Примеры решения стереометрических задач методом координат.
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

   С2.(ЕГЭ 2012.Математика 30 вариантов, вариант 27)

 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны  основания

которой  равны 4, а боковые  ребра  равны  , найдите угол между прямыми  BG и AD, где G – точка на ребре SC, причем  SG:GC = 1:2.

                                                                       Дано:  SFDCDEF – правильная пирамида,

                                                                       АВ= CD= …= 4,SA=…=SF=, SG:GC=1:2,

          S                                                             Найти: BG^AD.

A

D

B

G

Решение. Пирамиду поместим в прямоугольную систе-му координат . За начало координат берем вершину D. Диагональ DВ  правильного шестиугольника  перпенди-кулярен  стороне DE, поэтому  они принадлежат  осям  абсцисс и ординат, а ось аппликат  параллелен  высоте  пирамиды.

   Угол между прямыми  равен  углу между  их  направ-ляющими  векторами.  Векторы  BG и  AD – направляю-щие векторы  прямых  BG, AD.

   Косинус угла  между  прямыми  вычисляется  по формуле: cos (BG^ AD)=  .  

Е

Каждый угол   правильного  шестиугольника  по 1200. Рассмотрим  . По условию BC=CD=4, По теореме  косинусов BD2= BC2+ CD2 -2BC*CD cos 1200=16+16-2*4*4*(-0,5)= 48, BD=4; В   SC=3,CO=4 , по теореме Пифагора  SO=. Определим  коор-

динаты  концов необходимых  векторов: В, G(Учитываем  условие задачи), А ,D(0;0;0) , тогда , .

                                                                                                Ответ: arccos

C

Примеры решения стереометрических задач методом координат.                  При   нахождении  угла   между  скрещивающими  прямыми  успешно при-меняю  метод  координат  в  пространстве, так  как  этот  метод  намного  об-легчает  решение  задач  данного  типа. При  этом  ученику  нет  необходи-мости  сделать  дополнительные  построения  и  не  допускать  ошибки  в  ре-шении  задачи. Ниже  приведены  задания  такого  типа.

С2.  В кубе А…D1точки Е,F-середины ребер соответственно  А1В1и С1D1.Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.

Дано: А…D Дано: А…D1- куб, АЕ=ЕВ1,D1F=FC1;

Найти: cos α (α-угол между прямыми AE и BF)

Решение. AE и BF – направляющие   векторы  прямых  AE и BF. Косинус угла между прямыми определяется  по  формуле:  cos a= .  Пусть  ребро куба  1 тогда    А (1;0;0), Е(1;0,5; 1), ;  В(1;1;0), F(0;0,5;1), .  

сos a=     

                                    Ответ:

E

F

С

В

А

D

А1

D1

C1

B1

С2.В правильной  треугольной  призме  А...С1, все  ребра  которой  равны  1,

точка  D – середина  ребра  А1В1. Найдите  косинус  угла  между прямыми

AD и ВС1.

х

у

z

А

В

С

С1 11

D

Дано: А…С1 – правильная призма,  АВ=ВС=АС=АА1=…=1, А1D=DB1.

Найти: cos (AD^BC1).

Решение. Введем  прямоугольную  систему  координат. АО– высота  равностороннего  треугольника, поэтому  эту  точку  можно  брать  за  начало координат. Оси  Ох и Оу  проходят  через высоту и через  сторону  ВС. Угол между  прямыми   равен  углу  между их  направляющими  векторами.    векторы  соответствующих  прямых.  Определим  координаты   концов  обеих  векторов.  АО – высота,  медиана    ОВ=ОС=0,5,         АО =. Атог-да  ,

ОН

  Пусть  AD^BC1=. Угол  между  прямыми  вычисляется  по  формуле: cos .                          

                                                                                            Ответ: