Методы решения задач на сечения многогранников
творческая работа учащихся по геометрии (10 класс) по теме

Конкурс научных проектов школьников в рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

Методы решения задач на сечение многогранников

Секция: «Математика»

                                                                                                  Автор:

                                                                                                   Колядина Валентина Станиславовна

                                                                                                   10 класс, МОУ СОШ №5,

                                                                                                    Научный руководитель:

                                                                                                    Янись Ольга Вячеславовна,

                                                                                                     Учитель математики

г. Краснодар

Колядина  Валентина

10 класс

Краткая аннотация

В своей работе я предлагаю некоторые способы и примеры решений задач на сечение многогранников. Целью работы является показать и объяснить способы решений таких задач. Практическая значимость работы в том, что подобрана система упражнений, которые могут быть использованы в учебном процессе. Приведены рисунки построений сечений многогранников плоскостью.

                           Методы решения задач на сечение многогранников

 Аннотация

Представленная работа посвящена теме методов решения задач на сечение многогранников. Актуальность данной работы обусловлена тем, что при сдаче ЕГЭ в геометрических задачах иногда нужно построить сечение многогранника плоскостью, что вызывает у учащихся затруднения, так как на эту не простую тему уделяется  мало времени и внимания.

Цель исследования: рассмотреть методы решения задач на сечение многогранников.

Понять и увидеть сечение многогранника плоскостью не всем сразу дается. И  поэтому трудно не согласится, что данная тема является актуальной. Для написания данной работы использована методическая литература, научные издания. Данная работа написана на основе изучения теоретического материала, который был применен для выполнения упражнений. Она может быть использована в учебном процессе.

Методы решения задач на сечение многогранников

Колядина

Краснодарский край г. Белореченск

МОУ СОШ №5

10 класс

Введение

Одна из самых трудных тем в курсе стереометрии является тема «Позиционные задачи. Построение сечений многогранников». При сдаче ЕГЭ в геометрических задачах часто нужно построить сечение  многогранника плоскостью и найти его площадь. Поэтому целью данной работы является набор системы упражнений, необходимых для приобретения навыков, построения сечения многогранников, а также теоретический материал, позволяющий обосновать применяемые методы. В ней содержатся задачи, которые могут быть использованы учителями математики на уроках и во внеурочное время.

Пересечения многогранников плоскостью.

Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников. Стороны многоугольников образуют ребра, а плоскости многоугольников – грани многоугольника. Поэтому задачу по определению линии пересечения поверхности многогранника плоскостью можно свести к многократному решению задачи по нахождению:

а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости)

б) точки встречи прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью.

Основной типовой задачей на эту тему в школьной программе является построение сечения по трем, заданным на поверхности многогранника, точкам, принадлежащим секущей плоскости.

Аксиоматический метод построения сечений

 Метод следов

Пример1.

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС

Решение.

а) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости  (ВСС'). (рис.1, приложение I)

2) Находим точки В'' и С', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ' и СС'. Точки В' и С' - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ' и СС'.

3) Так как точки В'' и Р лежат в плоскости (АВВ'), то прямая В''Р лежит в этой плоскости.Проведем ее. Отрезок В**Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

4) Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС'), то прямая РС'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

5) Находим точку V, в которой прямая РС'' пересекает ребро А'С'. Это след плоскости (PQR) на ребре А'С'.

6) Так как точки Q и V лежат в плоскости (А'В'С'), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB''PV - искомое сечение.

б) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (А'В'С'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А'В'С').(рис.2 приложение I)

2) Находим точки D' и Е', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А'В' и B'С'. Так как точка D' лежит на ребре А'В', отрезок QD' - след плоскости (PQR) на грани А'В'С'.

3) Так как точки D' и P лежат в плоскости (АВВ'), то прямая D'P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ'), а отрезок D'P - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

4) Так как точки Р и Е' лежат в плоскости (АСС'), то в этойплоскости лежит прямая РЕ'. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

5) Находим точку С''=PE''CC'. Так как точка С'' лежит на ребре СС', то отрезок РС'' - это след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

6) Так как точки Q и С'' лежат в плоскости (ВСС'), то прямая QC'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'), а отрезок QC''- след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'. Итак, мы получили многоугольник QD'РС'' - это и есть искомое сечение.  

в) 1) Из трех заданных точек Р, Q и R никакие две не лежат в какой-нибудь одной из плоскостей граней призмы, поэтому найдем основной след плоскости (PQR) (т. е. линию пересечения плоскости (PQR) с плоскостью (АВС), выбранной в качестве основной). Для этого сначала найдем проекции точек Р, Q и R на плоскость (АВС) в направлении, параллельном боковому ребру призмы. Так как точка Р лежит на ребре АА', то точка Р' совпадает с точкой А. Так как точка Q лежит в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости через точку Q проведем прямую, параллельную прямой ВВ', и найдем точку Q', в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС. Так как точка R по условию лежит в плоскости, выбранной в качестве основной, то точка R' совпадает с точкой R.(Рис.3 приложение II )

2) Параллельными прямыми РР' и QQ' определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PQ и Р'Q' и найдем точку S=PQ пересекает P'Q'. Так как точка S' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости (PQR), и так как точка S' лежит на прямой Р'Q', то она лежит в плоскости (АВС). Таким образом, точка S' является общей точкой плоскостей (PQR) и (АВС). Это значит, что плоскости (PQR) и (АВС) пересекаются по прямой, проходящей через точку S'.

3) Так как точка R совпадает с точкой R', то точка R - это еще одна общая точка плоскостей (PQR) и (АВС). Таким образом, прямая S'R - основной след плоскости (PQR). Проведем эту прямую. Как видим из рисунка, прямая S'R пересекает ребра АВ и ВС основания призмы соответственно в точках S''и S'''.

4) Так как точки S''' и Q лежат в плоскости (ВСС'), то прямая S''' Q лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'). А отрезок S''' Q, - след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'.

5) Аналогично находим отрезок S'' Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

6) Находим далее точку С,= S''' Q СС'. Так как точки С'' и Р лежат в плоскости (АСС'), то прямая С''Р лежит в плоскости (АСС'). Проведем эту прямую, являющуюся следом плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

7) Находим точку F=PC'' пересекает A'С' и получаем затем отрезок PF - след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

8) Точки Q и F лежат в плоскости А'В'C', поэтому прямая QF лежит в плоскости (А'В'C'). Проведем прямую QF, получим отрезок QF - след плоскости (PQR) на грани А'В'C'. Итак, мы получили многоугольник QS'''S''PF- искомое сечение.

3 а м е ч а н и е. Покажем другой путь нахождения точки С'', при котором не находим точку пересечения прямой S''' Q с прямой С'С''. Будем рассуждать следующим образом. Если следом плоскости (PQR) на прямой СС' является некоторая точка V, то ее проекция на плоскость (АВС) совпадает с точкой С. Тогда точка S''''= V'P'пересекает VP лежит на основном следе S'R плоскости (PQR). Строим зту точку S'''' как точку пересечения прямых V'P' (это прямая СА) и S'R. А далее проводим прямую S''''Р. Она пересекает прямую СС' в точке V.

Пример 2.

На ребре МВ пирамиды МАВСD зададим точку Р, на ее грани MCD зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью (PQR), точку R которой зададим:

а) на ребре МС;
б) на грани МАD;
в) в плоскости (МАС), вне пирамиды.

Решение.

a) Cледом плоскости (PQR) на грани МВС является отрезок РR, а ее следом на грани MCD является отрезок RD', где точка D' - это точка пересечения прямой RQ с ребром МD. Ясно, что плоскость (PQR) имеет следы на гранях MAD и МАВ (так как с этими гранями плоскость (PQR) имеет общие точки). Найдем след плоскости (PQR) на прямой МА. Сделаем это следующим образом:

1) Построим точки Р', Q' и R' - проекции точек Р, Q и R из центра М на плоскость (АВС), принимаемую, таким образом, за основную плоскость. (Рис. 4, приложение II)

2) Далее построим точки S'= РQ пересекает Р'Q' и S'' = PR пересекает P'R' и проведем прямую S' S'' - основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в некоторой точке V, то точка V' совпадает с точкой А и точка S'''= VQ пересекает V'Q' лежит на прямой S' S''. Другими словами, в точке S''' пересекаются три прямые: VQ,, V'Q'' и S' S''. Две последние прямые из этих трех на чертеже уже есть. Поэтому точку S''' мы построим как точку пересечения прямых V'Q' и SS''.

4) Проведем прямую QS''' (она совпадает с прямой VQ, так как прямая VQ должна проходить через точку S''', т. е. точки V, Q и S''' лежат на одной прямой).

5) Находим точку V, в которой прямая QS'''пересекает прямую МА, Точка V - это след плоскости (PQR) на ребре МА. Далее ясно, что отрезки PV и VD' - следы плоскости (PQR) соответственно на гранях МАВ и MAD. Таким образом, многоугольник PRD'V - искомое

сечение.

б) 1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P', Q' и R' — проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость (АВС). Центром этого внутреннего проектирования является точка М.(Рис.5, приложение III.)

2) Строим прямую S'S'' — основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в точке V, то точка V' — проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М— совпадает с точкой А, а прямые S'S'', V'R' и прямая VR, точка V которой пока нами не построена, пересекаются в точке S'''. Находим эту точку S'''=V'R' пересекается S'S'' .

4) Проводим прямую RS''', и находим точку V=RS''' пересекается MA. Дальнейшее построение ясно. Искомым сечением является многоугольник PVD'Т.

в) Пусть точка R расположена в плоскости (МАС) так, как это показано на рисунке 6(приложение III).

1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P', Q' и R' — проекции соответственно точек P, Q и R на плоскость (ABC). (центром проектирования является точка М.)

2) Строим прямую S'S'', — основной след плоскости (PQR).

3) Находим точку V — след плоскости (PQR) на прямой МА. Точка V' — проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М— совпадает в этом случае с точкой А.

4) Находим точку S'''= P'V' пересекается S'S'', а затем и точку V =PS''' пересекается МА.

5) Получаем след РV плоскости (PQR) на плоскости (МАВ).

6) Находим точку T — след плоскости (PQR) на прямой МО. Ясно, что точка Т' в этом случае совпадает с точкой D. Для построения точки T строим точку S''''=Q'T' пересекается S'S'', а затем точку T=QS''''пересекается MT'.

7) Совокупность следов PV, VT, ТС', и С'P, т. е. многоугольник PVTC' — искомое сечение.

Решение задач

Задача №1. 

Существует ли сечение куба, являющееся правильным шестиугольником?

Решение

Существует. Середины указанных на чертеже ребер куба являются вершинами правильного шестиугольника. Это следует из того, что стороны этого шестиугольника параллельны сторонам правильного треугольника PQR, а их длины вдвое меньше длин сторон этого треугольника. (рис. 7, приложение IV)

Задача №2. 

Существует ли сечение октаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Решение

Существует. Проведем плоскость, параллельную двум противоположным граням октаэдра и равноудаленную от них. Легко проверить, что сечение этой плоскостью будет правильным шестиугольником. (рис. 8, приложение IV)

 Задача №3. 

Существует ли сечение додекаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Решение

Существует. Возьмем три пятиугольные грани о общей вершиной А и рассмотрим сечение плоскостью, пересекающей эти грани и параллельной плоскости, в которой лежат три попарно общие вершины рассматриваемых граней (рис. 9, приложение V). Это сечение является шестиугольником с попарно параллельными противоположными сторонами. При повороте на 120° относительно оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной секущей плоскости, додекаэдр и секущая плоскость переходят в себя. Поэтому сечение является выпуклым шестиугольником с углами 120°, длины сторон которого, чередуясь, принимают два значения. Для того чтобы этот шестиугольник был правильный, достаточно, чтобы эти два значения были равны. Когда секущая плоскость движется от одного своего крайнего положения до другого, удаляясь от вершины А, первое из этих значений возрастает от 0 до d, а второе убывает от d до а, где а - длина ребра додекаэдра. (d - длина диагонали грани (d больше а). Поэтому в некоторый момент эти значения равны, т.е. сечение является правильным шестиугольником.

Задача №4. 

Все грани АВС и АВD икосаэдра имеют общее ребро АВ. Через вершину D проводится плоскость, параллельная плоскости АВС. Верно ли, что сечение икосаэдра этой плоскостью является правильным шестиугольником.

Решение

Нет, не верно. Рассмотрим проекцию икосаэдра на плоскость АВС. Она является правильным шестиугольником (см. рис.10, приложение V). Поэтому рассматриваемое сечение было бы правильным шестиугольником, лишь если бы все 6 вершин, соединенных ребрами с точками А, В и С (и отличных от А, В и С), лежали в одной плоскости. Но, как легко убедиться, это неверно (иначе получилось бы, что все вершины икосаэдра расположены на трех параллельных плоскостях).

Заключение

В ходе выполнения данной работы были изучены методы построения сечений методы построения сечений многогранника плоскостью. Данная работа будет продолжена  в направлении создания электронного справочника по теме «Наглядная геометрия», где будут наглядно представлены  готовые чертежи для решения задач, материала о свойствах прямых и плоскостей в пространстве, углу между двумя плоскостями их решения.

Список использованной литературы

1. Большая Советская энциклопедия
2. Малый энциклопедический словарь Брок Гауза и Эфрона.
3. А. Матросов, А. Сергеев, М.Чаушин, Санкт – Петербург «БХВ – Петербург» 2003 г.
4. В.Н. Литвеенко «Решение типовых задач по геометрии» 10 – 11 Москва «Просвещение» 1999 г.
5. В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин «Задачи по стереометрии» МОСКВА «Наука»,

1989 г.

6. Л.Г. Силаев «Универсальность метода сечений в стереометрии» 1990г. – 1997

Приложение I         

Приложение II         

Приложение III         

Приложение IV         

рис 7

рис 8

Приложение V         

рис 9

                                                             рис 10