Приемы решения задач с использованием кинематических связей
учебно-методическое пособие по физике на тему

Приемы решения задач с использованием  кинематических связей

Кинематическими связями называют определенные ограничения свободы передвижения тела или системы тел.

Рассматривая задачи, где такие связи есть, будем придерживаться следующих идей:

1. Идея первая

Известно из определения, что у твердого тела расстояние между любыми двумя его точками сохраняется в случае движения этого тела (жесткий стержень, натянутая нить А это значит, что с какой скоростью первая точка при движении тела удаляется от второй , с такой же скоростью вторая точка приближается к первой. Следовательно, проекции этих скоростей на линию, соединяющую данные точки, должны быть одинаковыми. Иначе твердое тело деформировалось бы.

Пусть таким  твердым телом будет жесткий стержень или натянутая нить. Тогда

2. Идея вторая: использование мгновенного центра вращения. 

Что подразумевает переход в такую систему отсчета, в которой есть неподвижная в данный момент времени точка, относительно которой все остальные точки твердого тела движутся. Тогда проектируя скорость точки С и точки В на прямую СВ получаем уравнение вида:

то есть при движении твердого тела скорости всех его точек направлены перпендикулярно прямым, которые  соединяют точки с мгновенным центром вращения. Фактически тело проворачивается возле мгновенного центра.

Местоположение мгновенного центра вращения можно находить двумя способами:

1. если известны скорости двух точек твердого тела и эти скорости не параллельны, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С  - неподвижна, она является центром вращения, ВС и АС – радиусы окружностей, по которым

вращаются соответственно точки А и В. Скорости υ1 и υ2 перпендикулярны радиусам.

2. Так как тело проворачивается возле мгновенного центра, то  это означает, что у всех его точек одинаковая угловая скорость. А так как линейная скорость связана с угловой соотношением

то следует пропорция: во сколько раз больше расстояние между данной точкой и мгновенным центром, во столько раз больше ее линейная скорость. Поэтому в случае параллельных скоростей  мгновенный центр вращения можно находить через пропорцию скоростей и расстояний.

3. Идея третья

Если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине и по направлению.

4. Идея четвертая

Если при движении одного тела по поверхности другого есть проскальзывание, то проекции скоростей соприкасающихся точек на перпендикуляр, восстановленный к этим двум поверхностям, должны быть одинаковы: по оси Y тела должны двигаться только совместно, иначе будет наблюдаться отрыв одного тела от другого.

                 Задача 1

Стержень длиной L шарнирно соединён с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам. Муфта А движется с постоянной скоростью υ1. Найдите зависимость скорости муфты В от угла α.

Использование первой идеи для решения данной  задачи: проекции скоростей точек А и В на линию АВ должны быть одинаковыми.

Понятно, что точка В скользит вниз, в то время как точка А движется в горизонтальном направлении. Обозначенные на чертеже углы равны как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

Тогда

Применение второй идеи для решения данной задачи: использование мгновенного центра вращения.

Представим, что палочка – это элемент, видимая линия, проведенная на большом твердом прозрачном теле. Так как известны скорости двух точек твердого тела, точек А и В,  и эти скорости не параллельны, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С -  мгновенный центр вращения, вокруг которой точка А вращается по окружности радиуса СА, а точка

В вращается по окружности, радиусом ВС. Угловые скорости этих точек равны. Поэтому можно записать:

Еще один способ решения данной задачи:  переход в другую систему отсчета.

Перейдем  в систему отсчета, которая движется вправо со скоростью V0. (Для перехода от скорости каждой точки надо отнять скорость V0)

Тогда точка А неподвижна, а стенка, и вместе с ней точка В, движется влево со скоростью V0. А так как длина палочки ℓ постоянна, то точка В движется по окружности с линейной скоростью u, которая перпендикулярна радиусу окружности  ℓ. Из треугольника скоростей следует:

Задача 2

Палочка АВ длины ℓ движется в плоскости чертежа так, что в данный момент времени скорость её конца А направлена под углом α, а скорость конца В — под углом β к палочке. Величина скорости конца А равна υ. Определить величину скорости u конца В. Начертить распределение скоростей вдоль палочки.

На основании первой идеи можно утверждать, что проекции скоростей точек А и В на линию АВ одинаковы. А значит, можно записать:

Скорость точки А и точки В можно разложить на составляющие вдоль палочки и перпендикулярно ей. Тогда движение палочки можно представить как два движения: каждая точка палочки движется поступательно со скоростью u∙Cos β  и палочка совершает вращательное движение вокруг точки С. Скорости, перпендикулярные палочке –это линейные скорости. Их величина уменьшается при приближении к точке С. И у точки С только скорость поступательного движения.

Второй способ решения состоит в том, что движение полочки можно рассмотреть только как вращательное движение возле мгновенного центра вращения. Для нахождения мгновенного центра вращения точки С проведем перпендикуляры в точку А к скорости u и в точку В к скорости υ. Все точки палочки имеют одинаковую угловую скорость, но линейные скорости у них разные. Чем меньше радиус окружности, по которым они двигаются возле точки С, тем меньше их линейная скорость. То есть для любой точке выполняется υ ~ r и υ ⊥ r

Задача 3

Лодку подтягивают к крутому  берегу высотой h = 3 м с помощью верёвки, выбирая её со скоростью 60 см/с. С какой скоростью двигалась лодка в тот момент, когда верёвка составляла  с горизонтом угол 600? Найти также ускорение лодки в этот момент.

На основании первой идеи проекции скорости υ и скорости υ0 на нерастяжимую веревку должны быть одинаковыми.

Задача 4

Рабочие поднимают груз с помощью двух канатов, за концы которых они тянут с одинаковыми скоростями υ. Какую скорость u имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплён, равен 2α

На основании первой идеи можно утверждать, что проекции скоростей точек А и В на линию АВ одинаковы. Но точка В движется со скоростью υ, так как с этой скоростью движется конец каната. Значит, и точка А движется с этой же скоростью. Аналогично для второго каната: точка А движется вдоль него со скоростью υ.

Казалось бы, что результирующую скорость точки А можно найти, складывая два вектора υ по правилу параллелограмма…

Но этого делать нельзя! Так как в этом случае, если бы α был равен нулю (α=0), тот канаты были бы параллельны, и груз бы двигался со скоростью 2υ. А последнее, при наличии неподвижных блоков, невозможно.

Скорость U такова, что скорости υ являются ее проекциями на канаты. С учетом этого, можно записать:

Задача 5

Тяжёлый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями υ1 и υ2, составляющими угол α. Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны векторам υ1 и υ2? 

Понятно, что точка А имеет скорость υ1 вдоль первого каната и скорость  υ2 направленную вдоль второго каната. Но, так же, как и в предыдущей задаче, находить результирующую скорость ящика, складывая выше упомянутые скорости по правилу параллелограмма нельзя. В этом случае, если угол α=0, то ящик должен двигаться со скоростью υ1+ υ1, а это противоречить здравому смыслу.

Следовательно, у результирующей скорости проекции на канаты должны быть равны υ1и υ2. Проводим перпендикуляры из концов этих векторов и в  их пересечение утыкается конец результирующей скорости υ, с которой движется ящик. Теперь, зная υ1 и υ, а так же угол между ними надо найти скорость υ. Это геометрическая задача

Точки А, D, С и В лежат на одной окружности и в этой окружности результирующая скорость υ – диаметр. Эта окружность описана возле  треугольника АВD, в котором известны две стороны  υ1 и υ2, и угол между ними. Тогда по теореме косинусов можно определить сторону ВD:

Известно, что диаметр описанной окружности равен:

Задача 6

Колечки О и О' надеты на вертикально закреплённые стержни АВ и А'В'. Нерастяжимая нить привязана к кольцу О, пропущена через кольцо О' и закреплена в точке А'. В тот момент, когда угол AOO' = α, кольцо О' движется вниз со скоростью υ. Найти скорость u0 кольца О в этот момент.

Так как в колечке О' нитка преломляется, то использовать первую идею о том, что проекции скорости точки О' и скорости точки О (проекции скоростей υ и u) на нить О'О  равны, нельзя.

Используем следующий способ решения:  переход в другую систему отсчета.

Перейдем в СО, которая движется со скоростью υ вниз ( то есть, от каждой скорости вычитаем скорость υ). В такой системе отсчета колечко О' останавливается, оно неподвижно, а со скоростью υ в точке А' вытягиваем веревку. Тогда веревка в точке О так же движется со скоростью υ.

Теперь надо перейти в СО, связанную с землей (надо ко всем скоростям теперь прибавить скорость υ, направленную вниз)

Задача 7

Один конец шарнирной конструкции из двух одинаковых звеньев длины 2ℓ закреплён, а другой движется с постоянной скоростью υ по прямой, расстояние до которой от неподвижного конца конструкции равно 3ℓ. Найдите ускорение шарнира в тот момент, когда: 1) левое звено горизонтально, 2) скорость шарнира равна нулю.

1). Так как левый конец звена конструкции закреплен в точке О, то шарнир А будет двигаться по окружности радиуса R=2ℓ и в любой момент времени вектор его скорости будет перпендикулярен ОА. В интересующий нас  момент времени, когда левое звено ОА горизонтально, скорость шарнира А направлена вверх. И конец правого звена, точка 2,  также имеет вертикально направленную скорость υ0 

На основании первой идеи, из-за  не растяжимости правого звена, можно утверждать, что проекции скоростей υ и υ0  на правое звено (то есть вдоль оси у),  равны.  

Но это равенство скоростей имеет место только для данного момента времени.    

Центростремительное ускорение шарнира А может быть определено по формуле:

И направлено это ускорение вдоль левого звена, то есть по оси х. Но так как скорость шарнира А меняется по величине, а не только по направлению, есть и тангенциальное (касательное) ускорение. Согласно условию, надо найти полное ускорение шарнира А.

 Используем переход в другую систему отсчета, которая движется вверх со скоростью υ вместе с правым концом правого звена (от каждой скорости надо вычитать υ, направленную вверх). Тогда, в этой системе отсчета, точка О движется вниз со скоростью υ, а шарнир  А неподвижен. Поэтому вектор его ускорения может быть лишь перпендикулярен правому звену.

Вектор полного ускорения шарнира будет точно таким же и в неподвижной системе отсчета. Проекция вектора полного   ускорения   шарнира   на направление левого звена  (на ось х) представляет собой центростремительное ускорение,  и равна:

Значит, вектор полного ускорения шарнира в момент времени, когда левое звено горизонтально, будет равен:

2). В момент времени, когда скорость шарнира А равна нулю, правое звено будет горизонтально. А вектор ускорения шарнира будет перпендикулярен неподвижному левому звену (рис. б).

Составляющая ускорения  шарнира на правое звено будет равна

Таким образом,

                                                                                    Задача 8

Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно прикреплён к стене, а свободный конец другого стержня двигают перпендикулярно стене с постоянной по величине скоростью υ0. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда угол между стержнями равен 2а.

У левой палочки ее правый конец  движется со скоростью υ, которая перпендикулярно этой палочке. У правой палочки по условию скорость υ0 направлена горизонтально.

На основании первой идеи, из-за  не растяжимости стороны АВ, можно утверждать, что проекции скоростей υ и υ0  на АВ равны.  

Известно, что

Тогда    

Определяем проекции ускорения на координатные оси. На ось х:

Чтобы найти проекцию ускорения на вторую ось, перейдем в СО, которая движется вправо со скоростью υ0.Тогда точка В неподвижна, а стенка  движется влево со скоростью υ0. И для точки А  составляем треугольник скоростей. И в этой системе вектор ускорения шарнира будет перпендикулярен неподвижному левому звену

Задача 9

На неподвижном клине, образующем угол α с горизонтом, лежит груз, прикреплённый к стене перекинутой через закреплённый на клине блок нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени клин начинает двигаться вправо с постоянной скоростью υ. С какой скоростью движется груз, пока он находится на клине?

Предположим, что клин движется вправо со скоростью υ. При этом надо понимать, что расстояние между точками А и В все время меняется, несмотря на то, что веревка нерастяжима. Меняется потому, что есть перегиб на блоке. Перейдем в систему отсчета, которая движется вправо со скоростью υ. В этой системе клин неподвижен, а стенка уходит вправо со скоростью υ. Тогда очевидно, что по неподвижному клину груз может двигаться только вдоль наклонной плоскости, то есть вдоль веревки со скоростью υ. Скорость груза относительно земли, согласно классическому закону сложения скоростей равна:

В этом треугольнике скоростей ( см. рис.)      

Определим результирующую скорость по теореме косинусов:

Задача 10

Нитку тянут со скоростью υ0. Найдите угловую скорость катушки и скорость её центра. Катушка по столу и нитка по катушке не проскальзывают. Внутренний радиус катушки r, внешний — R.

На основании второй идеи, используя понятие мгновенного центра вращения, можно утверждать, что результирующая скорость точки А равно 0, то есть точка А  - это мгновенный центр вращения. Следовательно, все остальные точки катушки проворачиваются возле точки А с одинаковой угловой скоростью, но линейная скорость у них разная, так как разный радиус вращения. Угловая скорость точки С равна:

Угловая скорость точки O равна:

Задача 11

Точка А, лежащая на пересечении рельса с внешним ободом колеса поезда, движется в данный момент времени со скоростью и =5,0 м/с (см. рис). Определить, с какой скоростью и в каком направлении движется поезд, если r = 50 см, R = 56 см.

Скорость реборды u, заданная по условию, является результирующей скоростью двух скоростей: скорости поступательного движения  υпоступ  и линейной скорости υкасат  вращательного движения вокруг точки О. Так как точка А лежит на ободе реборды, эти две скорости численно равны.

Используя вторую идею, можно считать точку С мгновенным центром вращения. Тогда скорость u будет линейной скорость точки А, вращающейся вокруг тоски С, а скорость поступательного движения так же будет линейной скоростью для точки О вращающейся вокруг точки С. И у точки А, и у точки О в этом случае будет одна и та же угловая скорость.

Следовательно, можно записать:

Задача 12

Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью ω, приводит в движение колесо радиуса r, катящееся по неподвижному колесу радиуса R = 3r. Найдите скорость точки В.

Точка С принадлежит всем трем телам: колесу радиусом R, колесу радиусом r, и кривошипу ОА. И скорость точки А такая же, как у кривошипа, вращающегося относительно точки О с угловой скоростью ω. То есть его точка А движется с линейной скоростью, равной:

На основании второй идеи, можно считать точку С мгновенным центром вращения для колеса радиусом r. Тогда точки А и В проворачиваются относительно точки С с одинаковой угловой скоростью:

Задача 13

Тяжёлый диск радиуса R скатывается на двух не растяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены. Нити при движении диска постоянно натянуты. В некоторый момент угловая скорость диска равна ω, а угол между нитями α. Какова в этот момент скорость центра диска? 

 Нить касается диска в точке А. Тогда, согласно третьей идеи, если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине и по направлению. Величина этой скорости

Нить АА1 натянута, это значит, на основании первой идеи, что проекции скоростей точек А и А1 на нить должны быть равными. Но точка А1 неподвижна и нет у нее проекции на нить, значит не должно быть проекции и скорости в точке А. А это возможно только в том случае, если υА перпендикулярна нити.

Аналогично и для второй нити, то есть υВ перпендикулярно нити ВВ1

Значит, скорости  υА  и υВ направлены по радиусу диска. И после этого про нити можно забыть есть диск, две точки на нем А и В, и скорости в этих точках имеют радиальные направления.

Согласно второй идее о мгновенном центре вращения, если скорости двух точек твердого тела и эти скорости не параллельны, а образуют некоторый угол α, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С  - неподвижна, она является центром вращения, ВС и АС – радиусы окружностей, по которым вращаются соответственно точки А и В. Скорости υА и υВ перпендикулярны радиусам. В четырехугольнике угол ОАВ равен углу между нитями α как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами. В этот момент скорость центра диска, то есть скорость точки О равна:

Задача 14

Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которой закреплён, находится на горизонтальной подставке, движущейся поступательно с постоянной горизонтальной скоростью V. Найти скорость оси цилиндра в зависимости от угла α, образуемого нитью с вертикалью. Относительно подставки цилиндр не проскальзывает.

Точка С – точка соприкосновения цилиндра с подставкой. Третья идея заключается в том, что если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине,  и по направлению. Раз подставка движется со скоростью V. то и у точки С такая же скорость. И про доску можно забыть. То есть рассматриваем цилиндр с намотанной на него нитью. Нить касается цилиндра в точке А. В этой точке, так же как в точке С качение без проскальзывания, а это снова означает, что скорость этой точки нити равно скорости этой точки диска. Нить не растяжима,  на основании первой идеи, проекции скоростей точек А и В на нить должны быть равными. Но точка В неподвижна и нет у нее проекции на нить, значит не должно быть проекции и скорости в точке А. Это возможно только в том случае, если υА перпендикулярна нити.

Определим положение мгновенного центра вращения: он лежит на пересечении перпендикуляров ОС и ОА, проведенным к скоростям υА и υС. Мгновенным центром вращения является точка О. Ось цилиндра описывает вокруг мгновенного центра вращения окружность радиусом R1 

У оси цилиндра и точки С одинаковые угловые скорости ω относительно мгновенного центра вращения.

Но точка С описывает вокруг точки О окружность радиусом (R1 +R) 

Задачи для самостоятельного решения

1. Концы А и В стержня АВ скользят по сторонам прямого угла. Как зависит от угла α скорость υ и ускорение а середины стержня, если конец В движется с постоянной скоростью. Длина стержня равна L.
2. Нерастяжимая нить длины L соединяет две бусинки А и В. Бусинку В передвигают с постоянной скоростью υ0  по прямой спице МО. В результате этого бусинка А движется по спице CD, изогнутой в виде дуги окружности радиуса   Найти ускорение бусинки А в тот момент, когда бусинка В будет на расстоянии L от точки О.
3. Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплён на вертикальной стене, а свободный конец другого стержня двигают с постоянной по величине вертикальной скоростью υ0. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда их концы окажутся на одной горизонтали, если угол между стержнями в этом момент равен 2α.

4. Два жёстких стержня длины ℓ каждый шарнирно скреплены в точке А. Стержень В А жёстко закреплён в точке В, а точка С стержня АС может скользить по направляющей ВС. Стержень ВА начинают вращать в плоскости рисунка вокруг точки В с постоянной угловой скоростью ω. Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки С, если в начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей ВС (
5. Бусинка может двигаться по кольцу радиуса R подталкиваемая спицей, равномерно вращающейся с угловой скоростью ω вокруг точки О в плоскости кольца. Определите ускорение бусинки.                          
6. Толпа муравьев тащит кусочек коры в форме равностороннего треугольника. В некоторый момент скорость вершины В равна υ и направлена вдоль АВ, а скорость вершины С направлена вдоль СВ. Найти скорости вершин А и С в этот момент.
7. По окружности радиусом R с постоянной скоростью υ бежит лошадь. На расстоянии r от центра окружности стоит человек. Чему равно максимальное значение скорости сближения лошади и человека?
8. На клине с углом α лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной плоскости, чтобы монета свободно падала вниз?
9. Клин, имеющий угол а, лежит на горизонтальной плоскости. Вертикальный стержень, опускающийся со скоростью υ заставляет клин скользить по этой плоскости. Какова скорость клина?
10. Две параллельные рейки движутся со скоростями υ1 и υ2. Между рейками зажат диск радиуса r, катящийся по рейкам без скольжения. Найдите угловую скорость диска и скорость его центра?
11. Катушка, зажатая между двумя параллельными досками, движущимися со скоростями υ1и υ2, катится по ним без проскальзывания. Найдите угловую скорость катушки и скорость её центра. Внутренний радиус катушки r, внешний — R.

12. Конец нити, намотанной на катушку, тянут с горизонтальной скоростью υ. С какой скоростью двигается центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол α с горизонтом? Внешний радиус катушки R, внутренний r. Катушка по столу и нить по катушке не проскальзывают.
13. Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землёй, касается дна кузова грузовика на высоте Н от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла α между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью υ.
14. Стержень, одним концом шарнирно закреплённый на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня ω. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью

Ответы