Пропорциональные отрезки в треугольнике. (открытый урок, 8 класс)
план-конспект урока геометрии (8 класс) по теме
Подобие треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.
Среднее пропорциональное. Теорема Фалеса. Обобщённая теорема Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Пропорциональные отрезки в треугольнике.doc | 191.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Пропорциональные отрезки в треугольнике
Землякова Ольга Владимировна, учитель математики
Осетрова Надежда Евгеньевна, учитель математики
Одинец Ирина Валентиновна, учитель математики
Лосева Алевтина Николаевна, учитель математики
Статья отнесена к разделу: Преподавание математики
1-й урок
Повторение тем “Подобие треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.
Среднее пропорциональное. Теорема Фалеса. Обобщённая теорема Фалеса”
Цели:
- Закрепить навык определения хода решения задач;
- Закрепить умение проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;
- Закрепить умения и навыки решения типичных задач по данной теме.
Задачи:
- Закрепить умения и навыки решения типичных задач по данной теме;
- Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
- Развитие познавательной и исследовательской деятельности учащихся.
Оборудование: мультимедийный проектор.
Ход урока
I. Устно:
1) Формулировки всех теорем, связанных с пропорциональными отрезками.
2) Задачи по готовым чертежам (на мультимедийном проекторе).
№ 1. Найти подобные треугольники на чертежах:
Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.
№ 2. Найти подобные треугольники на чертежах:
Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.
№ 3. Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Отрезки, отсечённые прямыми на одной стороне угла, относятся как . Как относятся отрезки, отсечённые на другой стороне угла?
Сформулировать обобщённую теорему Фалеса.
№ 4. Дано: АВС – прямоугольный (С=90°), СD – высота, АD=4 см, ВD=9 см.
Найти: а) СD; б) АС; в) ВС.
Сформулировать теорему о средних пропорциональных.
II. Решение задач:
- В треугольнике АВС АВ=8 см, ВС=9 см, АС=2 см. На сколько надо продолжить сторону АС до пересечения с биссектрисой внешнего угла при вершине В?
- В треугольнике АВС ВС=а, АС=b, АВ=с. Докажите, что если , то А=2В.
- Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов 2 : 3 и его периметру.
- В трапеции АВСD и , АС=15 см, АЕ=9 см. Найти площадь трапеции.
III. Итог урока:
Объявление отметок и домашнего задания.
2-й урок
“Теоремы Чевы и Менелая”
Цели:
- Формирование исследовательского подхода к решению задач;
- Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории;
- Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая;
- Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому;
- Формирование навыка решения задач “в один шаг” на непосредственное применения изученных теорем.
Задачи:
- Решение задач, подводящих к формулировке теорем Чевы и Менелая;
- Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая;
- Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому;
- Формирование навыка решения задач “в один шаг” на непосредственное применения изученных теорем.
Оборудование: мультимедийный проектор.
Ход урока
I. Решение задачи с помощью обобщённой теоремы Фалеса.
№ 1. В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.
(Указание: через точки N и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ; и через точки М и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ).
Эту задачу можно решить более рациональным способом, но для этого нужны дополнительные знания.
II. Доклад о математике Джованни Чева.
Джованни Чева — итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении “О взаимопересекающихся прямых”. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка. Чева был инженером-гидравликом и в качестве такового несколько раз служил правительству Мантуи. Смерть его последовала во время осады Мантуи. Считался выдающимся автором в области экономики — первым проницательным математическим писателем по этому предмету. Его брат, Томмазо Чева, математик (1648—1737), иезуит. В 1695 г. изобрел инструмент для механического деления угла на три части.
III. Определение чевианы и доказательство теоремы Чевы.
Определение. Чевианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой на противоположной стороне этого треугольника.
Теорема Чевы.
Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки . Отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a¦AC. Пусть прямые АА1 и ВВ1 пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников АА1С и МА1В1 по двум углам (А1СА = А1ВМ как накрест лежащие и ВА1М = АА1С как вертикальные) имеем: . (1)
Аналогично из подобия треугольников АС1С и ВС1N по двум углам (С1СА = С1NB и С1АС = С1BN – как пары накрест лежащих): . (2)
Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам (ОСА = ONP и ОАС = OMN) получаем . (3)
Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств (1), (2) и (3), получим необходимое равенство.
Достаточность.
Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 проходят через одну точку.
Пусть O – точка пересечения отрезков АА1 и СС1, а C2 – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что .
Сравнивая с условием теоремы, получим . Следовательно, точки C2 и С1 совпадают.
IV. Решение задач.
№ 2. Решить задачу №1 с помощью теоремы Чевы.
№ 3. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
V. Презентация о математике Менелае Александрийском.
VI. Доказательство теоремы Менелая. (Доказательство ведётся с помощью мультимедийного аппарата в программе “Живая геометрия”).
VII. Решение задач.
№ 4. В треугольнике АВС точка М – середина АВ, точка N такая, что BN : NC = 3 : 2.
Прямая МN пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение КС : АК.
№ 5. В треугольнике АВС отрезки AD и ВЕ, проведённые из вершин А и В к сторонам ВС и АС соответственно, делятся точкой пересечения Q в соотношении AQ : QD = 7 : 5, BQ : QE = 3 : 4. В каков отношении точки D и Е делят сторону треугольника?
VIII. Итог урока:
Объявление отметок и домашнего задания.
3-й урок
Решение задач по теме “Пропорциональные отрезки в треугольнике”
с использованием теорем Чевы и Менелая
Цели:
- Уйти от традиционных подходов к решению задач, приводящих к громоздким преобразованиям.
- Сформировать умения и навыки применять теоремы Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.
- Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории.
- Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при решении задач, а также логического перехода от одного шага к другому.
- Формирование умения решать выделенные подзадачи.
Задачи:
- Уйти от традиционных подходов к решению задач, приводящих к громоздким преобразованиям.
- Сформировать умения и навыки применять теоремы Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.
- Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при решении задач, а также логического перехода от одного шага к другому и умения решать выделенные подзадачи.
- Формирование навыков работы в группах.
Оборудование: мультимедийный проектор.
В результате учащиеся должны:
- прочно усвоить теоремы, связанные с данной темой;
- уметь решать задачи, связанные с данной темой, рациональным способом;
- повысить качество знаний.
Ход урока
I. Повторить формулировки теорем Чевы и Менелая.
II. Работа в группах (4 группы по 5-6 человек).
- Каждая группа получает задачу на данную тему и решает её.
- Обсуждение решений задач каждой группы по готовым чертежам (готовит учитель на мультимедийном проекте).
- Выработка рационального способа решения каждой задачи.
Задачи для урока:
№ 1. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК = 1 : 3, а на стороне ВС – точка L так, что CL : BL = 2 : 1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 2. (Ответ: 3)
№ 2. В треугольнике АВС, площадь которого равна 5, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК : ВК = 2 : 3, а на стороне АС – точка L, делящая её в отношении AL : АС = 5 : 8. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние 1. Найти длину стороны АВ. (Ответ: 5)
№ 3. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К, а на стороне ВС точка М так, что СК : КА = 5 : 1, . Найти СМ : МВ. (Ответ: 6 : 5)
№ 4. На медианах АК, BL и CN треугольника АВС взяты точки Р, Q и R так, что AP : PK = 1 : 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : CN = 9 : 4. Найти площадь треугольника PQR, если площадь треугольника АВС равна 1. (Ответ: )
III. Итог урока.
Выставление оценок группам. Домашнее задание.
Литература
- Б.Г.Зив, В.М. Мейлер “Дидактические материалы по геометрии для 8 класса” (Москва, “Просвещение” 2008 г.)
- Л.С. Атанасян “Дополнительные главы” (Москва, “Просвещение” 2002 г.)
- Д. Шноль, А. Сгибнев, Н. Нетрусова “Система открытых задач по геометрии” (библиотечка “1 сентября” 2009 г.)
- О.Ю. Черкасов “Планиметрия на вступительном экзамене” (изд-во “Московский лицей” 1996 г.)
- В.И. Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева “Уроки геометрии в 7-9 классах” (Москва, “Мнемозина” 2005 г.)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
открытый урок класс насекомые
открытый урок по теме класс насекомые. обобщение...
Сумма углов треугольника. Открытый урок.
Обучающая цель: доказать теорему о сумме углов треугольника;обучить применять доказанную теорему при решении задач, ввести понятие внешнего угла треугольника;Развивающая цель: совершенство...
Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Урок с использованием ЭОР
Цель урока: сформулировать определение пропорциональных отрезков, подобных треугольников, коэффициента пропорциональности, доказать теорему об отношении площадей подобных фигур, уметь применить знания...
Открытый урок (класс КРО) Развитие речи и окружающий мир. Тема "Транспорт"
Урок предназначен для детей 7 класса VIII вида (по программе Баряевой Л.Б). На уроке рассмотрены 4 вида транспорта: наземный, водный, воздушный, подземный...
Презентация Открытый урок класс баяна
Открытый урок в классе баяна тема:«Развитие самостоятельных творческих навыковв обучении игре на баяне»http://yadi.sk/i/jFd5G0NJ3GJD6R...
Открытый урок на тему: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике....
Открытый урок "Класс Млекопитающие. Внутреннее строение млекопитающих"
В данной методической разработке представлен подробный план урока, разработаны подробно этапы урока, представлен дидактический материал....