Объём и площадь цилиндра, пирамиды, конуса и шара.
презентация к уроку (геометрия, 11 класс) по теме

Слайд 1

Рассмотрим правильную пирамиду P А 1 A 2 …A n (см. Рис. 12). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота пирамиды РО , а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро P А 1 – гипотенуза треугольника О P А 1 , в котором ОР = h , ОА 1 = R . По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому: P А 1 = P А 2 = … = P А n Рис. 12 .

Слайд 2

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды P А 1 A 2 …A n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как А 1 A 2 …A n – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой . На рисунке 12 отрезок PE – одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Теорема Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство Боковые грани правильной пирамиды равные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь боковой поверхности пирамиды S равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d . Вынося множитель 1/2d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана.

Слайд 3

Усеченная пирамида Возьмем произвольную пирамиду P А 1 A 2 …A n и проведем секущую плоскость β , параллельную плоскости  основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B 1 , B 2 , … , B n (рис. 13). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n - угольники и А 1 A 2 … A n , B 1 B 2 … B n ( нижнее и верхнее основания ), расположенные в параллельных плоскостях, и четырехугольники A 1 A 2 B 2 B 1 , A 2 A 3 B 3 B 2 , … , A n A 1 B 1 B n ( боковые грани ), называется усеченной пирамидой . Отрезки A 1 B 1 ,A 2 B 2 ,…,A n B n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А 1 A 2 … A n и B 1 B 2 … B n обозначают так: А 1 A 2 … A n B 1 B 2 … B n . Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 13 отрезок CH является высотой усеченной пирамиды. Рис. 13

Слайд 4

Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – трапеции . Рассмотрим, например, боковую грань A 1 A 2 B 2 B 1 (см. рис. 13). Стороны A 1 A 2 и B 1 B 2 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость PA 1 A 2 пересекается с параллельными плоскостями  и β . Две другие стороны и этой грани не параллельны – их продолжения пересекаются в точке P . Поэтому данная грань – трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани – трапеции. Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами . Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Слайд 5

Объём пирамиды Рис. 14.1 Обозначим через x абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью O x а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x) через S , h и x . Заметим, что треугольники A 1 B 1 C 1 и ABC подобны. В самом деле, A 1 B 1 ||AB , поэтому Δ O A 1 B 1 подобен Δ O AB . Следовательно, A 1 B 1 /AB = OA 1 /OA . Теорема Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, а затем – для произвольной пирамиды. 1. Рассмотрим треугольную пирамиду OABC с объемом V , площадью основания S и высотой h . Проведем ось O x (Рис. 14.1 где OM – высота пирамиды) и рассмотрим сечение A 1 B 1 C 1 пирамиды плоскостью, перпендику - лярной к оси O x и, значит, параллельной плоскости основания.

Слайд 6

Прямоугольные треугольники ОА 1 М 1 и ОАМ также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О ). Поэтому . Таким образом, . Аналогично доказывается, что и , . Итак, треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, , или . Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0 , b = 0 , получаем

Слайд 7

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h (на рисунке 14.2 показано разбиение для пятиугольной пирамиды). Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 1/3 h , получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т. е. Площадь основания S исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3 Sh . Теорема доказана. Рис. 14. 2

Слайд 8

Следствие Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h , а площади оснований равны S и S 1 , вычисляются по формуле:

Слайд 9

Конус Рассмотрим окружность L с центром O и прямую OP перпендикулярную к плоскости  от этой окружности. Через точку P и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью (рис. 15), а сами прямые – образующими конической поверхности . Точка P называется вершиной , а прямая OP – осью конической поверхности . Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей называется конусом (Рис. 16). Круг называется основанием конуса , вершина конической поверхности – вершиной конуса , отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, – образующими конуса , а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса . Ось конической поверхности называется осью конуса , а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, – высотой конуса . Отметим, что все образующие конуса равны друг другу. Основание конуса Боковая поверхность конуса Образующие конуса Вершина конуса Ось конуса Рис. 15 Рис. 16

Слайд 10

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке 17 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета AB . При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы AC , а основание – вращением катета BC . Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым . Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O 1 расположенным на оси конуса. Радиус r этого круга равен PO 1 /PO · r , где r – радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников POM и PO 1 M 1 Рис. 17

Слайд 11

Площадь поверхности конуса Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (Рис. 18.1 и 18.2). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. Рис. 18.2), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь S бок . боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r . Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конус (см. Рис. 18.2) – равна l 2 / 360  ·  , где  – градусная мера дуги ABA ´ , поэтому S бок . = l 2 /360  ·  . (1) Выразим  через l и r . Так как длина дуги ABA ´ равна 2  r (длине окружности основания конуса), то 2 r = l /180  ·  , откуда  = 360 r/ l . Подставив это выражение в формулу (1), получим S бок . = rl . (2) Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади S кон. полной поверхности конуса получается формула S кон. =  r ( l + r) . Рис. 18. 2 Рис. 18.1

Слайд 12

Объём конуса Обозначим радиус этого круга через R 1 , а площадь сечения через S(x) , где x – абсцисса точки M 1 . Из подобия прямоугольных треугольников OM 1 A 1 и OMA следует, что OM 1 /OM = R 1 /R или x/h = R 1 /R , откуда R 1 = R/x ·h . Так как S(x) = R 1 2 , то S(x) = R 2 /h 2 ·x 2 . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0 , b = h , получаем . Площадь основания конуса равна  R 2 , поэтому V = 1/3 Sh . Теорема доказана. Теорема Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство Рассмотрим конус с объемом V , радиусом основания R высотой h и вершиной в точке O . Введем ось O x так, как показано на рисунке 19 ( x – ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси O x является кругом с центром в точке M 1 пересечения этой плоскости с осью O x . Рис. 19

Слайд 13

Следствие Объем V усеченного конуса, высота которого равна h , а площади оснований равны S и S 1 , вычисляется по формуле:

Слайд 14

Шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (Рис. 20). Данная точка называется центром сферы (точка O на рисунке 20), а данное расстояние – радиус сферы . Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R . Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы . Очевидно, диаметр сферы равен 2R . Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра (Рис. 21). Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром , радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром O содержит все точки пространства, которые расположены от точки O на расстоянии, не превышающем R (включая и точку O ), и не содержит других точек. Рис. 2 0 Рис. 2 1

Слайд 15

Объём шара Обозначим радиус этого круга через r , а его площадь через S(x) где x – абсцисса точки M . Выразим S(x) через x и R . Из прямоугольного треугольника OMC находим . Так как S(x) = r 2 , то S(x) = ( R 2 – x 2 ) . Заметим, что эта формула верна для любого положения точки M на диаметре AB т. е. для всех x , удовлетворяющих условию: - R ≤ x ≤ R . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a = - R , b = R , получаем Теорема доказана. Теорема Объем шара радиуса R равен 4/3R 3 . Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось O x произвольным образом (Рис. 22). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси O x и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M . Рис. 2 2

Слайд 16

Список используемой литературы / [ Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 10 – 11: учеб. для общеобразоват. учреждений М.: Просвещение, 2011. – 256 с. АтанасянЛ.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011.

Слайд 1

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №12» на тему: Объём и площадь Тимофеева Галина Александровна МОУ «СОШ № 12» г. Щекино Тульской области Щёкино 2012 год Презентация цилиндра, пирамиды, конуса и шара

Слайд 2

Введение Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нам тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов. За единицу измерения объёмов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см 3 . Аналогично определяются кубический метр (м 3 ), кубический миллиметр (мм 3 ) и т. д. Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём каждого тела выражается поло -жительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объём тела, зависит от выбора единицы измерения объёмов, и поэтому еди -ница измерения объёмов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объёмов взят 1 см 3 и при этом объём V некото -рого тела оказался равен 2, то пишут: V = 2 см 3 .

Слайд 3

Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объёмов и её частей, сколько и другое тело, т. е. имеет следующее свойство объёмов: 1 0 . Равные тела имеют равные объёмы. Замечание Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии два тела называются равными, если их совместить наложением. Примерами равных тел являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями, две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты. В каждом из указанных случаев равенство двух тел можно доказать на основе аксиом наложения и равенства фигур. Рассмотрим ещё одно свойство объёмов, пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки. Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел. Итак, 2 0 . Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Слайд 4

Свойства 1 0 и 2 0 называют основными свойствами объёмов . Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников. В дальнейшем на основе этих свойств мы выведем формулы для вычисления объёмов цилиндра, конуса, шара. Предварительно отметим одно следствие из свойств 1 0 и 2 0 . Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объёмов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьем каждое ребро этого куба на n равных частей ( n – произвольное целое число) и проведём через точки разбиения плоскости прямые, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьётся на n 3 равных маленьких кубов с ребром 1/n . Так как сумма объёмов всех маленьких кубов равна объёму всего куба (свойство 2 0 ), т. е. равна 1, то объём каждого из маленьких кубов равен 1/n 3 (объёмы маленьких кубов равны друг другу по свойству 1 0 ). Итак, объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3

Слайд 5

Цилиндр Рассмотрим произвольную плос –кость  и окружность L с центром O радиуса r , лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведём прямую, перпендикулярную к плоскости . Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверх -ностью , а сами прямые – образующи -ми цилиндрической поверхности . Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно к плоскости  , называется осью цилиндрической поверхности . Поскольку все образующие и ось перпендикулярны плоскости  , то они параллельны друг другу. Рассмотрим теперь плоскость β , параллельную плоскости  . Отрезки образующих, заключённые между плоскостями  и β , параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости  , заполняют окружность L . Концы же, расположенные в плоскости β , заполняют окружность L 1 с центром О 1 радиуса r , где О 1 – точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической поверхности. Рис. 1 Основание цилиндра Основание цилиндра Ось цилиндра Боковая поверхность цилиндра Образующие цилиндра

Слайд 6

Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β , получается из окружности L параллельным переносом на вектор ОО 1 . Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО 1 окружность L перейдёт в равную ей окружность L 1 радиуса r центром в точке О 1 . Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1 называется цилиндром (Рис. 1). Круги называются основаниями цилиндра , отрезки образующих, заключённые между основаниями, – образующими цилиндра , а обрисованная ими часть цилиндрической поверхности – боковой поверхностью цилиндра . Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра . Как уже отмечалось, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра , а радиус основания – радиусом цилиндра .

Слайд 7

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сто -рон. На рисунке 2 изображён цилиндр, по лученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB . При этом боко -вая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD , а основания – вращением сторон BC и AD . Рис. 2

Слайд 8

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (Рис. 3), две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым . Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом . В самом деле, секущая плоскость (плоскость γ на рисунке 4) отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. Рис. 3 Рис. 4

Слайд 9

Замечание. На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На рисунке 5.1 изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На рисунке 5.2 изображён цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их называют иногда прямыми круговыми цилиндрами . Рис. 5.1 Рис. 5.2 Окружность Парабола

Слайд 10

Объём цилиндра Говорят, что призма вписана в цилиндр , если основания вписаны в основания цилиндра (Рис. 6), и призма описана около цилиндра , если её основания описаны около оснований цилиндра (Рис. 7). Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра. Рис. 6 Рис. 7

Слайд 11

Будем неограниченно увеличивать число n . При этом радиус r n цилиндра Р n стремится к радиусу r цилиндра Р : r n = r cos 180 / n при n → ∞ . Поэтому объём цилиндра Р n стремится к объёму цилиндра Р : . Из неравенства (1) следует, что и . Но . Таким образом: V =  r 2 h . (2) Обозначив площадь  r 2 основания цилиндра буквой S , из формулы (2) получим: V = S · h . Теорема доказана. Теорема Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Доказательство Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n - угольную призму F n , а в эту призму впишем цилиндр Р n (Рис. 8). Обозначим через V и V n объёмы цилиндров Р и Р n , через радиус цилиндра r n. Так как объём призмы F n равен S n · h , где S n – площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F n , которая, в свою очередь, содержит цилиндр Р n , то V n < S n · h < V . (1) Призма Цилиндр Цилиндр Рис. 8

Слайд 12

Площадь цилиндра На рисунке 9.1 изображён цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей AB и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости  (Рис 9.2). В результате в плоскости получится прямоугольник ABA ´ B ´ . Стороны AB и A ´ B ´ прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей AB . Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра . Основание AA ´ прямоугольника является развёрткой окружности основания цилиндра, а высота AB – образующей цилиндра, поэтому AA ´ = 2 r , AB = h , где r – радиус цилиндра, h – его высота. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки. Так как площадь прямоугольника ABA ´ B ´ равна AA ´· AB = 2 r h , то для вычисления площади S бок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула: S бок = 2 r h . Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Рис. 9 .1 Рис. 9 . 2

Слайд 13

Пирамида Рассмотрим многоугольник А 1 A 2 …A n и точку P , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников (Рис 10): P А 1 A 2 , P А 2 A 3 , ,…, PA n А 1 . (1) Многогранник, составленный из n – угольника А 1 A 2 …A n и n треугольников (1), называется пирамидой . Многоугольник А 1 A 2 …A n называется основанием , а треугольники (1) – боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки P А 1 ,P А 2 ,…,PA n – её боковыми рёбрами. Пирамиду с основанием А 1 A 2 …A n и вершиной P обозначают так: P А 1 A 2 …A n – и называют n - угольной пирамидой. На рисунке 11 изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида – это тетраэдр . Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 10 отрезок PH является высотой пирамиды. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней. Очевидно, S полн. = S бок + S осн.

Слайд 14

Рис. 11 Рис. 10

Слайд 15

Правильная пирамида Пирамида называется правильной , если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания , является ее высотой (Рис. 12). Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками .