ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ
методическая разработка по алгебре по теме

АТТЕСТАЦИОННАЯ РАБОТА

Тема: ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ

Выполнила:  учитель математики средней общеобразовательной школы г. Андреаполя Тверской области Кузьмичева Маргарита Степановна

ЦЕЛЬ: формирование общих приемов решения задач методом составления уравнения

                  ЗАДАЧИ:

1. Выделить содержание обобщенного приема решения задач методом составления уравнения.
2. Запланировать качество усвоения обобщенного приема и соответствующих знаний
3. Подобрать учебные задания для обработки данного метода и установить последовательность этих заданий
4. Обеспечить поэтапную отработку данного метода с целью перенесения его в умственный план.
5. Запланировать формы контроля за действиями на всех этапах его выполнения

Используемые в ходе работы дидактические принципы:

• актуальность;
• доступность;
• систематичность;
• практическая направленность;
• сознательность

 Противоречия в педагогической деятельности:

При традиционной методике математические задачи рассматриваются с целью формирования умений, которым предшествуют теоретические объяснения, т. е. рассматривается только обучающий аспект решению задач не обеспечивает формирования у учащихся общих умений и способностей в решении задач.

Для разыскания истины вещей необходим метод.

Р. Декарт                       Введение.  Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач. Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования решения различных типов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время. За годы обучения в школе, каждый ученик решает более 10 тыс. различных задач. Проблема задач была проблемой исследования в дидактике, психологии, методике. В психолого- педагогической литературе широко обсуждаются различные аспекты использования задач в процессе обучения. В ней раскрываются вопросы: 1 ) сущности содержания обучения понятия «задача», « проблема», «условия задачи», «условие проблемы»;

2. задач как целей и средств обучения;
3. классификация задач;
4. функции задач в обучении;
5. построение системы задач;
6. индивидуализация в обучении;
7. процесса решения задач;
8. теории педагогических задач и теории учебника;
9. совершенствование методики работы учителей.

Знаменитый американский математик и педагог Д. Пойа (1887-1985) был первым после Р. Декарта, кто составил рекомендации по решению задач. После его книги « Как решать задачу» вышло немало книг и статей на эту тему. Считают, что этот прием хорош, так как он учит самостоятельности. Против этого трудно возразить. Однако следует отметить, что такой процесс приобретения опыта слишком длительный. Решение задач есть сложная умственная деятельность. Для того чтобы сознательно овладеть ею, надо, во-первых, иметь ясное представление о её объектах и сущности, во - вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность, и, наконец, в - третьих, знать основные методы её выполнения и уметь ими пользоваться. Применение общих правил и алгоритмов не исключат проб, однако в таком случае пробы совершаются в определенном плане, целенаправленно и потому более рационально. Вот почему мы решили попытаться выявить наиболее общий прием решения задач методом составления уравнения, разработать обучающую программу, реализующую основные положения деятельностной теории усвоения и провести апробацию данной программы на учащихся средней школы (5 - 7 классы).

1. Подходы к изложению темы в современной методике.

Что же такое задача? Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Задача - это один из методов обучения и проверки знаний и практических навыков учащихся. Она является средством развития логического мышления учащихся и требует от них большой умственной работы. Степень сложности задачи зависит от содержания изучаемого вопроса, подготовки и возраста учащихся. Особенно широко применяются задачи в математике, физике, химии, географии. Своеобразие этих задач характеризуется математическим способом их решения. Каждая задача может быть дана учащимся лишь в том случае, если они прочно владеют знаниями, глубоко понимают закономерности предметов и явлений, которые содержатся в условии задачи. Поэтому задача, наряду с другими методами учебной работы, является надёжным средством контроля и проверки глубины и прочности знаний учащихся и их осмысленности, умения оперировать полученными знаниями и пользоваться ими на практике. Что значит решить задачу? Решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ, а требует установит те действия, с помощью которых это можно сделать. В классификации задач наиболее ясно выступают задачи на вычисление, построение и доказательство. Однако эта классификация не охватывает всех видов задач.- В методике преподавания отдельных учебных предметов приводятся более конкретные типы задач. Все виды задач, решаемых в школьном курсе математики можно поделить на различные группы по следующим критериям: по отношению к теории: стандартные, нестандартные; по характеру объектов: практические, математические; по характеру требований: нахождение искомых, преобразование или построение, доказательство или объяснение; по использованию на различных этапах обучения математике: игровые задачи (математические игры), стандартные задачи, методологические задачи, тестовые задачи; по видам действий ученика: задачи на усвоение математических понятий , задачи на запоминание, задачи на применение понятий в типичных ситуациях, задачи на применение понятий в проблемных ситуациях. Рассмотрим, в чем состоит традиционная методика обучения решению задач. Анализ ее показывает, что в ней в той или иной пропорции используется несколько методов. Первый метод состоит в том, что все задачи, которые считается необходимым перерешать с учащимися, разбиваются на многочисленные виды. Число этих видов может быть различным. Для каждого вида задач разрабатывается так называемый типовой способ решения, который учитель подробно демонстрирует на нескольких примерах-задачах. Затем учащиеся решают большое число задач этого вида на уроках у доски или самостоятельно дома. Естественно, что такой метод обучения может сформировать у учащихся лишь частные умения в решении типовых задач, причем эти умения, как правило, весьма нестойкие, которые учащиеся в лучшем случае «доносят» до письменных экзаменов, а потом быстро теряют. И лишь у некоторых наиболее одаренных учащихся вырабатывается интуитивное обобщенное умение поиска способа решения задач. Второй метод состоит в том, что в процессе обучения решается кроме типовых задач большое число разнообразных, так называемых развивающих, задач. Д. Пойа так и советовал: « Если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» При этом К. И. Нешков и А. Д. Семушин указывали, что « наибольшая польза от этих задач получается тогда, когда они достаточно разнообразны по содержанию и способам решения». Как видим, и этот метод ориентирован на способных и одаренных школьников, оставляя в стороне учащихся с менее развитыми способностями. Проанализированы их отношения и построена модель приёма в целом. Оказалось, что более 30 видов задач, отличающихся друг от друга сюжетом, требуют для своего решения ориентировки на такие величины и их отношения, которые характеризуют любой процесс: скорость процесса, время его протекания и продукт. Указанные элементы и их отношения составляют сущность всех задач на «процессы». Поскольку способ решения задачи определяется характером функциональных отношений, описанных в задаче, поэтому успешное решение задач исследуемых авторами статьи, предполагает, по их мнению, усвоение основных понятий, связанных с процессом, и их функциональных отношений. Основные выводы, которые мы сделали после изучения статьи, заключаются в том, что обучение решению задач должно рассматриваться как формирование у учащихся определенного вида умственной деятельности. В центре внимания обучающегося должна быть ориентировочная основа этой деятельности, освоив основные элементы которой, их отношения, он сможет решить любую задачу данного класса самостоятельно. Задачи, которые мы решаем в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других - все объекты математические ( числа, геометрические фигуры, функции и т. д.) Задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называют практическими (текстовыми, сюжетными); задачи, все объекты которых математические, называются математическими задачами. В курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим. Соответствующая математическая задача получается путем отвлечения от конкретных особенностей реальных предметов и заменой их математическими объектами. Сюжетные задачи были, несомненно, первыми задачами, в которых человек столкнулся в процессе познания окружающего мира, в процессе трудовой деятельности. Во всех наиболее древних математических памятниках культуры можно найти различные сюжетные задачи и разные методы их решения. В курсе математики рассматривается два способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины, посредством составления числового выражения и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач. Его мы и рассмотрим более подробно. Впервые учащиеся начинают составлять буквенные выражения по задаче, а затем и сами уравнения в 5 классе. В учебниках пятого класса, в качестве обучения решению задач алгебраическим методом, даётся пример подробного рассуждения при составлении уравнения. Впервые учащиеся начинают составлять буквенные выражения по задаче, а затем и сами уравнения в 5 классе. В учебниках пятого класса, в качестве обучения решению задач алгебраическим методом, даётся пример подробного рассуждения при составлении уравнения. Начинаются рассуждения со слов « пусть х...», затем выстраиваются все отношения между величинами в задаче через словесные рассуждения. Продолжается решение задач методом составления уравнения в 6,7,8 и 9-ых классах. Количество часов в традиционном тематическом планировании для обучения учащихся решению задач алгебраическим методом предполагается следующее:

При изучении материалов учебников, предлагаемых учащимся при изучении перечисленных тем, кроме формы записи и примеров рассуждений, начинающихся со слов «пусть х...», мы нашли наиболее подробный план решения задач методом уравнения и некоторые рекомендации лишь в учебнике 7 кл. под ред. Алимова Ш. А., Теляковского С. А. Решая задачи методом составления уравнения, рекомендуется:

1. обозначить некоторое неизвестное число буквой;
2. используя условие задачи, составить уравнение;
3. решить уравнение;
4. истолковать полученные результаты;

Далее указывается, что для этого необходимо: знать, каким соотношением связаны величины в задаче; знать свойства уравнений; чтобы проверить, правильно ли решена задача, следует, пользуясь условиями данной задачи, составить другую,  которой неизвестный результат становится известным, и решается эта задача.

Кроме того, указания учителей, как правило, учащимися не записываются и не систематизируются. Поэтому все эти рекомендации, рассчитаны только на память, быстро забываются учениками, и решение каждой новой задачи они начинают как бы заново, вспоминая, что делали ранее.

При этом у учащихся могут возникнуть вопросы:

• с чего начинать и как проводить анализ условия задачи;
• как выбрать неизвестное, которое обозначено буквой;
• как составить уравнение, используя условие задачи...

Эти и многие другие вопросы возникают у учащихся при работе над задачей. Ответы на них мы попытались найти в традиционных методиках обучения решению задач методом составления уравнения.

Традиционная методика предполагает два пропедевтических этапа, их суть заключается:

• в формировании:

умения читать текст задачи; умения выделять условия и вопрос задачи; умения оформлять краткие записи текста задач; умения выполнять чертежи ( рис.) по тексту;

• в обучении пониманию учащимися способов словесного выражения

изменения величин и фиксации их в виде математических выражений.

Сам процесс решения задач принято разделять на следующие этапы:

1) Анализ текста задачи:

• расчленение текста задачи на элементарные условия и требования;
• установка объектов условий и их характеристик;
• определение характеристик этих объектов.

2) Выяснение стратегии решения задач:

- устанавливается, будет ли неизвестное, относительно которого составляется уравнение, искомая величина или промежуточная;

        - определяется по какому компоненту основного отношения будет составлено уравнение. Далее осуществляется поиск способа решения на основе построения модели поиска.

3. Осуществление плана решения задачи:

• решение полученного уравнение;
• выполнение проверки по смыслу задачи.

4. Анализ найденного решения задачи: какова главная идея решения задачи; нельзя ли указать другой способ решения; почему способ является рациональным. Кроме этого, нас заинтересовала методика Ф.А. Орехова, который предлагает более подробную схему решения задач методом составления уравнения.

1. этап. Анализ и собственная запись условия задачи. Построение и анализ чертежа, если он необходим. а)        установка объектов наблюдения; б) выделение процессов, подлежащих рассмотрению; в) выявление величин, входящих в каждый процесс; г)        установление функциональной зависимости между величинами и составление формул этой величины;

д)        схематическая запись условия задачи с обозначением неизвестных величин;

2. этап. Выявление основания для составления уравнения
3. этап. Составление уравнений или системы уравнений.
4. этап. Решение уравнения (системы).

V этап. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.

VI этап. Анализ решения: уточнение идей и методов решения, рассмотрение всех вариантов данной ситуации. Поиск более рациональных приемов решения задачи. Задачи же другого плана, в частности на разностное и кратное сравнение величин, Ф.А. Орехов предлагает решать путем вычленения условий. Для этого рекомендуется:

1. выделить число условий;
2. для каждого условия составить выражение;
3. Выделенные этапы решения задач служат своего рода ориентировочной основой, опираясь на которую учитель управляет действиями учащихся. Таблицу можно рассматривать как некоторую схему ООД. На наш взгляд это самые рациональные моменты в предлагаемой методике, несмотря на то, что данная «схема ООД» является неполной и предполагается ее использовать для некоторого класса задач.
4. Интересные моменты, связанные с введением обобщенных средств анализа задач, мы нашли у JI. М. Фридмана. Этапы решения задачи представляются Л.М.Фридманом в следующим виде:

1. Анализ задачи
2. Появление идеи о плане решения
3. Осуществление найденного плана
4. Анализ решения.
5. Содержание этапа анализа задачи:

1. Установление предметной области и её элементов:  
2. а) выявление постоянных и переменных (элементов);  
3. б) установление искомых, вспомогательных и неопределенных неизвестных.
4. Установление отношений между элементами.
5. Установление требования, его уточнения.
6. Установление оператора, его развертывание.

(Оператор задачи - действия над условиями для выполнения требований).

  Применительно к решению текстовых задач школьного курса Л. М. Фридман предлагает примерную форму анализа задач в виде следующей таблицы:

При решении каждой новой задачи предлагается опираться на определенные типы задач и распознавать в решаемой знакомые. А как распознать в задаче ранее решенные? Как свести задачу к простейшим типам задач? Ответы на эти вопросы остаются открытыми.

Табличный способ предлагается и применяется при решении задач не только JL М. Фридманом. Этот способ широко распространен в практике обучения решению текстовых задач как арифметическим, так и алгебраическим способом. В. В Давыдов предлагает записывать условие любой задачи только табличным способом. На начальном этапе обучения решению текстовых задач это имеет очень хороший результат. В среднем звене, считается, что умение учащихся оформить соответствующую таблицу говорит о том, принял ученик задачу или нет. Но вопрос о том, как помочь учащимся принять задачу, остается без ответа.

Близок по схеме анализа условия задачи к JI.M. Фридману Ф.Г. Боданский. Он особо выделяет сам процесс составления уравнения:

-выделение двух основных величин,

-выделение величин необходимых для уравнения,

- вычерчивание схемы,

-составление уравнения, опираясь на установленные связи (вычерченную схему).

Суть предлагаемого им приема состоит в том, что в задаче надо выделить две величины: одна величина( А) и вторая величина (В) , которые равны А=В, причем А - известная величина, а В содержит неизвестное х. Но все задачи, которые предлагает решать Ф. В. Боданский используя этот прием, это задачи на " целое и части т.е. прием распространяется на определенный класса задач.

Проанализировав материалы учебников и ряд основных методик решения задач методом составления уравнения, можно сделать вывод, что все рекомендации по решению задач методом составления уравнения являются недостаточно полными, носят частный характер, основаны на классификации задач по темам, в пределах которой задачи решаются. Так, существует следующая классификация задач, решаемых методом составления уравнения.

1. По типу полученных уравнений;
2. По содержанию.

Например, в 7 классе все задачи, решаемые методом составления уравнения, делятся на группы по содержанию. К.Ф. Муравин предлагает следующую классификацию:

1. задачи на выполнение плановых заданий;
2. задачи на изменение количества;
3. задачи на смеси и сплавы;
4. задачи на площадь прямоугольника;
5. задачи на движение;
6. задачи на движение по реке;
7. задачи на составление системы уравнений.

Анализ подходов к использованию задач в обучении показывает, что до сих пор решение определенных типов задач либо выступает в виде локальной цели, либо рассматривается как средство сознательного усвоения учащимися программного материала. При традиционном обучении математические задачи рассматриваются с целью формирования умений, которым предшествуют теоретические объяснения. В практике обучения, конкретно - методических исследованиях, говоря о роли и месте задач в школьном обучении математики, как правило, подразумевается только обучающий аспект решения задач. Традиционная методика обучения решению математических задач не обеспечивает формирования у учащихся общих умений и способностей в решении задач. В связи с этим особое значение приобретает выработка общих методов решения задач.

2.1 Методика формирования общего приёма решения задач с помощью составления уравнения.

Предметом нашего исследования является формирование общих приемов решения задач методом составления уравнения. Решение задач алгебраическим способом по характеру ориентировочной деятельности существенно отличается от обычного арифметического решения. При алгебраическом способе основное внимание решающего направлено на поиск отношения между явными и неявными значениями величин, а вычисление конкретного значения до поры до времени отступает на второй план. При составлении методики использовались основные положения теории поэтапного формирования умственных действий и понятий. В соответствии с этим необходимо было:  Выделить содержание обобщенного приема решения задач методом составления уравнения.  Запланировать качество усвоения обобщенного приема и соответствующих знаний.  Подобрать учебные задания для отработки данного метода и установит последовательность этих заданий. Обеспечить поэтапную отработку данного метода с целью перенесения его в умственный план.  Запланировать формы контроля за действиями на всех этапах его выполнения.  Первая задача исследования состояла в установлении содержания и структуры ориентировочной основы действий учащихся при решении задач алгебраическим способом. Для этого были выделены все элементы, входящие в неё, затем - проанализированы их отношения и только на этой базе строилась модель приёма в целом. Был проведен анализ задач, решаемых методом составления уравнения в среднем звене ( с 5 по 8 класс), и сделана попытка составить их классификацию, ориентируясь на более общие принципы строения. Результаты анализа сведены в таблицу, которая помогла нам выделить основные компоненты любой задачи и увидеть, за счет чего идет их многообразие. Анализ задач был проведен по следующим параметрам : объекты исследования и их количество, характеристики объектов - величины, зависимость между величинами, количество ситуаций, за счет чего эти ситуации образуются, основания для составления уравнения, вид полученного уравнения. Проведенный анализ показал, что все многообразие задач зависит от сочетания следующих основных единиц структуры задачи: объекта, величины, отношения между величинами. Учитывая различное сочетания единиц структуры задач, мы попытались выстроить схему многообразия задач . Схема позволяет увидеть, что все многообразие задач зависит от: видов объектов, количества объектов или частей одного, видов отношений между однородными величинами.

В результате проведенной работы по анализу задач мы пришли к выводу, что:

1. общая ориентировка в задачах должна включать знания: о видах задач, структуре задач, их компонентах, о фазах решения задач и об общих механизмах решения на каждой фазе;
2. для освоения алгебраического метода решения задач учащиеся должны:

а)        уметь составлять буквенные выражения по тексту задачи, для чего уметь анализировать условия задачи, выделяя объекты исследования, величины, их характеризующие, и отношения между величинами;

б)        должны уметь переводить словесное выражение зависимости между величинами, данное в тексте задачи, на математический язык;  

в)        уметь решать простейшие уравнения.

В связи с этим в разработанной нами методике мы выделяем следующие пропедевтические умения:

1. Формирование математических понятий: объект, величина, отношения между величинами, уравнение.
2. Формирование умения анализировать условия задачи: выделять объекты, величины их характеризующие; указывать изменения величин и отношения между величинами.
3. Формирование умения устанавливать зависимость между величинами, составлять выражение по тексту задачи.
4. Формирование умения решать простейшие уравнения.

Только после формирования этих умений можно перейти непосредственно к обучению решению задач методом составления уравнения.

Итак, мы предлагаем начать с формирования понятия объекта исследования и его характеристик -величин .Учащимся сообщается, что под объектом исследования понимается объект о характеристиках которого говорится в задаче. В качестве объектов исследования могут выступать «одушевленные объекты» - люди, птицы, звери и др., « неодушевленные» объекты - различные предметы обихода, геометрические фигуры, предметы, окружающие нас, и процессы - движение, работа, купля-продажа, составление целого из частей или разбиение целого на части. В обобщенном виде эта информация дается учащимся в виде таблицы. Читая условие задачи и пользуясь таблицей, дети учатся выделять указанные объекты, их количество, целостность.

Следующий этап предварительной работы - введение понятия величины и классификация величин. Отмечается, что величина это характеристика объекта, которая выражена в задаче числовым значением. Для отработки понятия величины учащимся предлагаются задачи-сказки, в которых надо выделить объект исследования и величину, его характеризующую. Ребятам знакомы некоторые величины из начальной школы: длина, масса, количество и др. Необходимо обобщить их разрозненные знания, составив таблицу вида:

Таблица заполняется по мере знакомства с новыми величинами.

Следующим этапом обобщения является классификация величин. Учащимся раздаются таблица-схема, в которой величины классифицируются: по роду, по объекту, по способу задания. Затем сообщается:

1. Классификация величин по роду. Все величины могут быть разбиты на классы однородных и неоднородных величин. Однородные - это величины, которые измеряются одними единицами измерения (массы, длины, скорости ...), т. е. характеризуют одно и тоже свойство. Неоднородные - это величины, которые характеризуют разные свойства и измеряются разными единицами измерения.
2. Классификации величин по объекту. Конкретные величины могут быть разбиты на классы по принципу их отнесенности к объекту: все величины, являющиеся характеристиками одного и того же объекта, образуют один класс; характеристики разных объектов относятся к разным классам. Сначала в качестве объектов рассматриваются исключительно предметы, затем добавляются процессы..
3. Классификация величин по способу задания (описания).
4. Все величины делятся на известные - дано числовое значение и неизвестные - не дано числовое значение.
5. Следующим этапом в подготовительной работе является работа с отношениями между однородными величинами и изменением одной величины, а также отношением величин разного рода. При анализе задач мы получили картину отношений между однородными величинами. Существует 4 основных отношения между однородными величинами (это особенно важно подчеркнуть ребятам): отношение разности, кратности, равенства, целого и частей. Были построены модели этих отношений в виде буквенных равенств с использованием знаков действий. Модели позволили описать отношения с различной смысловой нагрузкой. На отношении кратности следует остановиться более подробно. Кроме традиционного описания зависимости «в больше, меньше» существует еще четыре вида отношения кратности: нахождение части от величины, % от величины, всей величины по величине части, всей величины по величине %. Учащимся сообщается, что по мере изучения математики с 5 по 8 классы отношения между величинами не изменяются, а лишь расширяются «виды» отношения кратности. Вся эта информация была обобщена в таблице-схеме, которая составлялась вместе с учащимися по мере работы над задачами с различными видами отношений.
6. Кроме работы с отношениями между однородными величинами параллельно проводится работа по выделению из текста словесного выражения изменений величины. И здесь также мы предлагаем использовать таблицу, в которую учащиеся будут собирать все виды словесного выражения изменений величин.
7. Прежде чем говорить об отношениях между неоднородными величинами надо более подробно остановиться на понятии процесса и его характеристиках, т. к. анализ содержания задач на работу, движение, наполнение и освобождение бассейнов и др. показал, что в них говорится о процессах: «работа», «движение», «купля-продажа», «составление целого из частей (разбиение целого на части)». Все остальное многообразие задач, отличающихся друг от друга сюжетом, требует для своего решения ориентировки на одни и те же величины процесса. Учащимся важно подчеркнуть, что особым отличием процессов от других видов объектов является наличие трех характеристик у любого процесса: скорость прохождения процесса (V), время его протекания (Т) и продукт- результат процесса (S). Так, для процесса движения: S-расстояние, V- скорость, Т- время; для работы: S- работа, V- производительность, Т- время работы; для процесса «купля продажа»: S-стоимость всей покупки, V- цена одного товара, Т- количество купленных товаров; для процесса «составление целого из частей»: S-целое, V- количество величины S в одной части, Т- количество равных частей. Вся эта информация сведена в таблицу.

Далее учащимся сообщается, что, несмотря на все многообразие задач на процессы, существует одно основное отношение между тремя.

Величина продукта всегда прямо пропорциональна скорости и времени; время, необходимое для получения заданного продукта, прямо пропорционально величине продукта и обратно пропорционально скорости и т. д. Ребята должны усвоить, что по двум из этих элементов всегда можно найти третий.

V=S : Т        |S= V * Т]        T=S : V

Важное значение при решении задач методом составления уравнения является само умение решать уравнение. Если данное умение не сформировано, то необходимо этому уделить специальное время.

Итак, закончив предварительную работу, мы начинам работу с полной программой деятельности по исследованию условия задачи и собственно составлению уравнения при решении задач.

Деятельность учащихся при решении задач подразделяется на следующие этапы. Этапы решения задач:

1. Анализ        условия.
2. Запись условия задачи.

3.Определение основания для составления уравнения.

4. Решение        полученного уравнения.
5. Исследование корней уравнения с целью установления решения задачи.
6. Запись ответа.
7. Анализ решения задачи.

s= V * т

Можно сказать, что этапы эти традиционны при решении задач, но мы предлагаем полную программу деятельности учащегося на каждом из этапов с подробными рекомендациями, и если придется учащимся выбирать, то выбор этот будет целенаправленным. Рассмотрим содержание деятельности учащихся на каждом из этапов.

1.Выполнить анализ задачи, выявив:

1. Объекты исследования:

а)        что является объектом: «предметы» или процессы;

б) объект        представлен в задаче как целое или как части, образующие целое;

в) количество        объектов и их частей.

2. Указать, какие величины характеризуют каждый объект исследования

3.Определить характеристики каждой величины:

 а) изменяется или

          б) не изменяется (если величина изменяется, указать изменения в логическом порядке).

Материализация действия по выделению в тексте необходимой информации осуществлялась путем использования различных знаков: одной, двух прямых линий, одной двух волнистых линий, окружности. Это способствовало не только актуализации компонентов условия задачи, но и осуществлению контроля и самоконтроля за процессом работы с условием задачи. На последующих этапах учащиеся анализировали условия визуально, не используя знаки.

                 2.3аписать условия задачи путем заполнения таблицы.

Форма записи условия задачи может быть различной. Наиболее предпочтительной для учащихся, впервые овладевающими алгебраическим способом решения задачи, является табличная форма. Это связано с тем, что таблица есть средство, орудие мышления при расчленении задачи на существенно важные составные части, а также при синтезе этих частей, необходимом для составления уравнения. Каждая графа или строка таблицы по своему содержанию есть логическая цельная часть задачи. По своему психологическому действию часть таблицы есть сигнал для мышления, указывающий на - то, что определенная часть работы выполнена, этап пройден, и можно подумать о том, что сделано и что следует делать дальше. В законченном виде таблица дает возможность охватить одним взором соотношения между элементами всей задачи, обозреть задачу с целью поиска ее решения. Таблица , схема значительно проще и легче для детей, чем текстовое объяснение хода' решения задачи. Хорошее текстовое объяснение можно составить тогда, когда отчетливо видны все соотношения между частями

задачи и величинами, входящими в неё. Видеть же эти соотношения можно только после решения задачи. В процессе указанной работы учащиеся психологически сближают математическую структуру задачи с ходом собственного мышления. Вот почему мы записываем условие задачи именно при помощи заполнения таблицы. Таблицы могут иметь различный вид. Это зависит от количества объектов исследования и их частей и от количества величин и их изменений. Важно отметить, что в все клеточки таблицы должны быть заполнены числовым значением или числовым выражением или выражением неизвестной величины через х. Выражения составляются с использованием указанных в таблице отношений.

Деятельность учащихся на этом этапе:

1.Оформить таблицу: определить число строк, столбцов и частей

каждого столбца.

а)        количество строк = количество объектов

или

количество частей объекта или

количество ситуаций процесса;

б)        количество столбцов = количество величин;

в)        количество частей одного столбца = количество изменений,

происходящих с это величиной.

2. Внести        в таблицу данные:

а)        внести числовые значения известных величии;

б)        внести известные отношения между однородными величинами;

в)        указать отношения между неоднородными величинами:

( по известным формулам или по смыслу задачи )

3. Указать искомые ( неизвестные) величины.
4. Ввести        х как :

а)        искомую-неизвестную величину;

или

б)        меньшую из неизвестных величин;

или

в)        одну из неизвестных величин, с помощью которой через

известные отношения можно выразит искомую величину.

5. Выразить        через х величины, для которых не дано числовое

значение.

(Все клеточки таблицы должны быть заполнены).

3. Определить основание для составления уравнения.

Результаты исследования задач и их составляющих компонентов позволили выделить основные рекомендации по определению основания для составления уравнения. Суть рекомендаций заключается в том, что уравнение - это равенство и мы должны определить две равные величины, из которых хотя бы одна выражается через неизвестную величину х. Мы предлагаем более короткий путь поиска основания для составления этого равенства.

4. Составить и решить уравнение.

Когда основание для составления уравнения выбрано, остается составить само уравнение. Уравнение - это равенство, которое составляется на основе отношения между однородными или неоднородными величинами. Мы рассмотрели все возможные виды оснований для составления уравнения и для каждого из них механизм получения уравнения.

Если основанием для составления уравнения является отношение между неоднородными величинами, то моделью уравнения служит формула, которая связывает величины S,V,T. Если основанием для составления уравнения служит отношение между однородными величинами, то модель уравнения будет зависеть от вида отношения. Если это отношение разности, то моделью уравнения могут быть равенства:

меньшая величина + разность = большая величина;

большая величина - разность = меньшая величина;

большая величина - меньшая величина = разность.

Основанием для составления уравнения является отношение « целого и частей». Моделью уравнения служат равенства вида: часть + часть +...+ часть = целое; целое-часть ...= часть.

Если основанием уравнения является отношение равенства, то уравнение составляется на основе модели: одна величина (А) = второй величине (В) (неизвестная величина, принятая за х, может входить как в алгебраическое выражение одной из двух величин ( А или В), так и в выражения сразу двух величин.

При выборе основанием для уравнения отношения кратности, мы сталкиваемся с двумя вариантами. Прежде всего, надо определить больше или меньше кратность единицы, в зависимости от этого существует шесть различных моделей построения уравнения ( по три для каждого значения кратности ). Все модели получаемых моделей были собраны в обобщенной схеме и предлагались учащимся в готовом виде. После того, как уравнение составлено, его необходимо решить. Для учащихся, у которых решения уравнений вызывают трудности можно предложить  «пошаговую программу решения линейных уравнений».

5. Исследование корней уравнения с целью установления решения задачи, т. к. в результате решения уравнения могут быть получены корни, которые не будут являться решением задачи (отрицательное значение таких величии, как количество, расстояние и т. д.)
6. Запись ответа задачи.
7. Анализ решен ли задачи, который предполагает выявление рационального способа решения задачи на основе самооценки учащихся своей деятельности.

2.2 Ход эксперимента.

Экспериментальное обучение проводилось в 5 ( 6) «г» и 7 «а» классах школы № 3 г. Андреаполя. Участвовали в эксперименте 25 учащихся Пятого (шестого) класса и 21 учащийся 7 класса. Из 25 пятиклассников: трое - сильные ученики, 18 - среднеуспевающих, 4- слабоуспевающих. Ученики седьмого класса все были средними по успеваемости. Исследование состояло из следующих серий:

1. Констатирующая ( цель - определить исходный уровень знаний и умений учащихся ).
2. Обучающая ( включает в себя формирование предварительных знаний и умений и формирование общего приема, используемого при решении зчдач методом составления уравнения.
3. Контрольная серия эксперимента.

Прежде, чем приступить к обучающей части эксперимента, необходимо выявить реальные возможности обучаемого, установить его исходный уровень знаний, умений и навыков. Определение исходного уровня знаний учащихся, принимавших участие в обучающем эксперименте, проходило по следующим направлениям:

1) Анализ текста задачи с выделением объекта исследование и величин его характеризующих.

2. Перевод зависимости между величинами и изменения величин, данное в словесном виде, на язык математики.
3. Составление числового выражения для решения задачи
4. Решение простейших уравнений. Задания первой группы .

Были заданы вопросы:

1. О чем говорится в данной задаче (что является объектом исследования)?
2. Какие величины характеризуют данный объект. Для ответов на эти вопросы были предложены три задачи:

1. У Васи было тетрадей в клетку на 3 меньше, чем тетрадей в линейку. Тетрадей в клетку у него было 12. Сколько тетрадей в линейку было у Васи?
2. Первый в мире советский искусственный спутник Земли имел массу 83 кг 600г. Масса второго искусственного спутника была на 242 кг больше массы первого и на 818 кг 700 г меньше массы третьего искусственною спутника Земли. Определить массу третьего искусственного спутника.
3. Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 ч, двигаясь со скоростью 54 км/ ч. Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее первой та 22 км, а его скорость будет меньше прежней на 8 км/ч?

Остановимся на анализе этих заданий более подробно, т. к. именно с этого начинается анализ любой задачи.

Особые трудности вызвал первый вопрос по третьей задаче. Только один человек из 25 ответил, что объектом исследования является не мотоциклист, а движение мотоциклиста.

Задания второй группы.

Были выданы карточки с задачами ( по три задачи в каждой) и необходимо было:

1. Выписать отношения между величинами, данное в задаче ( например : «на 10 кг меньше)), « столько же, что и первая)).
2. Выписать изменения величины и заменить их знаками действий (например: «привезли: +»).

В одной из карточек были следующие задания:

1. В троллейбусе ехали 47 пассажиров. На остановке 12 пассажиров вышли, а 15 вошли. Сколько стало пассажиров в троллейбусе?
2. Школьники помогали в уборке моркови и работали 4 дня. В первый день они собрали на 230 кг больше, чем во второй день, и на 150 кг больше, чем в третий. В третий день они собрали столько же, что и в четвертый. Сколько килограммов моркови собрали школьники за все четыре дня, если в первый день они собрали 650 кг?
3. В велогонке Даша, Саша , Андрей и Вася заняли со второго места по пятое. Саша обогнал Диму на 39 сек., но отстал от Васи на 41 сек. Андрей был впереди Васи на 12 сек, но отстал от победителей на 13 сек. В каком порядке финишировали мальчики и с каким отставанием от победителя?

Задания третьей группы:

1. Составить выражение по тексту задачи:

Одному брату х лет, а другой на 5 лет старше. Сколько лет двум братьям вместе?

2. Пусть цена пенала а рублей, а цена ручки Ъ рублей. Какой смысл имеет выражение (а - Ъ)1
3. Составит числовое выражение по тексту задачи:

Масса бегемота 525 кг, а масса его детеныша на 432 кг меньшею. Выразите общую массу бегемота и его детеныша.

Задания четвертой группы:

Предлагалось три уравнения различного вида. Уравнения брались из следующего теста.  

х - 187=98

20 х = 4060

284 +( 352-х) 4 417

198-/? = 76 + 53

180 : (х - 40) = 0

14у-9у = 85

х(7-х) =0

8х : 3 = 103

6х -87 =135

344 : О + 57) – 4

В результате проверки исходного уровня учащихся пятого класса будет решено без ошибок. К сожалению, учащиеся допустили ошибки и в предложенных им уравнениях. Перед нами встала задача помочь ребятам избежать этих ошибок.

Решение задач методом составления уравнения при традиционном планировании начитается во второй половине первой четверти (14-15 октября). Отвод} л'с ; на изучение этой темы 4 часа. В связи с этим, планирование были изменено с целью введения подготовительного материала на уроки., предшествующие теме « Решение задач с помощью уравнения». Таким образом, пропедевтический этап был планомерно распределен на протяжении 21 урока.

Тематическое планирование материала пятого класса.

Пропедевтический этап был начат сразу после определения исходного уровня знаний обучаемых. Так как подготовительная работа проводилась на уроках параллельно с изучением тем традиционного планирования, то она проходила в виде выполнения устных упражнений в начале или конце урока, в виде математических диктантов (10 мин), в виде индивидуальных заданий на карточках как для отдельных учащихся, так и для всего класса. Весь теоретический материал фиксировался учащимися в специальных тетрадях: «Решение задач методом составления уравнения ».

Для отработки понятия « объекта» и его видов на уроках использовалась таблица 3 и с её помощью выполнялись следующие задания:

Учащимся выдавалась карточка:

Выделите объект исследования задачи.

Магазин продал в I день 145 м ткани, во II день в 2 раза больше, чем в I , а в III день на 45 м больше, чем во II день. Сколько метров ткани продал магазин за три дня?

Если затрудняетесь выполнить задание переверните карточку.

I.                

Вторая сторона карточки:

О чем говорится в сказке.

В одном магазине жила - была ткань. В первый день из магазина ушли 145 м ткани, во второй день в 2 раза больше, чем в первый, в третий день убежало ткани на 45 м больше, чем во второй. Сколько метров ткани ушло из магазина за три дня ?.

Задания такого вида помогали учащимся отработать понятие объекта (они научились выделять «предмет» как объект исследования задачи). После выделения объекта из текста задачи, необходимо указать величины его характеризующие. С видами величин ребята встречались в начальной школе, но на это понятие особое внимание не обращалось. После того, как им сообщается, что величина это характеристика, дается классификация величин в виде таблицы. Отработка действия выделения из текста задачи величин, характеризующих объект,  отрабатывалось с учащимися в ходе выполнения следующих заданий.

1.Разбейте величины на группы: по роду, по объекту, на известные и неизвестные.

Величины обозначены заглавными латинскими буквами.

А-13 литров

В-3 яйца .  

С- объем кружки

D-18 карандашей

Е-2 десятка яиц

2 .Разбейте на группы тремя способами данные величины. А- возраст Маши Е- рост Маши

Н- 13 минут

Р- площадь озера К- 20 тонн

В- глубина озера С-236 кг D-150 км

Х- масса Маши.

По

объекту

На известные и неизвестные

По роду

З.Дополните описания величин в списке, используя таблицы. А- площадь

С-

В-

дома

дома

L- высота

F-        банки

         -2 м

| -5 л          -3 кг

масса

Отдельно осуществлялась работа по отработке действия распознавания процесса, его вида и указания величин, его характеризующих. Задания предлагались сначала на индивидуальных карточках, а затем для устной работы класса.

1.Назови процесс, о котором говорится в тексте. Постройте таблицы вида

1) Рабочий до обеда изготовил 36 деталей, а после обеда 48 деталей.

2. Рабочий за 3 часа изготовил 36 деталей, а за следующие 4 часа еще 48 деталей.
3. Бригада грузчиков погрузила в вагон до обеда 3 т картофеля, а после обеда 4 т.
4. Бригада грузчиков погрузила в вагон за 3 часа 3 т картофеля, а за следующие 4 часа еще 4 т.

Сравните тексты и таблицы. Что у них общего. О какой величине не упоминается в тексте задач.

2. Назови процесс, о котором идет речь в тексте задачи. Построй таблицу вида

1)Поезд проехал за 3 часа 240 км, а за следующие 4 часа ещё 360 км.

2) Пешеход прошел часть пути за 3 ч со скоростью 5 км/ч, остальную часть пути за 4 часа. С какой скоростью шел пешеход на второй части пути, если всего он прошел 17 км?

3. Назови         процесс, о котором идет речь в тексте задачи. Построй таблицу.

1. Мальчик купил сначала 3 тетради, заплатив за них а рублей, а затем ещё 4 тетради, заплатив за них 5 рублей.
2. Покупатель купил на рынке сначала 5 кг картофеля, заплатив 6 рублей, а затем 6 кг, заплатив за них 7 рублей.

5. Рабочий до обеда изготовил 36 деталей, а после обеда 48 деталей.
6. Рабочий за 3 часа изготовил 36 деталей, а за следующие 4 часа   еще 48 деталей.
7. Бригада грузчиков погрузила в вагон до обеда 3 т картофеля, а после обеда 4 т.
8. Бригада грузчиков погрузила в вагон за 3 часа 3 т картофеля, а за следующие 4 часа еще 4 т.

Сравните тексты и таблицы. Что у них общего.

4. Назови         процесс, о котором идет речь в тексте задачи. Назови величины его характеризующие.

 На машину погрузили сначала 50 кг свеклы в двух мешках, а затем ещё 125 кг в 5 мешках, а потом погрузили ещё 4 мешка, в которых было 100 кг свеклы. Сколько кг свеклы всего погрузили на машину ?

Материализация действия распознования процесса и его вида осуществлялось при помощи макета - таблицы вида (пустые ячейки таблицы вырезаны, макет накладывается в тетрадь).

Особенно важным моментом при решении задач алгебраическим способом является выделение из условия задач отношений между величинами и перевод словесного выражения этих отношений на математический язык. В качестве предварительной работы по отработке перечисленных действий мы проводили математические диктанты.

При изучении сложения:

1. Записать сумму чисел а и Ь.
2. Записать число на b больше а.
3. Записать число, если известно, что число а меньше его на Ь.

2. При        изучении вычитания:

1. Записать число на р меньше а.
2. Записать число, если известно, что число а больше его на число р.
3. Записать выражение, показывающее, на сколько число р больше числа а.

3. При изучении деления:

4. Записать результат деления числа р на число х.
5. Записать число, в р раз меньше числа а.
6. Записать число, если известно, что число а больше его в х раз.
7. Записать число, показывающее, во сколько раз число х меньше числа а.

4. При изучении умножения:

8. Записать сумму а слагаемых, каждое из которых рано р.
9. Записать число, в а раз большее числа р.
10. Записать число, если известно, что число р меньше его в х раз.

Когда подобный диктант был предложен впервые, то правильно выполненные задания составили 18 % от общего числа заданий. При последнем диктанте эта цифра составила 89%. Параллельно с выполнением этих заданий, ребята составляли словарь словесного выражения зависимости между величинами и их математической интерпретации.

Завершающим этапом предварительной работы является полный анализ условия задачи. На этом этапе отрабатывалась запись условия задачи путем заполнения таблицы. Работая на материализованном этапе, следуя схеме исследования задач, ребята выделяли необходимую информацию в тексте задачи карандашом. Оставаясь на материализованном этапе, учащиеся записывали условие задачи с проанализированным текстом путем заполнения таблицы. Подготовка таблицы к заполнению проводилась при помощи карты готовых таблиц, которая лежала на рабочих столах (приложение) Учащимся оставалось только определить количество строк или столбцов таблицы по количеству объектов, величин или изменений одной величины. Весь теоретический материал постепенно собирался в специальные тетради. Итогом всей предварительной работы был правильный и быстрый анализ условий задач и запись его табличным способом. По мере работы над задачами учащиеся все реже и реже обращались к схеме «Работа с условием» и при работе над 4, 5 задачей перестали пользовать картой готовых таблиц. Все действия по анализу и записи условия задачи в виде таблицы постепенно перешли в умственный план. Рабочую карту « Решение линейных уравнений» мы получили с ребятами вместе. Для этого было решено несколько групп уравнений и выделены основные шаги - действия учащихся при решении уравнения. Кроме этого в карту был помещен основной теоретический материал по теме «Уравнения» и основные виды уравнений. С целью проверки сформированности предварительных знаний и умений у учащихся, им была предложена контрольная работа, в которой каждый ученик должен был выполнить 5 заданий : из 145 заданий 123 (85%) были выполнены верно, без использования схем и карт, 17 заданий , содержали правильное решение, но учащиеся воспользовались теоретической тетрадью ( это разрешалось, но ученик должен был пометить это в работе, оценка за это не снижалась). К решению трёх заданий учащиеся не приступили, объяснив это нехваткой времени. Лишь три задания были выполнены с ошибкой (1%).Полученные результаты свидетельствуют о том, что намеченные планы по овладению предварительными знаниями и умениями, в основном, были сформированы. Стал возможен переход к основной части обучающего эксперимента - формированию обобщенного приема решения задач методом составления уравнения.

При формировании обобщенного приема, по мере решения различных задач, мы постоянно обращались к схеме « Многообразие задач», тем самым пытаясь преподнести учащимся не разрозненные виды задач, а логическую структуру их многообразия.  На всех этапах формирования умения решать задачи алгебраическим способом, осуществлялся контроль, организовывался самоконтроль за выполнением как отдельных действий, так и всей деятельности в целом. Наиболее часто применялся парный контроль. При этом один испытуемый выступал в роли исполнителя, а другой - контролера, в последствии они менялись ролями. Работа в парах сохранялась в течение всего эксперимента. Исполнитель и контролер получали одинаковые задания, но у контролера имелся правильный вариант подробного решения. К тому моменту, когда мы подошли к изучению темы « Решение задач методом составления уравнения», учащиеся 5 класса уже освоили основные элементы, слагающие ориентировочную основу этой деятельности. На первую страницу своей тетради, специально для этого оставленную, при помощи учителя были записаны этапы решения задач методом составления уравнения с подробной программой деятельности учеников на каждом из этапов. . На всех последующих уроках по решению задач схема лежала у учащихся на столах, но в конце второго урока ребятам была предложена задача, которую надо было решить, не заглядывая в схему. Тем учащимся, для кого сделать это было трудно, разрешалось по-прежнему пользоваться схемой. На втором уроке без схемы обошлись только 5 человек (18%), на третьем уроке - 13 (52%), а на контрольной работе - 22 учащихся (88%). Контрольная работа состояла из трех задач, которые включали различные виды отношений между однородными величинами, изменения одной величины и отношения между величинами разного рода.

Был проведен сравнительный анализ результатов контрольной работы в экспериментальном классе и в 5 «в» классе, где шло обучение по традиционной методике. Результаты анализа были следующие: