«Замечательные кривые»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Щелканная средняя общеобразовательная школа»

Новоселицкого района Ставропольского края

фамилия, имя, отчество автора: Копылова Валентина Михайловна

должность: учитель математики

название учреждения: МОУ СОШ №6

название работы: «Замечательные кривые»

по  предмету: математика

класс 10 класс

Содержание:

1. Введение.
2. Основная часть.

                2.1     Циклоида.

                2.2    Спираль Архимеда.

                2.3    Эллипс.

                2.4    Улитка Паскаля.

                2.5    Кривая Коха.

                2.6    Кардиоида.

3. Заключение.
4. Приложение.
5. Список литературы.

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. В школьном курсе математики не изучаются замечательные кривые и их свойства, которые широко используются в жизни.

Цель работы: собрать материал по свойствам, применению и построению замечательных кривых, составить компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики и факультативных занятиях.

Объект исследования: кривые и их свойства.

Гипотеза: Использование данного материала на уроках математики расширяет кругозор учащихся по свойствам кривых.

Практическая значимость: материал работы по замечательным кривым поможет учителям красочно и доступно продемонстрировать учащимся  практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных школьных инструментов и подсобного материала.

Введение

  Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко можно заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже только с помощью прямых линий. Формы большей части предметов содержат в себе более сложные элементы кривых линий и поверхностей. Здания, машины, механизмы, мебель, одежда, посуда – все содержат в себе эти элементы.

     Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и  встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрала эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на уроках, на факультативных занятиях расширяет кругозор учащихся, развивает пространственное представление, мышление.  В школьном курсе математики рассматриваются кривые – гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах  эллипса, циклоиды, улитки Паскаля, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что учащимся полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни.  И моё мнение такое, что в школьный курс математики необходимо ввести понятие и свойства эллипса, так как это отправная тема в изучении кривых, которая расширяется и теоретически обосновывается  только в 11 классе при изучении тем «Конус» и «Цилиндр».

 С замечательными кривыми я познакомилась, черпая информацию из справочников, энциклопедий и конечно из Интернета. Собрав весь необходимый материал по теме, я приготовила презентацию, которая поможет при проведении факультатива по математике

 «Геометрическое моделирование окружающего мира». В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривала в трех направлениях:

• Теория – определение кривой и её замечательное свойство.
• Практика – как построить ученику кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.
• Приложение – практическое применение кривых в жизни человека.

                                                     Основная часть.

Циклоида.

Представим, что по прямой линии без скольжения катится круг. Проследим за траекторией, которую опишет при этом точка  А, взятая на окружности этого круга. Начертим получившуюся кривую (рис.1)

Она называется циклоидой (что по- гречески значит « кругообразная»). Циклоида обладает многими замечательными свойствами. Вот одно из них. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А и В ( А выше чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что желоб должен быть прямолинейным. Но это не так

Может быть желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI -  XVIIвв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз (рис2)

Мы знаем, что часы с обычным маятником не могут идти точно, ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. По какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды. Понятно, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка – есть окружность. В приведенном случае искомой кривой является перевернутая циклоида.

С циклоидами связан один интересный парадокс. Допустим, что пассажирский поезд идет из Москвы в Киев. Оказывается в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Этому можно только удивиться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельс, то можно увидеть выступ на колесе, который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельс. Эта самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению своего колеса.

Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею,  будет выглядеть как на рисунке (рис3). Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель.

Спираль Архимеда.

Пусть по радиусу равномерно вращающего диска с постоянной скоростью ползет муравей. Проползая вперед, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Таким образом, путь муравья представляет кривую. Она называется спиралью Архимеда

 ( в переводе с латыни спираль означает « изгиб», « извив»). Эта кривая впервые была изучена Архимедом. Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов ( рис4). Все знают, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол, но если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей. По спирали Архимеда идёт, например звуковая дорожка, одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Эллипс ( от др. греческого – недостаток).

Эту фигуру знают все. С ней встречаются в астрономии и географии

 ( траектория движения планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен  мы и не задумываемся.   Действительно о  замечательной  фигуре, обладающей  красивыми и важными свойствами, практически ничего не говорится в школьных учебниках. На вопрос учащимся 6 класса  « что такое эллипс?» одни ответили:  «вытянутый круг», «вытянутая окружность» , другие – «сжатый круг» , «сжатая окружность», третьи  пытались объяснить, что это овал, правда не понимая, что это за кривая. Несколько учащихся попытались нарисовать эллипс, но у них ничего не получилось.

 Эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем  нам кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов., кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму. У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самое неожиданное применение.  В форме эллипса можно изготовить журнальный толик или соткать ковер.

А у садоводов свой способ применения эллипса: в землю втыкают два колышка, крепят веревку к колышкам (один конец к одному второй к другому), веревку оттягивают в сторону и вычерчивают эллипс с помощью палки.

 Эллипс обладает еще одним замечательным свойством. Так если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместив в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в одном фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шепота, «потусторонних»  звуков.

  Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находится в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находиться рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Все точки эллипса обладают одним свойством:

Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами эллипса) постоянна.

Улитка Паскаля

Улитка Паскаля была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля). Улитку Паскаля можно построить, если взять точку не самой катящейся окружности, а внутри неё, сместив в сторону от центра (рис. 5)

 Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. Такие механизмы отличаются плавностью возвратно-поступательного движения стержня

( например, в механике автомашин).

                                                  Кривая Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы

жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений. Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники. треугольника. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге (рис.6)

Кардиоида

КАРДИОИДА. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»).

ПРАКТИКА: Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку  А, наиболее удаленную от центра первого круга (рис.7). Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному,  и понаблюдайте, какую линию опишет точка А.

Заключение

Применение замечательных кривых широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.                  

Весь собранный мною материал по кривым и их свойствам был использован в течение года при проведении факультативных занятий в 6 классе. Я заметила, что на  этих занятиях учащиеся с большим интересом и любопытством изучали предложенный материал, который способствовал повышению познавательной активности учащихся. Ребятам  с удовольствием сами строили эллипс, циклоиды и кардиоиды.  На будущее я планирую собрать материал и создать презентацию по следующим замечательным кривым – это  кривая Пеано, спираль Корню, кривая Леви.

                                                           Приложение

рис.1

рис.2

рис.3

рис.4

рис.5

рис.6

рис.7

                                                  Список литературы

1. Маркушевич А.И. Замечательные кривые.- М.:1978, 48 стр. с илл.
2. Бакуш  И.В.  Геометрическое моделирование окружающего мира.-

Москва: Терра, 2009

3 . Дорохов  А.И. Геометрия в моем понимании.-  Москва, 2004

4 . Детская энциклопедия. т16., 2000.

5.  Майер В.А. Все о кривых.- СПб.:Знание,1999.