Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №33

с углубленным изучением отдельных предметов г.Н Новгорода

Курзанова Марина Александровна, учитель математики.

Геометрия 10 класс.

(углубленное изучение математики)

Тема урока "Красота в математике или применение векторов к доказательству стереометрических теорем".

Эпиграф:  Красота есть не только в искусстве. Красота – всюду. Есть она и в науке, и в особенности в ее жемчужине – математике.

                                                          А.В. Волошинов «Математика и искусство»

Цель урока: открыть красивые доказательства стереометрических теорем при помощи векторного метода.

Задачи:

Образовательные:

1. Изучить доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости и прямой и обратной теорем о трех перпендикулярах векторным методом.

   Развивающие:

2. Развивать умения доказывать теоремы и решать задачи разными способами;
3. Развивать умения находить преимущества и недостатки разных способов.

   Воспитательные:

1. Воспитывать познавательную активность учащихся и любовь к математике .

Оборудование, наглядность.

1.  Презентация PowerPoint
2. Проектор
3. Компьютер

Тип урока:

4. Систематизация знаний, исследовательский тип

        Форма деятельности учащихся на уроке:

5. Индивидуальная, коллективная

 Ход урока.

-Здравствуйте, ребята!

Эпиграфом к уроку я взяла строки автора книги « Математика и искусство»: «Красота есть не только в искусстве. Красота – всюду. Есть она и в науке, и в особенности в ее жемчужине  – математике».

Вот с этой темой мы попробуем связать урок геометрии.

Совсем недавно почти все мы наряжали елку для новогоднего праздника. Но прежде чем вешать на нее игрушки нужно, чтобы елка стояла прямо.

Слайд №1

-Какая теорема стереометрии позволяет утверждать, что установленная таким образом елка действительно стоит перпендикулярно полу?

- Сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости

-Сформулировать определение перпендикулярности прямой и плоскости

-А теперь я предлагаю вспомнить «не совсем простое» доказательство этого признака. Для этого мы воспользуемся слайдом №2

Слайд №2

- А теперь рассмотрим еще одно доказательство  этого признака с помощью векторов. (Ребята вписывают доказательство в канве-таблицу)

-Для доказательства вспомним чему равно скалярное произведение  перпендикулярных векторов?

-Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам

-А если векторы коллинеарные, как можно один вектор выразить через другой?

Слайд №3

 -Теперь попробуйте, докажите теоремы о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна прямой или плоскости

Слайд №4

(На каждой парте листочки двух цветов: либо зеленого, либо синего. Нужно, работая в паре заполнить соответствующую таблицу либо по теореме первой, либо по теореме второй. Задание в парах одинаковое.

Учитель раздает листочки с правильным решением.

Затем учащиеся, сидящие за 2 вариантом встают, делают шаг вперед и садятся. Тем самым теперь имеем пары с разным заданием. Каждый выполняет задание соседа, сверив свое решение с его решением.)

Вывод урока: соединив трудное доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости и трудный векторный метод мы получили красивые доказательства стереометрических теорем. Тем самым еще раз доказав, что красота есть в математике.

Рефлексия: на отрезке с помощью крестика оцените уровень своей деятельности на уроке, если нижний конец отрезка соответствует 0 , а верхний 10 баллам

Литература:

1. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики/ Е.В. Потаскуев, Л. И. Звавич
2. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений с профильным изучением математики/ А.С. Атанасян и др.
3. «Математика»/Приложение к газете «Первое сентября»
4. Сайт Е.М. Савченко http://le-savchen.ucoz.ru/news/2012-07-22-46
5. Материалы Интернета

Урок геометрии, 10 класс

Красота в математике или применение векторов к доказательству стереометрических теорем

Эпиграф:  Красота есть не только в искусстве. Красота – всюду. Есть она и в науке, и в особенности в ее жемчужине – математике.

                                       А.В. Волошинов «Математика и искусство»

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1)  

               a ⊥ p,

               a ⊥q,

               p ∩q=O                                                  

               a ⊥ α

2)     векторное доказательство признака                                

a ⊥ p⇒

a ⊥q⇒

Вариант  зеленый

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

                                                      a || b    ⇒

       a ⊥ c   ⇒…⇒…

      b⊥c

…………

b … c.

Вариант   синий

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

                                                     a || b    

a ⊥α   

 b⊥α

Урок геометрии, 10 класс

Красота в математике или применение векторов к доказательству стереометрических теорем

Эпиграф:  Красота есть не только в искусстве. Красота – всюду. Есть она и в науке, и в особенности в ее жемчужине – математике.

                                       А.В. Волошинов «Математика и искусство»

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1)  

               a ⊥ p,

               a ⊥q,

               p ∩q=O                                                  

               a ⊥ α

2)     векторное доказательство признака                                

a ⊥ p⇒

a ⊥q⇒

Вариант  зеленый

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

                                                      a || b    

       a ⊥ c  

        b⊥c

Вариант  синий

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

                                                     a || b      ⇒

a ⊥α     

 b⊥α

 Пусть  х- произвольная прямая плоскости α,  тогда  

a ⊥α ⇒ а…х ⇒…⇒…

…)…..)=

b…х ⇒b… α.