Урок: "Решение задач.Вычисление объемов тел".
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме
Представлены карточкидля работы в группах к уроку .К каждой задаче приведено рещение.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 610.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Задачи.
К-1
№1
В конус вписан шар. Найти объём шара, если образующая конуса равна l и наклонена к основанию конуса под углом а.
№2
Основание четырёхугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной b и углом между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с основанием угол . Найти объём пирамиды.
К-2
№1
В шар объемом дм3 вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом 60о. Найти объем цилиндра.
№2
В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра симметрии основания до бокового ребра равно d. Двугранный угол при ребре с основанием равен . Найти объем пирамиды.
К-3
№1
В цилиндр вписан шар. Найти объем шара, если объём цилиндра равен 7.5 см3.
№2
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом . Высота пирамиды равна Н. Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный . Найти объём пирамиды.
К-4
№1
В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к основанию конуса под углом .
№2
В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен. Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно а.
К-5
№1
Около шара описан усеченный конус, площадь одного основания которого в 4 раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей усеченного конуса и плоскостью основания.
№2
Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол а, а сторона основания равна b.
К-6
№1
Найти отношение поверхности шара к поверхности вписанного в него куба.
№2
Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое ребро равно 4 см. Определить полную поверхность и объем параллепипеда.
Решение.
К-1
№1
В конус вписан шар. Найти объём шара, если образующая конуса равна l и наклонена к основанию конуса под углом а.
Дано: В конус АВС вписан шар, АС=l,
Найти: V
Решение: Рассмотрим осевое сечение конуса. Обозначим OD = R и проведем отрезок AO, который является биссектрисой угла А (так как точка О равноудалена от сторон АВ и АС)
Из прямоугольного ∆АОD .
Из прямоугольного ∆ACD
Следовательно , и
Ответ: куб. ед.
№2
Основание четырёхугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной b и углом между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с основанием угол . Найти объём пирамиды.
Дано: ABCD – прямоугольник, АС=ВD=b,
Найти: VABCDE
Решение: , где . Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
, так как в прямоугольнике d1=d2=b, то . Из прямоугольного ∆АОЕ h=OE=AO. Следовательно,
Ответ: куб. ед.
К-2
№1
В шар объемом дм3 вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом 60о. Найти объем цилиндра.
Дано: ABCD – цилиндр, дм3
Найти: Vцил.
Решение: Рассмотрим осевое сечение, перпендикулярное основаниям цилиндра, проведем ОЕСD и обозначим ОС=R, AB=CD=h, OE=r.
Так как ∆OCD правильный, то h=CD=OC=R, r=OE=Rcos30o=R.
Так как , то , отсюда
Ответ: объем цилиндра равен
№2
В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра симметрии основания до бокового ребра равно d. Двугранный угол при ребре с основанием равен . Найти объем пирамиды.
Дано: ABCDS-правильная пирамида,
Найти: Vпир.
Решение: Обозначим сторону основания AB=a, высоту пирамиды OS=h, боковое ребро AS=l. Из прямоугольного ∆EOS cos Так как и из прямоугольного ∆BES по теореме Пифагора то откуда Вычислим площадь прямоугольного ∆AOS двумя способами: Так как по теореме Пифагора из прямоугольного ∆ABC то а . Приравняв площади, получим .
Подставим откуда и
Ответ: Vпир.= куб. ед..
К-3
№1
В цилиндр вписан шар. Найти объем шара, если объём цилиндра равен 7.5 см3.
Дано: в цилиндр А1А2 В2В1 вписан шар. Vцил=7,5 см3.
Найти: Vшара.
Решение: Обозначим радиус цилиндра r, а высоту h. Так как по экватору шар соприкасается с боковой поверхностью цилиндра, то радиус шара тоже равен r. С другой стороны диаметр шара равен высоте цилиндра: h=B1B2=O1O2=2r. Объем шара , а объем цилиндра откуда Подставим в Vшара, получим
Ответ: Vшара=5 см3
№2
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом . Высота пирамиды равна Н. Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный . Найти объём пирамиды.
Дано: В треугольной пирамиде ABCD DA=DB=DC, OD=H,
Найти: Vпир.
Решение: Так как все ребра одинаково наклонены, то основание высоты DO пирамиды ABCD точка О является центром описанной окружности ∆ABC и в силу прямоугольности ∆ABC попадает на середину гипотенузы AB. Обозначим AB=c, BC=a, AC=b. Тогда Из прямоугольного ∆AOD откуда и гипотенуза Из прямоугольного ∆ABC
Ответ: Vпир= куб. ед.
К-4
№1
В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к основанию конуса под углом .
Дано: В конус АВС вписан шар, АС=l,
Найти: V
Решение: Рассмотрим осевое сечение конуса. Обозначим OD = R и проведем отрезок AO, который является биссектрисой угла А (так как точка О равноудалена от сторон АВ и АС)
Из прямоугольного ∆АОD .
Из прямоугольного ∆ACD
Следовательно , и
Ответ: куб. ед.
№2
В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен. Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно а.
Дано: ABCA1B1C1 – правильная призма.
Найти: Sбок. призмы
Решение: Точка D попадает на середину отрезка BC (так как в равностороннем ∆ABC ADBC). Из прямоугольного ∆B1BD по теореме Пифагора высота призмы h=BB1==Из прямоугольного ∆ABD по теореме Пифагора тогда и =
Ответ: кв. ед.
К-5
№1
Около шара описан усеченный конус, площадь одного основания которого в 4 раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей усеченного конуса и плоскостью основания.
Дано:
Найти:
Решение: Обозначим радиус радиуса . Тогда Из прямоугольного ∆AA1C Из прямоугольного AO2O
Подставим найденные значения в формулу двойного угла:
. Отсюда
Ответ: =.
№2
Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол а, а сторона основания равна b.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильный параллепипед, AB=b,
Найти: Vпаралл.
Решение: Из прямоугольного ∆BC1D1 Высота параллепипеда h=CC1 из прямоугольного ∆BCC1 по теореме Пифагора равна
Следовательно,
Замечание: так как легко показать, что Действительно, в силу того, что в ∆BB1C1 катет B1C1 меньше гипотенузы BC1.
Ответ: куб. ед.
К-6
№1
Найти отношение поверхности шара к поверхности вписанного в него куба.
Дано: куб вписан в шар.
Найти:
Решение: Обозначим сторону куба через а, а радиус шара через R. Тогда большая диагональ куба A1C2 будет одновременно диаметром шара, а так как квадрат этой диагонали равен сумме квадратов трех измерений, то
поэтому и Следовательно,
Ответ: =.
№2
Диагонали прямого параллепипеда равны 9 см и см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое ребро равно 4 см. Определить полную поверхность и объем параллепипеда.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямой параллепипед. АС1=9 см, BD1= см, AB+BC+CD+DA=18 см, АА1= 4 см.
Найти: Sполн. паралл. , Vпаралл.
Решение: Обозначим большую сторону основания AB=a, меньшую BC=b, через
По теореме Пифагора из прямоугольного ∆BDD1 а из прямоугольного ∆ACC1 По теореме косинусов из ∆ABD и ∆ABC.
Складывая эти уравнения, получим 2а2+2b2=17+65.
Так как по условию РABCD=2a+2b=18, получим систему
. По теореме Виета найдем корни и соответственно
Так как у нас а>b, то a=5, b=4. Далее, вычитая из второго уравнения системы с косинусами первое уравнение, получим
откуда Тогда и площадь основания .
Ответ: =104 см2, =64 см3.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок решения задач в 7 классе по теме"Расчет массы и объема тела по его плотности".
Урок физики с применением ИКТ способствует развитию умений и навыков оперировать понятием "плотность тела" при решении задач. В ходе урока отрабатывается навык установления связей между фи...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/12/picture-563005-1421080503.png)
УРОК Решение логических задач табличным способом. Решение логических задач графическим способом
На уроке используется технология обучения в сторудничестве - работа обучающихся в мини-группах. Презентация к уроку....
Конспект урока "Решение задач на вычисление объема пирамиды"
Урок комплексного применения знаний, умений и навыков по теме "Объем пирамиды"...
![](/sites/default/files/pictures/2017/10/31/picture-966603-1509439493.jpg)
Урок. Решение задач по теме "Нахождение массы. объема. плотности тел"
7 класс.Презентация . Нахождение массы , объёма, плотности тел. Конспект урока"Решение задач по теме « Нахождение массы, объема, плотности тел». с использование региональног...
![](/sites/default/files/pictures/2014/03/11/picture-267642-1394527816.jpg)
Урок решения задач для 10 класса по теме: «Закон сохранения полной механической энергии». Урок – практикум по решению задач.
Урок решения задач для 10 класса по теме: «Закон сохранения полной механической энергии».Урок – практикум по решению задач....
![](/sites/default/files/pictures/2014/08/14/picture-81835-1408019222.jpg)
Урок "Решение практических задач по теме: ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ ФИГУР" 5 класс
Урок "Решение практических задач по теме: ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ ФИГУР", 5 класс...