Уроки повторения-обобщения геометрии в 10 классе
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) по теме

                 Повторение курса 10 класса.

Для итогового повторения курса геометрии 10 класса и входного повторения в начале 11 класса сделана подборка данных задач. Заучивание теорем и их доказательств не приводит к пониманию геометрии, а с  помощью задач можно повторить  теоретический курс, необходимый для входного контроля и дальнейшей работы с многогранниками и развивать пространственное воображение у обучающихся. Предложено достаточное количество однотипных задач, из которых можно составить самостоятельную работу по вариантам.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

1. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата АВСD, АВМ = 300. Найдите тангенс угла АСМ. [Ответ: ]
2. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата. [Ответ: ]
3. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ:]
4. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ. [Ответ: 4]
5. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ: 5]
6. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника,  МСА = 600. Найдите длину отрезка МВ. [Ответ: ]
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит  его в отношении 2:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость   соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 12 см. Найдите длину отрезка АВ1.[Ответ:18]
8. Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Через его середину С и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 8 см. Найдите длину отрезка АВ1. [Ответ:16]
9. Середина С отрезка АВ принадлежит плоскости . Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С  равна 8 см. Найти длину отрезкаА1В1.[Ответ: 16]
10. Отрезок АВ пересекает плоскость  в точке С, которая делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 15см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 20]
11. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1 ; АА1 = 5см, В1В = 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины отрезков АВ и А1В1.[Ответ: 6,5]
12. Отрезок АВ пересекает плоскость   в точке С, которая делит его в отношении 3:5, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 12см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 32]
13. Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что  ОВМ = 600. Найдите косинус угла АВМ. [Ответ: ]
14. Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата,  АВМ = 300. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]
15. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата. [Ответ: ]
16. Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех  сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата. [Ответ: ]
17. Диагональ квадрата АВСD равна 10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ равен 600. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]

18. Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см и 8 см. Через вершину С проходит плоскость, параллельная АВ. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 450. Найдите синус угла, который образует с ней другой его катет. [Ответ: ]

Пирамида

19. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро.        [Ответ: ]
20. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: ]
21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно её основанию. [Ответ: 13,5]
22. Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны 6см, 6 см и 8см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 66+]
23. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите высоту пирамиды. [Ответ: ]
24. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: 13]
25. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 144]
26. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершина пирамиды удалена от сторон основания на 13 см. Найдите высоту пирамиды. [(Ответ: 5]
27. По данной стороне основания a=9 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной треугольной пирамиды. [Ответ: 3]
28. Во сколько раз увеличится боковая поверхность правильной треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 2 раза, а апофему – в 3 раза. [Ответ: 6]
29. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды. [Ответ: 1]
30. По данной стороне основания a=8 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной четырехугольной пирамиды. [Ответ: 2]
31. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона основания 8. Найдите боковое ребро. [Ответ:9]
32. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 1, а боковое ребро . [Ответ: 2]
33. Найдите полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона основания 4,2. [Ответ: 42]
34. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 18. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 540]
35. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15. Высота пирамиды, равная 4, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 126]
36. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60. Площадь основания пирамиды 16. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ:32]
37. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании равен . Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 96]
38. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 30. Боковое ребро равно 2. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ: 6]

39. К плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием

 ВС = 6 см и углом 1200 при вершине проведен перпендикуляр АМ. Расстояние от точки М до ВС 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников АВС и МВС. [Ответ:  ]

Куб

40. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его диагональ. [Ответ: ]
41. Площадь полной поверхности куба равна 96 см2. Найдите его ребро. [Ответ: ]
42. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ верхнего и нижнего оснований, равна . Найдите длину ребра куба. [Ответ: 4]
43. Диагональ куба равна 3 см. Найдите его полную поверхность. [Ответ: 18]
44. Диагональ куба равна 6 см. Найдите площадь его одной грани. [Ответ: 12]
45. Площадь полной поверхности куба равна 3 см. Найдите длину диагонали грани куба.[ Ответ: 1]

Прямоугольный параллелепипед

46. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5см, большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. [Ответ: ]
47. Площадь полной поверхности  прямоугольного параллелепипеда равна 136 см2, а стороны основания 4 см и 6см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда. [Ответ: ]
48. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6см, равна 408 см2. Найдите диагонали параллелепипеда.            [Ответ: ]
49. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны основания 8 см и 6 см. [Ответ: 120]
50. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите полную поверхность параллелепипеда.   [Ответ: 94]
51. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна 12. [Ответ: 70]
52. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 3 и 4, если она образует с плоскостью основания угол 60. [Ответ: 10]
53. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 8 и 12 и образуют угол 30 а боковое ребро равно 6. [Ответ: 336]

Прямая призма

54. В прямой треугольной призме стороны основания равны 3,4 и 5, а высота равна 6. Найдите ее полную поверхность.[ Ответ: 84]
55. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна (). [Ответ: 12]
56. По стороне основания  a=2 и боковому ребру  b=3 найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы. [Ответ: 32]
57. Найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна , а диагональ боковой грани 5. [Ответ: 66]
58. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 13, а боковое ребро 5. [Ответ: 180]
59. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, если сторона основания 3, а диагональ боковой грани 5.      [Ответ: 72]

Задачи повышенного уровня сложности.

Призма.

1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы. [Ответ: ]
2. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения.                [Ответ: ]
3. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм. [Ответ: на 59,5см2]
4. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а второй – правильной треугольной призмы с той же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм.     [Ответ: на см2]
5. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй – правильной четырехугольной призмы. Сравните площади поверхностей этих призм. [Ответ: 18 - см2]

Пирамида.

1. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. (3.24)
2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:
3. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:144]
4. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 300. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ: ]
5. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро – 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 [Ответ: ]

6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: ]
7. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ:  ]
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 75]
9. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 150]
10. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию. [Ответ: 13,5]