВ=2R, так как гипотенуза прямоугольного треугольника есть диаметр

     описанной около этого треугольника окружности.

     Ответ: 2R=25.

        Задача 7.  Найдите диаметр окружности, описанной около

              прямоугольного треугольника, если один из его

              катетов равен 20, а проекция другого катета на

              гипотенузу  равна 9.

                                   С                  Дано:

                                                                    АВС – прямоугольный,

                                                                               АС = 20, НВ = 9

        Найти: 2R

     А                         Н          В

                          Решение:

1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

    АВС     .

2) По теореме Пифагора

    ,

    ,  

    .

    Пусть    АВ = х, тогда

     , ,

      - не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.

     АВ=2R, так как центр описанной около прямоугольного треугольника

     окружности лежит на середине гипотенузы этой окружности

     Ответ: 2R=25.

Задача 8.  В равнобедренный треугольник АВС вписана

                   окружность. Параллельно его основанию АС

              проведена касательная к окружности, пересекающая

              боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус

              окружности, если DE = 8, АС = 18.

                           В                            Дано:

        АВС – равнобедренный,

                  D             E        DE    АС, DE = 8, АС = 18,

        Найти: r  

       А                                С

                                                    Решение:        

     Способ первый.

1. АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности. По

    свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем

         АD = ЕС. Получим: 8+18=2АD, отсюда  АD = ЕС = 13.

2) Пусть х = DВ = ВЕ, тогда АВ=ВС = х+13. DBE подобен ABC по

    второму признаку подобия  (В – общий, ). Тогда их площади

         относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, и это

         отношение равно квадрату коэффициента подобия:

         ,     ,       ,

              :4    

         ,        ,     ,    

          - не удовлетворяет условию задачи, поэтому ВЕ = ВD=10,4.

         Итак, ВЕ = ВD=10,4,  АВ=ВС=23,4.

   3)  ,   . С одной стороны,

         . С

         другой стороны,  или , тогда ,

         откуда r = 6.

         Ответ: r = 6.        

Способ второй.

                           В                           

                   D             E        

       А                                     С

                 K

        Решение:

1) АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к.

     DЕ АС и DЕ, АС, АD и ЕС  касательные к окружности). По

     свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем

          АD = ЕС. Получим: 8+18=2 АD, отсюда  АD = ЕС = 13.

     2) Выполним дополнительное построение: проведем ЕК     АD, тогда

АDЕК – параллелограмм, значит  АD = ЕК = 13, DЕ = АК (по свойству

параллелограмма), тогда КС = АС – АК=18 – 8 = 10.

    3) ,    ,  .

         С одной стороны,  ,

        с другой стороны,  или . Тогда ,

откуда h=12.

    4)   Так как высоты трапеции АDЕС и треугольника КЕС совпадают, то

           h = 2r, r = 6.

           Ответ: r = 6.

Способ третий.

                          В                           

                   D             E        

               Q                     S        

       А                                     С

                   K  H

           Решение:

1. АДЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к. ДЕ АС и ДЕ, АС, АД и ЕС – касательные к окружности). По

    свойству описанного четырехугольника ДЕ + АС = АД + ЕС, причем

         АД = ЕС. Получим: 8+18=2 АД, отсюда  АД = ЕС = 13.

1. Выполним дополнительное построение: проведем высоту ВН и отрезок DK, DKАС.

1. Так как АВС – равнобедренный, ВН – высота, то ВН и медиана. Тогда АН = НС = 9.

1. АН = АQ=9 и НС = ЕС = 9, DQ = DL = 4 и LE = ES = 4

    (DQ = AD – AQ = 13 – 9), как отрезки касательных, проведенных из

     одной точки к окружности, где  Q и S – точки касания АВ  и  ВС с

     окружностью.

1. DL = KH = 4, DK = LH как противоположные стороны прямоугольника KDLH.

1. Рассмотрим ADK. АК = АН – КН = 9 – 4 = 5, АD = 13. По следствию из теоремы Пифагора , , отсюда

    DK= LH = 12, причем LH=2r, тогда r = 6.

     Ответ: r = 6.

Задача 9.  В равнобедренный треугольник АВС с основанием

                   АС вписана окружность с центром О. Луч СО

                   пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6,

                   ВК = 12. Найдите периметр треугольника.

   Способ первый.                 

                        В

                                     Дано:

                                                                            АВС, АВ = ВС        

        АК = 6, ВК = 12, СО АВ = К

            К                                                      Найти: 

    А                                  С

                                              Решение:

1. Так как окружность вписана, и О КС (О – центр вписанной

     окружности), то КС – биссектриса угла С. По свойству биссектрисы

          (биссектриса делит сторону треугольника на части , пропорциональные

          прилежащим сторонам), или

          (АВ = ВС = АК + КВ = 6+12 = 18), отсюда АС = 9.

    2)   = АВ + ВС + АС, = 18 + 18 + 9 = 45.

          Ответ: = 45.

  Способ второй.                                       

                                              Решение:

        Так как СК – биссектриса угла С, то по теореме об отношении площадей треугольников С другой стороны, это отношение равно (как отношение площадей треугольников, имеющих одинаковую высоту, опущенную из вершины угла С).

        Итак, , откуда АС = 9 и = 45.

Ответ: = 45.

Задача 10.  Около треугольника АВС описана окружность.

                    Медиана треугольника АМ продлена до пересечения

                    с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если

                    АМ=18, МК=8, ВК=10.

                    Дано:

                В        АВС, АМ – медиана,

                                          К        АМ =18, МК = 8, ВК = 10

             Найти: АС

    А        С

           Решение:

   Способ первый.

1) Рассмотрим  ВМК и АМС.  ВМК         =  АМС, как вертикальные,

    КВС = КАС, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу КС.

    Тогда ВМК и АМС подобны по первому признаку подобия.

2) Из подобия треугольников следует, что  или , но

    ВМ = МС по условию, тогда , -

    не удовлетворяет условию задачи, поэтому МС = 12. Тогда ,

    отсюда АС = 15.

    Ответ: АС = 15.

Способ второй.

                                                    Решение:

1) По теореме о пересекающихся хордах , ,

    но ВМ = МС по условию (АМ – медиана), тогда , отсюда

    ВМ = МС=12.

2) Рассмотрим  ВМК и АМС.  ВМК         =  АМС, как вертикальные,

    ВМ = МС по условию.КВС = КАС, как вписанные углы,

    опирающиеся на одну дугу КС. Тогда,  ВМК и АМС подобны по

    первому признаку подобия.

3) Из подобия треугольников следует, что ,   , отсюда

    АС = 15.

     Ответ:  АС = 15.

Задача 11.  Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около

                    треугольника ABD, пересекает большую диагональ

                    ромба АС  в точке Е. Найдите СЕ, если АВ = ,

                    BD = 16.

                       А        Дано:

        ABCD – ромб,

        АВ = , BD = 16

                                                                                                Найти: СЕ

       D                                В

                          С

                Решение:

     Способ первый.        

1. По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,

     поэтому ВО = ОD = 8.

1. Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,

     отсюда АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.

1. С одной стороны,  или  , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.

1.  АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20,  АС = АО + ОС = 32, тогда

      СЕ = АС – АЕ =  32 – 20 = 12.

      Ответ: СЕ = 12. 

    Способ второй.                         

                                                   Решение:

1. Рассмотрим АDB. АDB – равнобедренный (AD = AB, как стороны ромба), АО – высота (поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны), а, значит, и медиана и биссектриса (по теореме о высоте равнобедренного треугольника). По формуле нахождения медианы треугольника ,    , откуда АО = 16.
2. С одной стороны,  или  , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.
3. АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20,  АС = АО + ОС = 32, тогда

     СЕ = АС – АЕ =  32 – 20 = 12.

      Ответ: СЕ = 12. 

    Способ третий.                                                     

                                                Решение:

1. 1) По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,

     поэтому ВО = ОD = 8.

1. Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,

Отсюда  АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.

3) По теореме о пересекающихся хордах ,  отсюда

    . Тогда СЕ = СО – ОЕ = 16 – 4 = 12.

     Ответ: СЕ = 12.

Задача 12.   В окружность радиуса  вписан треугольник АВС,

                      в  котором , а сторона АВ в два раза больше

                      стороны АС. В треугольнике проведена

                      биссектриса АМ. Найти длину отрезка МС.

        С         Дано:

                                                                                 АВС, R =,,

        АВ = 2 АС, АМ – биссектриса

         Найти: МС

      А

         В

                                                    Решение:

 Способ первый.

1) Поскольку АМ – биссектриса АВС, то по свойству биссектрисы угла

     или  или , отсюда ВМ = 2МС, тогда ВС = 3МС

    или МС =  ВС.

2)  По следствию из теоремы синусов , отсюда  .

     Тогда  МС =  = 4.

      Ответ: МС = 4.

             Решение:

  Способ второй.

1. Докажем, что АВС – прямоугольный. По теореме косинусов

        . Предположим

        справедливость равенства:  ,   ,

         - верное равенство, следовательно,

         и АВС – прямоугольный.

   2)   Так как АВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза, то АВ = 2R =

         (поскольку центр описанной окружности лежит на середине

         гипотенузы, т.е. АВ – диаметр).  по условию, тогда

         АС =. По следствию из теоремы Пифагора ,

         , тогда ВС = 12.

 3)  Поскольку АМ – биссектриса, то по свойству биссектрисы угла

        , где ВМ = СВ – СМ = 12 - СМ. , отсюда

        ,  ,  СМ = 4.

        Ответ: СМ = 4.

Задача 13.  В треугольнике ВСЕ , СЕ : ВС = 3 : 1. Отрезок

                     СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если

                     радиус описанной около треугольника окружности

                     равен .

          С                                                                              Дано:

           ВСЕ,

          СЕ : ВС = 3 : 1, 

                                                                                     СК – биссектриса

          R =

  В                                                                                  Найти: КЕ        

        Е        

                                                   Решение:

1) Поскольку СК – биссектриса СВЕ, то по свойству биссектрисы угла

     или  (так как по условию ), отсюда КЕ = 3ВК.

2) По теореме синусов , где ВЕ = 4ВК , отсюда  ,

    ВК = 6. Так как КЕ = 3ВК, то  КЕ = 18.

    Ответ: КЕ = 18.

Задача 14.  Найдите площадь равнобедренной трапеции,

                     описанной около окружности с радиусом 4, если

                     известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

                      К                                                                      Дано:

        В        С        ABCD - равнобедренная

        трапеция, r = 4,

        AB = CD = 10

          Найти: 

   А        D

        Н        М

                                           Решение:

    Способ первый.

1. Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD,  ВС + АD = 20, так как по условию AB = CD = 10.

1. Высота СМ = КН = 2r, (СМ = КН , как противоположные стороны прямоугольника НКСМ),  или h = 8.

1. ,    .

     Ответ: 80.

Способ второй.

Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD,  ВС + АD = 20. Тогда  и .

 Ответ: 80.