Замечательные кривые
методическая разработка по геометрии (6 класс) по теме

1. Фамилия, Имя, Отчество, занимаемая должность:

Щудрова Лариса Германовна, учитель математики.

2. Образовательное учреждение, населенный пункт:

МОУ СОШ №1 п. Кавалерово, Приморского края.

3. Название работы, класс (при необходимости):

«Замечательные кривые. Свойства эллипса. Кардиоида.»,

наглядная геометрия, 6 класс.

Здравствуйте, занимаемся мы по учебнику «Математика – 6»  Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, Ф.С. Шварцбург. Я веду кружок «Наглядная геометрия» в 6 «а» классе уже второй год по авторской программе (защита программы прошла как обмен опытом на районном «Фестивале педагогических идей» в октябре 2009 года).

По теме «Замечательные кривые» было проведено несколько занятий. Ребята разбились на группы по 3 человека (по проявленному интересу к определённой кривой), распределили нагрузки, провели исследование. В работе над данной темой учитель преследовал следующие цели:

1. Образовательная – знакомство с эллипсом, гиперболой, параболой,  спиралью Архимеда, кардиоидой, циклоидой, гипоциклоидой, эпициклоидой; развитие представлений о кривых, их  свойствах.

1. Воспитательная – выработка умения работать в группах, коммуникативности, толерантности, способности отстаивать свою точку зрения, самостоятельности.
2. Развивающая – развитие навыков исследовательской работы с  использованием эксперимента, наблюдения, моделирования, проектирования, планирования действий и анализа полученных результатов; умение работать с литературой, другими источниками информации; умения работать с соответствующими инструментами; развитие самостоятельности принятия решений; расширение кругозора, привитие интереса к занятиям математикой.  

Работа над проектом длилась около трёх недель.

Метод: исследование с помощью предметных моделей и компьютера (конструкторы  –  «Планиметрия» и «Окружность»).

Форма: фронтальная работа, работа в парах, групповая и индивидуальная.

Дополнительное оборудование: картон, листы ватмана, круги разных диаметров, бечёвка, кнопки, карандаши, маркеры.

 Затем каждая группа защищала свою работу по примерному плану: постановка проблемы, цели, задачи;

1. изучение теории, связанной с выбранной темой;
2. подбор методов исследования и практическое овладение ими;
3. сбор собственного материала, его анализ и обобщение;
4. собственные выводы.

Лучшие работы (по мнению ребят) были представлены на районный семинар учителей “Проектная технология как фактор повышения качества образовательного процесса” (25 февраля 2011 года), где ученики защищали свои проекты (электронная презентация). Работы получили оценки «хорошо» и «отлично».

Предлагаю вашему вниманию несколько фрагментов занятий по теме «Замечательные кривые».

Учитель – ребята, мы приступаем к циклу занятий на которых вы познакомитесь с несколькими поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии, узнаете о их свойствах.

1. Тема «Эллипс».

1. (Руководитель семинара – Георгий, защита  исследования)

Возьмите плотный лист бумаги (картона), прикрепите к нему в двух точках нитку и натяните карандашом эту нитку. Нарисуйте линию, двигая карандаш и натягивая нитку. Что у вас получилось?

Слайд 2.

Эта линия называется эллипсом (от греческого ἔλλειψις  – недостаток). Название придумал греческий математик Аполлоний Пергский (III – II век до

н. э.), использовал в своей книге «Конические сечения». Между прочим, такое построение эллипса впервые предложил в 1686 году Чирнгауз.

Каким свойством обладают все точки эллипса? (Вспомните как мы строили эту кривую)

Идёт обсуждение, принимаются  высказывания:

«Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами) постоянна»

Что произойдёт, если расстояние между фокусами увеличить? (Проверяем)

Эллипс станет «уже».

Слайд 3.  

А что произойдёт, если фокусы совместить? (Проверяем)

 Нарисуйте эту линию.

Слайд 4.

Если фокусы совпадут, то получится окружность – частный случай эллипса.

 Слайд 5.

По некоторым свидетельствам эллипс , гиперболу и параболу открыл в IV веке до н.э. ученик Евдокса Менехм (около 360 года до н.э.). Есть мнение, что эти кривые были известны ещё раньше. Во всяком случае Менехм изучал свойства эллипсов, гипербол и парабол и использовал их при решении задач. Это дало основание Эратосфену назвать эти кривые триадой Менехма. После Менехма коническими сечениями занимались многие учёные, в частности Аристей, Евклид, Архимед и другие, но завершённую теорию этих кривых дал Аполлоний.

Слайд 6.

Где в нашей жизни мы можем встретить эллипс?

Идёт обмен мнениями. Ребята приводят различные примеры:

1. когда мы режем наискосок колбасу, огурец (цилиндр), то в сечении получится эллипс, эллипс можно получить и как сечение конуса плоскостью. Поэтому их и называют коническими сечениями. Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры, и теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии.
2. Эллипс имеет самое непосредственное отношение к Вселенной. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллиптическим орбитам, причём Солнце находится в одном из фокусов. А ещё, если сделать  зеркало в форме эллипса и поместить в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе. Существует красивая легенда: во время осады Сиракуз римский флот был сожжён защитниками города, которые при помощи зеркал и отполированных до блеска щитов сфокусировали на них солнечные лучи по приказу Архимеда. Легенда была дважды опровергнута в телепередаче «Разрушители легенд» (16 и 46 выпуски). Существует мнение, что корабли поджигались метко брошенными зажигательными снарядами, а сфокусированные лучи служили лишь прицельной меткой для баллист. Однако эксперимент греческого учёного Иоанниса Саккаса (1973) показал иное. Он использовал 70 медных зеркал и с их помощью успешно поджёг фанерную модель римского корабля с расстояния 50 м. Только вследствие измены Сиракузы были взяты римлянами осенью 212 года до н.э. При этом Архимед погиб.

          Слайд 7.

Подведём итог занятия:

Вывод:

1. Полученная кривая называется эллипсом.
2. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами) постоянна.  
3. Чем больше расстояние между фокусами (при неизменной длине нитки), тем “уже” эллипс.
4. Если фокусы совместить, то эллипс превратится в окружность.

1. Окружность частный случай эллипса.

Слайд 8.

Учитель – Ребята, понравилось вам занятие? Что нового узнали, чему научились?

На следующих занятиях мы познакомимся с другими замечательными кривыми...

Всем огромное спасибо! Молодцы! До новых встреч.

Слайд 9.

1. 2. Тема «Кардиоида».

1. (Руководитель семинара – Софья, защита  исследования)

Слайд 2.

Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку А, наиболее удалённую от центра первого круга. Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте, какую линию опишет точка А. Начертите эту линию. Что она напоминает?

Слайд 3.

Это кардиоида. Такое название она получила из-за схематичного сходства с сердцем (по гречески  καρδία — сердце,  εἶδος — вид). Название придумал итальянский математик Джованни Кастильони (1708 – 1791).

Сколько оборотов сделает второй круг, к тому времени, когда он вернётся в первоначальное положение?

Если пренебречь силой трения, то конечно один оборот, так как длины окружностей равны между собой.

А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Попробуем?

Слайд 4.

А если точку взять в центре окружности?

Слайд 5.

Получатся концентрические окружности.

А что если наружный круг взять меньшего радиуса (например, меньше в два раза)?

Слайд 6.

  Если к = R : r, в данном случае к = 2, то кривая называется нефроида (от греческого nefros – почки и которую мы часто видим на поверхности налитого в чашку чая или кофе, когда сквозь жидкость падает косой луч света из окна или от расположенного где-нибудь в стороне источника света). Её назвали так в конце XIX века за сходство с почками. Впервые свойства нефроиды изучал в XVII  веке саксонский дворянин Э.В. Чирнгауз.

Слайд 7. Слайд 8.

Все эти кривые относятся к эпициклоидам (от греческих epi –  на, над, сверх, при, после и  kykloides  – кругообразный).

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали, с которыми мы познакомимся позднее.

Слайд 9

Подведём итоги:

Вывод:

1. Если радиусы внешней и внутренней окружности совпадают и точку брать на самой окружности, то получится кардиоида.
2. Внешняя окружность прокатится ровно один раз по внутренней,  равного с ней радиуса.
3. Если же точку взять внутри круга, отличную от центра, то получится  улитка Паскаля.
4. Если же точку взять в центре внешнего круга, то получатся концентрические окружности.
5. Когда радиус внешнего круга вдвое меньше радиуса внутреннего круга, то получается нефроида.
6. Если радиус внешнего круга взять втрое (вчетверо и т.д.) меньше внутреннего, то получим эпициклоиду с тремя, четырьмя и т.д. лепестками.
7. Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды.
8. Кардиоида часто используется в технике для устройства кулачковых механизмов, для преобразования равномерного вращения в возвратно-поступательное движение.

Слайд 10.

Учитель – Ребята, понравилось вам занятие? Что нового узнали, чему научились?

На следующих занятиях мы познакомимся с другими замечательными кривыми...   Всем огромное спасибо! Молодцы! До новых встреч.

Слайд 11.

Список используемой литературы:

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2007. - 189 с.

2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Книга для учащихся 10-11 кл. Общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение АО “Учебная литература”, 1996. - 320 с.

3. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4 – 8 кл. Средней школы. - М.: Просвещение, 1988. - 160 с.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

5. Рослова Л.О. Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5 – 6 классов. Курс лекций. Педагогический университет “Первое сентября”.