Урок геометрии в 7 классе с применением элементов технологии « Развитие критического мышления через чтение и письмо»
методическая разработка по геометрии (7 класс) на тему

Урок геометрии в 7 классе с применением элементов технологии

« Развитие критического мышления через чтение и письмо»

Калинина Елена Игоревна,

учитель математики

ГОУ СОШ №707   г. Москвы

Тема урока Аксиоматическое построение  геометрии. Аксиома параллельности.

Цель урока. Познакомить учащихся с аксиоматическим построением геометрии. Показать важность и значимость аксиоматического построения геометрии на примерах евклидовой и неевклидовой геометрии.

Познакомить учащихся с историей развития аксиоматического построения геометрии.

Ход урока

Личностный отзыв по проведенному уроку.

Урок был проведен в 7 классе . В классе есть учащиеся с различным уровнем математической подготовки, с разной степенью владения общеучебными  навыками. Все ученики старались активно принимать участие  в разных этапах урока. Текст, предложенный для чтения, труден для восприятия некоторыми учащимися, возможно его нужно переработать и сократить. Однако ученики узнали много новой для себя информации, выходящей за рамки школьного учебника. На следующем уроке ряд учащихся подготовили доклады по названным темам. В сочинениях ученики одобрительно отозвались о прошедшем уроке. Предложенная форма работы оказалась эффективной при проработке большого объема информации, новой для учащихся.

Текст, предложенный ученикам для работы на уроке

Евклид и его книга «Начала». V постулат Евклида.

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала».

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

VII – IX – арифметике;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

. . .

Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

V постулат:

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

. . .

6. И половины равных равны между собой.

. . .

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Огромное историческое значение «Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиом.

 «Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет подвергались тщательному изучению. Имеется огромная литература, содержащая комментарии к «Началам».. Особое внимание привлекал к себе V постулат.

V постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое положение. Прежде всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение, содержащееся в V постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты. Во-вторых, формулировка V постулата носит довольно сложный и громоздкий характер. И наконец, третья особенность заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, при изложении первых теорем, V постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го предложения.

Таким образом, применение V постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории: на предложения, доказываемые без помощи V постулата; и на предложения, которые не могут быть доказаны без его использования. Предложения первой категории называются абсолютной геометрией, а второй – образует так называемую собственную евклидову геометрию.

Изложенные особенности V постулата имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, рассматривали V постулат, как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать V постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. В этом и заключалась проблема V постулата Евклида.

Решением этой проблемы занимались многие математики, Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе оказывались предложениями эквивалентными самому постулату. Известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности и не достигших поставленной цели. Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех попыток доказательства V постулата, они всё же не были бесполезны. В результате этих многовековых поисков были выявлены логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату. Например, в современной школьной практике V постулат известен, как аксиома параллельных: «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной».

Безуспешные поиски доказательства 5-го постулата сыграли ту положительную роль, что помогли глубже проникнуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь её важнейших предложений. Эти попытки подготовили почву для возникновения у передовых учёных предположения, что V постулат недоказуем при помощи остальных аксиом геометрии Евклида.

Здесь повторилось замечательное явление, неоднократно наблюдавшееся в истории науки вообще и математики в частности, когда достаточно созревшие новые идеи возникали у нескольких учёных одновременно. В течение первых же десятилетий XIX в. проблема 5-го постулата была решена несколькими лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но совершенно не так, как предполагали это прежние учёные: была создана новая геометрия, независимая от 5-го постулата, основанная на замене его утверждением: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. К открытию новой, так называемой «неевклидовой», геометрии пришли три человека:

1) профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856);

2) великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855);

3) венгерский офицер Янош Бояи (1802–1860).

Однако вклад в создание новой геометрии, сделанный этими учёными, весьма неравноценен.

Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни одной строчки по этому вопросу. Гаусс слишком боялся уронить свой огромный авторитет в глазах учёного мира.

Янош Бояи пришёл к открытию неевклидовой геометрии в 1823 г., будучи в возрасте 21 года, но опубликовал свои результаты в 1832 г. (позже Лобачевского) в виде приложения к учебнику математики. Но, непонятый своими современниками, встретивший сдержанное, нечуткое отношение со стороны Гаусса, он впал в глубокое отчаяние. Больше ни одного произведения по новой геометрии Я. Бояи не опубликовал. Остаток жизни он трагически провёл в нужде, неизвестности и полном одиночестве, пережив и Гаусса, и Лобачевского.

 Однако всё сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бояи представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, который всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения своё учение, довёл его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии. Поэтому как с формальной стороны (первое по времени опубликование открытия в 1826 г.), так и по существу первое место среди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой геометрии, следует безраздельно отвести Н. И. Лобачевскому, имя которого и носит созданная им геометрия.

Геометрия Лобачевского так и не была понята и оценена при жизни самого учёного. Но уже через десятилетие после смерти Лобачевского его открытие привлекло всеобщее внимание математических кругов и послужило могучим стимулом к коренному пересмотру взглядов на основания геометрии.

 Это объясняется тем, что к этому времени самим развитием математики была подготовлена почва к правильному восприятию и пониманию идей Лобачевского и к их дальнейшему углублению и развитию.