Обобщающее повторение геометрии 7-11, как способ активизации познавательной деятельности учащихся.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме
Данный материал можно использовать при итоговом повторении темы " Вписанные и описанные многоугольники" в 9 и 11 классах.
Презентация содержит задачи на готовых чертежах.На уроках повторения можно предложить учащимся различные формы работы: индивидуальную, фронтальную, групповую. Каждый учитель выбирает свою форму работы, в зависимости от целей урока, подбора учащихся в классе.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 683.5 КБ |
![]() | 2.97 МБ |
Предварительный просмотр:
Решение задач по теме «Вписанные и описанные окружности». Практикум.
Основные формулы для решения задач.
1) Теорема о центре вписанной окружности.
В
Центр вписанной окружности лежит на
пересечении биссектрис треугольника.
А С
2) Теорема о центре описанной окружности.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных
Перпендикуляров к сторонам треугольника.
- Центр описанной окружности в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника;
- Центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника;
- Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.
3) Тригонометрические функции в прямоугольном
треугольнике.
А ,
,
,
b с
С В
а
4) Площадь треугольника.
а) ;
б) ;
в) , где
;
г) , где R – радиус описанной окружности;
д) ;
е) , где r радиус вписанной окружности, Р – периметр
треугольника;
ж) - площадь равностороннего треугольника;
5) Свойства описанного четырехугольника.
b В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны:
a c с
d
6) Свойства вписанного четырехугольника.
В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна :
7) Площадь любого четырехугольника, у которого диагонали
перпендикулярны, выражается формулой:
В
А С , где
и
- диагонали
четырехугольника АВСD.
8) Правильные многоугольники.
- сторона правильного многоугольника,
где R – радиус описанной окружности;
- сторона правильного многоугольника, где – r радиус
вписанной окружности;
Задача 1. В окружность радиуса вписан правильный
треугольник АВС. Хорда BD пересекает сторону AC в
точке Е, АЕ : ЕС =3 : 5. Найдите ВЕ.
В Дано:
АВС – равносторонний,
BDАС=Е, АЕ : ЕС =3 : 5
R=
Найти: ВЕ
А С
D
Решение:
Способ первый.
1) Так как АВС равносторонний, то все его углы равны по
, т. е.
, и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС =
(сторона правильного многоугольника вычисляется по формуле:
Следовательно, АВ = ВС = АС = .
2) Поскольку АЕ : ЕС =3 : 5, то АЕ=3х, ЕС=5х. Так как АС=8,
АС=АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ=3, ЕС=5.
3) Рассмотрим ЕВС. По теореме косинусов найдем искомую сторону ВЕ.
, отсюда
ВЕ=7.
Ответ: ВЕ=7.
Способ второй.
Решение:
1) Так как АВС равносторонний, то все его углы равны по
, т. е.
, и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС =
=8.
2) Поскольку АЕ : ЕС =3 : 5, то АЕ=3х, ЕС=5х. Так как АС = 8,
АС=АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ = 3, ЕС = 5.
3) В АВС приведем высоту ВН, причем ВН будет являться высотой и
Медианой , т.к. АВС – равносторонний, т.е. АН = НС = 4 (АС = 2НС=8,
отсюда НС=4). Рассмотрим ВНС.
ВНС – прямоугольный, поэтому по
теореме Пифагора
4) Рассмотрим ВНЕ.
ВНЕ – прямоугольный, ВН =
,
ЕН = ЕС – НС = 5 – 4 = 1. Тогда по теореме Пифагора
Ответ: ВЕ = 7.
Задача 2. Около равнобедренного треугольника с основанием
АС и углом при основании описана окружность с
центром О. Найдите её радиус, если площадь
треугольника ВОС равна 16.
В Дано:
АВС – равнобедренный,
А=
,
16,
ВО=ОС=R
Найти: R
А С
Решение:
- Так как
А – вписанный и по условию равен
, то дуга ВС, на которую он опирается, равна
(по определению вписанного угла).
На эту же дугу ВС опирается центральный угол ВОС, тогда
ВОС =
.
- Рассмотрим
ВОС.
ВОС – равнобедренный (ВО = ОС как радиусы
одной окружности), ВОС =
, тогда
,
. По условию
, тогда 16 =
, отсюда
, R =
8, но R = -8 не
удовлетворяет условию задачи, поэтому R = 8.
Ответ: R = 8.
Задача 3. Из точки А, лежащей на окружности, проведены две
хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности,
если расстояние между серединами хорд равно 10.
А Дано:
АВ=15, АС=7
АЕ=ЕВ, AL=LC, EL=10
Найти: 2R
В С
Решение:
Способ первый.
- Выполним дополнительное построение: соединим точки Е и L, В и С и рассмотрим
АВС. В
АВС EL – средняя линия, так как по условию соединяет середины отрезков АВ и АС. Тогда по теореме о средней линии EL =
ВС, следовательно, ВС =20.
- С одной стороны,
, где
, то есть
. С другой стороны,
, или
, отсюда
, тогда 2R = 25.
Ответ: 2R = 25.
Способ второй.
Решение:
- Выполним дополнительное построение: соединим точки Е и L, В и С и рассмотрим
АВС. В
АВС EL – средняя линия, так как по условию соединяет середины отрезков АВ и АС. Тогда по определению средней линии EL =
ВС, следовательно, ВС =20.
- По теореме косинусов
.
, тогда
, отсюда Sin А =
.
- Из следствия теоремы синусов известно, что
или
, откуда 2R = 25.
Ответ: 2R = 25.
Задача 4. Найдите радиус окружности, вписанной в
остроугольный треугольник АВС, если высота ВН
равна 12 и известно, что Sin A = Sin C =
.
В Дано:
АВС – остроугольный,
ВН=12, Sin A, Sin C
Найти: r
А С
Н
Решение:
1) АНВ – прямоугольный, так как ВН – высота, поэтому
,
по условию, тогда
,откуда АВ =13.
2) ВНС - прямоугольный, так как ВН – высота, поэтому
,
по условию, тогда
, откуда ВС = 15.
3) АНВ: по теореме Пифагора
,
.
4) ВНС: по теореме Пифагора
,
.
5) АС = АН + НС , АС =5 + 9 = 14.
6) С одной стороны, ,
, с другой стороны,
, где Р – периметр, Р = АВ + ВС + АС =13 + 15 +14 = 42. Тогда
и
, откуда r = 4.
Ответ: r = 4.
Задача 5. В равнобедренный треугольник РМК с основанием
МК вписана окружность с радиусом . Высота РН
делится точкой пересечения с окружностью в
отношении 1 : 2, считая от вершины Р. Найдите
периметр треугольника РМК.
Р Дано:
РМК – равнобедренный,
r =, РЕ : ЕН = 1 : 2
А В РН - высота
Найти:
М Н К
Решение:
Способ первый.
1) ЕО = ОН = ОВ = ОА= как радиусы одной окружности, причем
ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания отрезков МР и РК с
окружностью.
2) ЕН = ЕО + ОН = ,
по условию, откуда 2РЕ = ЕН, РЕ =
3)РВО =
РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),
тогда и РА = РВ. По теореме Пифагора ,
, тогда РВ = РА = 6.
4) Пусть РК = РМ = х, тогда ВК = АМ = х – 6. Но ВК = НК, АМ = МН, как
отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.
РНК: по теореме Пифагора
, или
,
,
, откуда х =12. Тогда РК = РМ= 12,
МК = МН + НК = 2 НК (так как РМК – равнобедренный, РН – высота и
медиана), или МК = 2х – 12 = 12.
5) ,
.
Ответ: .
Способ второй.
Решение:
1) ЕО = ОН = ОВ = ОА= как радиусы одной окружности, причем
ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания МР и РК с окружностью.
2) ЕН = ЕО + ОН = ,
по условию, откуда 2РЕ = ЕН, РЕ =
,
тогда РО = РЕ + ЕО = +
=
, РН = РО + ЕН =
+
=
.
3) РВО =
РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),
тогда и РА = РВ и ОРВ =
ОРА.
РВО:
, значит,
ОРВ =
ОРА =
.
4) РНК :
,
НРК =
ОРВ =
,
, значит,
, откуда РК = РМ = 12.
5) РКМ =
РМК =
(из
РНК :
), как углы при
основании равнобедренного треугольника. Тогда МРК =
(из
РМК:
), следовательно,
РНК – равносторонний и МК=12.
6) ,
.
Ответ: .
Задача 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен
15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16.
Найдите диаметр окружности, описанной около
этого треугольника.
С
Дано:
АВС – прямоугольный,
СВ = 15, АН = 16
Найти: 2R
А Н В
Решение:
1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
.
2) По теореме Пифагора
,
,
.
Пусть АВ = х, тогда
,
,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.
АВ=2R, так как гипотенуза прямоугольного треугольника есть диаметр
описанной около этого треугольника окружности.
Ответ: 2R=25.
Задача 7. Найдите диаметр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, если один из его
катетов равен 20, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 9.
С Дано:
АВС – прямоугольный,
АС = 20, НВ = 9
Найти: 2R
А Н В
Решение:
1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
АВС .
2) По теореме Пифагора
,
,
.
Пусть АВ = х, тогда
,
,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.
АВ=2R, так как центр описанной около прямоугольного треугольника
окружности лежит на середине гипотенузы этой окружности
Ответ: 2R=25.
Задача 8. В равнобедренный треугольник АВС вписана
окружность. Параллельно его основанию АС
проведена касательная к окружности, пересекающая
боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус
окружности, если DE = 8, АС = 18.
В Дано:
АВС – равнобедренный,
D E DE АС, DE = 8, АС = 18,
Найти: r
А С
Решение:
Способ первый.
- АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности. По
свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем
АD = ЕС. Получим: 8+18=2АD, отсюда АD = ЕС = 13.
2) Пусть х = DВ = ВЕ, тогда АВ=ВС = х+13. DBE подобен
ABC по
второму признаку подобия (В – общий,
). Тогда их площади
относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, и это
отношение равно квадрату коэффициента подобия:
,
,
,
:4
,
,
,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому ВЕ = ВD=10,4.
Итак, ВЕ = ВD=10,4, АВ=ВС=23,4.
3) ,
. С одной стороны,
. С
другой стороны, или
, тогда
,
откуда r = 6.
Ответ: r = 6.
Способ второй.
В
D E
А С
K
Решение:
1) АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к.
DЕ АС и DЕ, АС, АD и ЕС касательные к окружности). По
свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем
АD = ЕС. Получим: 8+18=2 АD, отсюда АD = ЕС = 13.
2) Выполним дополнительное построение: проведем ЕК АD, тогда
АDЕК – параллелограмм, значит АD = ЕК = 13, DЕ = АК (по свойству
параллелограмма), тогда КС = АС – АК=18 – 8 = 10.
3) ,
,
.
С одной стороны, ,
с другой стороны, или
. Тогда
,
откуда h=12.
4) Так как высоты трапеции АDЕС и треугольника КЕС совпадают, то
h = 2r, r = 6.
Ответ: r = 6.
Способ третий.
В
D E
Q S
А С
K H
Решение:
- АДЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к. ДЕ
АС и ДЕ, АС, АД и ЕС – касательные к окружности). По
свойству описанного четырехугольника ДЕ + АС = АД + ЕС, причем
АД = ЕС. Получим: 8+18=2 АД, отсюда АД = ЕС = 13.
- Выполним дополнительное построение: проведем высоту ВН и отрезок DK, DK
АС.
- Так как
АВС – равнобедренный, ВН – высота, то ВН и медиана. Тогда АН = НС = 9.
- АН = АQ=9 и НС = ЕС = 9, DQ = DL = 4 и LE = ES = 4
(DQ = AD – AQ = 13 – 9), как отрезки касательных, проведенных из
одной точки к окружности, где Q и S – точки касания АВ и ВС с
окружностью.
- DL = KH = 4, DK = LH как противоположные стороны прямоугольника KDLH.
- Рассмотрим
ADK. АК = АН – КН = 9 – 4 = 5, АD = 13. По следствию из теоремы Пифагора
,
, отсюда
DK= LH = 12, причем LH=2r, тогда r = 6.
Ответ: r = 6.
Задача 9. В равнобедренный треугольник АВС с основанием
АС вписана окружность с центром О. Луч СО
пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6,
ВК = 12. Найдите периметр треугольника.
Способ первый.
В
Дано:
АВС, АВ = ВС
АК = 6, ВК = 12, СО АВ = К
К Найти:
А С
Решение:
- Так как окружность вписана, и О
КС (О – центр вписанной
окружности), то КС – биссектриса угла С. По свойству биссектрисы
(биссектриса делит сторону треугольника на части , пропорциональные
прилежащим сторонам), или
(АВ = ВС = АК + КВ = 6+12 = 18), отсюда АС = 9.
2) = АВ + ВС + АС,
= 18 + 18 + 9 = 45.
Ответ: = 45.
Способ второй.
Решение:
Так как СК – биссектриса угла С, то по теореме об отношении площадей треугольников С другой стороны, это отношение равно
(как отношение площадей треугольников, имеющих одинаковую высоту, опущенную из вершины угла С).
Итак, , откуда АС = 9 и
= 45.
Ответ: = 45.
Задача 10. Около треугольника АВС описана окружность.
Медиана треугольника АМ продлена до пересечения
с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если
АМ=18, МК=8, ВК=10.
Дано:
В АВС, АМ – медиана,
К АМ =18, МК = 8, ВК = 10
Найти: АС
А С
Решение:
Способ первый.
1) Рассмотрим ВМК и
АМС.
ВМК =
АМС, как вертикальные,
КВС =
КАС, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу КС.
Тогда ВМК и
АМС подобны по первому признаку подобия.
2) Из подобия треугольников следует, что или
, но
ВМ = МС по условию, тогда ,
-
не удовлетворяет условию задачи, поэтому МС = 12. Тогда ,
отсюда АС = 15.
Ответ: АС = 15.
Способ второй.
Решение:
1) По теореме о пересекающихся хордах ,
,
но ВМ = МС по условию (АМ – медиана), тогда , отсюда
ВМ = МС=12.
2) Рассмотрим ВМК и
АМС.
ВМК =
АМС, как вертикальные,
ВМ = МС по условию.КВС =
КАС, как вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу КС. Тогда, ВМК и
АМС подобны по
первому признаку подобия.
3) Из подобия треугольников следует, что ,
, отсюда
АС = 15.
Ответ: АС = 15.
Задача 11. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около
треугольника ABD, пересекает большую диагональ
ромба АС в точке Е. Найдите СЕ, если АВ = ,
BD = 16.
А Дано:
ABCD – ромб,
АВ = , BD = 16
Найти: СЕ
D В
С
Решение:
Способ первый.
- По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,
поэтому ВО = ОD = 8.
- Рассмотрим
АОВ.
АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора
или
,
отсюда АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.
- С одной стороны,
или
, с другой стороны
, где R – радиус описанной окружности,
. Тогда
, отсюда R = 10.
- АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда
СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
Способ второй.
Решение:
- Рассмотрим
АDB.
АDB – равнобедренный (AD = AB, как стороны ромба), АО – высота (поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны), а, значит, и медиана и биссектриса (по теореме о высоте равнобедренного треугольника). По формуле нахождения медианы треугольника
,
, откуда АО = 16.
- С одной стороны,
или
, с другой стороны
, где R – радиус описанной окружности,
. Тогда
, отсюда R = 10.
- АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда
СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
Способ третий.
Решение:
- 1) По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,
поэтому ВО = ОD = 8.
- Рассмотрим
АОВ.
АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора
или
,
Отсюда АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.
3) По теореме о пересекающихся хордах , отсюда
. Тогда СЕ = СО – ОЕ = 16 – 4 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
Задача 12. В окружность радиуса вписан треугольник АВС,
в котором , а сторона АВ в два раза больше
стороны АС. В треугольнике проведена
биссектриса АМ. Найти длину отрезка МС.
С Дано:
АВС, R =
,
,
АВ = 2 АС, АМ – биссектриса
Найти: МС
А
В
Решение:
Способ первый.
1) Поскольку АМ – биссектриса АВС, то по свойству биссектрисы угла
или
или
, отсюда ВМ = 2МС, тогда ВС = 3МС
или МС = ВС.
2) По следствию из теоремы синусов , отсюда
.
Тогда МС = = 4.
Ответ: МС = 4.
Решение:
Способ второй.
- Докажем, что
АВС – прямоугольный. По теореме косинусов
. Предположим
справедливость равенства: ,
,
- верное равенство, следовательно,
и АВС – прямоугольный.
2) Так как АВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза, то АВ = 2R =
(поскольку центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы, т.е. АВ – диаметр). по условию, тогда
АС =. По следствию из теоремы Пифагора
,
, тогда ВС = 12.
3) Поскольку АМ – биссектриса, то по свойству биссектрисы угла
, где ВМ = СВ – СМ = 12 - СМ.
, отсюда
,
, СМ = 4.
Ответ: СМ = 4.
Задача 13. В треугольнике ВСЕ , СЕ : ВС = 3 : 1. Отрезок
СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если
радиус описанной около треугольника окружности
равен .
С Дано:
ВСЕ,
СЕ : ВС = 3 : 1,
СК – биссектриса
R =
В Найти: КЕ
Е
Решение:
1) Поскольку СК – биссектриса СВЕ, то по свойству биссектрисы угла
или
(так как по условию
), отсюда КЕ = 3ВК.
2) По теореме синусов , где ВЕ = 4ВК , отсюда
,
ВК = 6. Так как КЕ = 3ВК, то КЕ = 18.
Ответ: КЕ = 18.
Задача 14. Найдите площадь равнобедренной трапеции,
описанной около окружности с радиусом 4, если
известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
К Дано:
В С ABCD - равнобедренная
трапеция, r = 4,
AB = CD = 10
Найти:
А D
Н М
Решение:
Способ первый.
- Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD, ВС + АD = 20, так как по условию AB = CD = 10.
- Высота СМ = КН = 2r, (СМ = КН , как противоположные стороны прямоугольника НКСМ), или h = 8.
,
.
Ответ: 80.
Способ второй.
Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD, ВС + АD = 20. Тогда и
.
Ответ: 80.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/02/picture-115112-1349123211.jpg)
СПОСОБЫ АКТИВИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ
У учащихся может и должна быть сформирована устойчивая мотивация в саморазвитии, приобретении новых знаний и умений. Мотивация саморазвития учащихся обусловлена образовательными потребностями,...
Публичное представление педагогического инновационного опыта "Способы активизации познавательной деятельности учащихся на уроках черчения"
Главным условием эффективного осмысленного усвоения знаний и умений учащимися является собственная познавательная деятельность ребенка. Активизация познавательной деятельности - важнейшая задача...
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА КАК СПОСОБ АКТИВИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В ШКОЛЕ.
Статья....
![](/sites/default/files/pictures/2021/02/06/picture-252735-1612601382.jpg)
Метод проектов как способ активизации познавательной деятельности учащихся с использованием интернет-энциклопедии "Britannica"
научно-практическая статья...
![](/sites/default/files/pictures/2013/06/20/picture-268566-1371723958.jpg)
Проектная деятельность как способ активизации познавательной деятельности учащихся
Проектная деятельность как способ активизации познавательной деятельности учащихся Метод проектов – это метод личностно-ориентированного обучения. Этот метод развивает со...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/26/picture-355050-1385473424.jpg)
Метод проектов как способ активизации познавательной деятельности учащихся в процессе обучения биологии
Сегодня разнообразные проекты – наиболее перспективная форма организации практико-ориентированной работы....