Разработки к урокам физики для 9 кл. по теме "Кинематика материальной точки"
методическая разработка по физике (9 класс) по теме

                        УРОК 1.    МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ.

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА. СИСТЕМА ОТСЧЕТА.

ТРАЕКТОРИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

К р а т к и й   т е о р е т и ч е с к и й   м и н и м у м

1. Механическое движение и его описаниа.

2. Характеристики движения-координата,траектория,путь,скорость.

3. Материальная точка-модель тела.

4. Критерии замены тела материальной точкой.

5. Система отсчёта.

6. Перемещение.

Механика – наука, изучающая движение тел, состоящее в перемещении их относительно друг друга. Название "механика" происходит от греческого слова mechanik, что означает наука о машинах, искусство постройки машин.

Английский физик Ньютон,опираясь на работы Г.Галилея и его современников,а так же на результаты своих собственных исследований, создал цельное учение о механическом  движении и взаимодействии тел, котороеполучило название классической механики. Классическая механика состоит из трёх частей: к и н е м а т и к а, д и н а м и к а, с т а т и к а.

Кинематика – раздел механики, в котором изучается движение тел без учета действующих на них сил.

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел под действием сил.

Статика - раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твёрдых тел.

Основными задачами кинематики являются:

а) Описание с помощью математических формул, графиков или таблиц совершаемых телом движений.

б) Определение кинематических величин, характеризующих это движение.

Для описания движения в кинематике вводятся специальные понятия (материальная точка, система отсчёта,траектория) и величины (путь,перемещение,скорость,ускорение), которые важны не только в кинематике, но и в других разделах физики.

Первое,что бросается в глаза при наблюдении окружающего мира,-это его изменчивость

-Какие изменения вы замечаете?(ночь меняет день, вода при охлаждении замерзает,падают капли,едет автомобиль...)

-Подведём итог: наиболее частые ответы связаны с изменением положения тел относительно друг друга.

Механическое движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Однако одно и то же тело одновременно может и двигаться и не двигаться, если наблюдать его относительно разных тел отсчёта.

Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривают движение других тел.

Пример: В купе вагона на столе лежит яблоко. Пассажир видит, что расстояние до яблока с течением времени сохраняется. Яблоко не совершает механического движения.Но с точки зрения провожающего,яблоко движется, так как расстояние от яблока до перронас течением времени растёт.

Из примеров следует: нет, и не может быть абсолютно твёрдых тел.

Даже самое простое движение тела оказывается сложным для изучения.Для того, чтобы облегчить исследования,вводят ряд упрощений.

Поступательное движение – движение тела, при котором все его точки движутся одинаковым образом, или движение тела, при котором прямая линия, соединяющая любые две его точки, остается параллельной самой себе.

Материальная точка – тело, размерами и формой  которого в данных условиях движения можно пренебречь.

-Как же определить положение тела(материальной точки)?

Для этого необходимо тело отсчёта.Если через него провести оси координат,то положение тела в пространстве можно задать его координатами. Но при движении тела его положение меняется с течением времени. Значит, нужен прибор для измерения временит (часы), связанные с телом отсчёта.

Все вместе: а) тело отсчёта, б) система координат, в) прибор для измерения времени,-образуют систему отсчёта.

Система отсчёта может быть: а)одномерной, б) двухмерной, в) трёхмерной.

Для описания механического движения необходимо ввести ещё одно понятие- траектория.

Траектория – линия в пространстве, описываемая материальной точкой при её движении. В зависимости от траектории движения могут быть прямолинейными и криволинейными.

Прямолинейное и криволинейное движение – движение точки, при котором траекторией является прямая или кривая линия соответственно.Путь – длина участка траектории, пройденного точкой в течение рассматриваемого отрезка времени.

С изменением координат связана первая из величин, вводимых для описания движения,- перемещение.

Перемещение – направленный отрезок прямой (вектор), соединяющий начальное и конечное положение точки. Перемещение - величина векторная.

Векторная величина – величина, имеющая кроме численного значения (модуля) еще и направление (перемещение, ускорение, скорость, импульс, сила и т. д.).

Скалярная величина – величина, имеющая только численное значение (путь, время, объем, плотность, энергия и т. д.).

Модуль перемещения и путь могут совпадать по значению только в том случае,если тело движется вдоль прямой в одном направлении.

Проекция вектора на ось.

Проекцию считают положительной,если от проекции начала вектора к проекции его конца нужно идти по направлению оси.

 В противном случае проекция вектора отрицательна.

Если вектор перпендикулчрен оси,то при любом направлении вектора его проекция на ось равна нулю.

К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы

1. Что изучает механика? Какие три раздела включает она в себя?

2. Что называют механическим движением тела? Приведите примеры.

3. Дайте определение кинематики, динамики и статики.

4. Какое тело называют телом отсчета? Приведите примеры тел отсчета. Сколько может быть тел отсчета при описании движения тела?

5. Дайте два определения поступательного движения тела, Приведите примеры поступательного движения тел.

6. Какое тело называют материальной точкой? Приведите примеры движения тела, при котором его можно принять за материальную точку.

7. Дайте определение траектории. Какие два вида траекторий описывают механическое движение тел? Приведите примеры траекторий движения некоторых тел.

8. Что такое путь? Чем он отличается от траектории?

9. Дайте определение системы отсчета. Опишите движение какого-либо тела в выбранной Вами системе отсчета.

10. Что называют перемещением? Изобразите на пояснительном рисунке прямолинейную или криволинейную траекторию движения какой-либо материальной точки и вектор ее перемещения за некоторый отрезок времени.

11. Чем отличаются путь и перемещение? Могут ли совпасть модуль вектора перемещения точки и пройденный ею путь? В каком случае? Приведите примеры.

12. Какие величины называются векторными? По каким правилам складываются (вычитаются) векторы? Изобразите на пояснительном рисунке несколько примеров сложения (вычитания) векторов.

13. Какие величины называются скалярными? Приведите примеры скалярных величин.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

1. Вагон движется в одном направлении по прямолинейному участку железнодорожного полотна. Можно ли назвать движение вагона поступательным? Почему? Сравните путь и перемещение вагона за некоторый отрезок времени. Сравните путь и перемещение в случае, если вагон, двигаясь по этому же полотну, вернется в точку, из которой он начал движение.

Решение. Движение вагона можно назвать поступательным, так как прямая, проведенная через любые две точки движущегося вагона, остаётся параллельной самой себе. Модуль перемещения вагона за некоторый отрезок времени и пройденный им за это же время путь одинаковы, так как траектория движения вагона – прямая линия (этот вывод справедлив только при условии неизменного направления движения вагона). В случае возвращения вагона в исходную точку его перемещение принимает нулевое значение, а путь становится равным удвоенному значению расстояния, пройденного вагоном до точки изменения направления движения.

2. Материальная точка движется с неизменной скоростью по окружности радиуса R. Сравните путь и перемещение точки за четверть, половину и три четверти её оборота.

Решение. Величина пути , пройденного точкой за четверть оборота, равна длине дуги АВ (рис. 1).

.

Модуль перемещения точки  равен длине гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ОАВ.

Тогда

.

Путь , пройденный точкой за половину оборота, равен длине дуги АВС.

.

Модуль перемещения точки  равен диаметру окружности (отрезок АС): .

Тогда

.

Путь , пройденный точкой за три четверти оборота, равен длине дуги АВСD.

.

Модуль перемещения точки  равен длине гипотенузы АD прямоугольного треугольника ОАD.

.

Тогда

.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

3. Тело переместилось из точки А с координатами х1 = 4 м, у1 = 2 м в точку В с координатами х2 = 6 м, у2 = – 2 м. Сделать пояснительный рисунок, найти величину (модуль) перемещения тела и проекции вектора перемещения на оси координат.

Решение. Изобразим декартову прямоугольную систему координат хоу и отметим на ней точки А и В (рис. 2).

Нарисуем вектор перемещения тела. Для этого соединим отрезком прямой точки А и В. Стрелку поставим у точки В, так как это – конечное положение тела.

Найдем проекцию перемещения тела на оси х и у:

;

.

Определим модуль вектора перемещения тела:

.

4. Группа туристов, выйдя из лагеря, прошла 3 км в направлении на северо-восток. Затем туристы стали двигаться в направлении на восток и прошли еще 2 км. Последний отрезок пути длиной 4 км они двигались в северном направлении. Сделать пояснительный рисунок, на котором указать результирующее перемещение группы туристов. Вычислить модуль результирующего перемещения и его направление (т. е. угол между вектором перемещения и направлением на север). Чему равен пройденный туристами путь?

Решение. Сделаем пояснительный рисунок (рис. 3). При этом учтем, что направление на северо-восток составляет угол 45 с направлением на север и такой же угол с направлением на восток.

Воспользуемся соотношениями, известными из курса математики:

,

где  – проекции перемещения группы на ось х на первом, втором и третьем участке движения соответственно.

,

где  – проекции перемещения группы на ось у на первом, втором и третьем участке соответственно.

;  

;  

;  

Тогда

;

Используем численные значения модулей векторов перемещений:

;  

Тогда

 – модуль результирующего перемещения.

Вычислим угол .

;    – направление результирующего перемещения.

Вычислим путь, пройденный туристами:

.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

5. Определить модуль перемещения тела и пройденный им путь в следующих случаях:

а) пловец переплыл бассейн длиной 50 метров по прямой водной дорожке туда и обратно;

б) мяч поднялся вверх на высоту 5 метров а потом спустился вниз на 2 метра;

в) пешеход, двигаясь по прямым улицам, прошел 3 квартала на запад, а потом 4 квартала на юг;

г) лифт прошел при спуске с некоторой высоты 15 метров, а потом поднялся на 20 метров;

О т в е т: а) 0, 100 м; б) 3 м, 7 м; в) 5 кв., 7 кв.; г) 5 м, 35 м.

6. Тело преодолело подъем длиной 100 метров с углом наклона к горизонту 60° . Определить численные значения проекций перемещения тела на горизонтальную и вертикальную координатные оси.

О т в е т: 50 м, 86,6 м.

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ.

УСКОРЕНИЕ.

К р а т к и й   т е о р е т и ч е с к и й   м и н и м у

1. Неравномерное движение- движение с изменяющейся скоростью.

2. Прямолинейное равнопеременное (равноускоренное) движение – движение тела по прямой линии, при котором скорость материальной точки (тела) за любые одинаковые промежутки времени изменяется одинаково.

3.  Средняя скорость равнопеременного движения – отношение всего пути, пройденного точкой, ко всему времени движения ().

4.  Мгновенная скорость – скорость точки (тела) в данный момент времени или в данной точке траектории.

5.  Ускорение – векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости точки (тела) к отрезку времени, в течение которого это изменение произошло ().

      Единица ускорения в СИ – 1 м/с2.

6.  Условие увеличения модуля скорости,уменьшения модуля скорости.                    

7.  Кинематические уравнения равнопеременного прямолинейного движения (векторная и скалярная формы):

Векторная                                Скалярная      

К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы

1. Дайте определение прямолинейного равнопеременного (равноускоренного) движения.

2. Что понимают под средней скоростью равнопеременного (равноускоренного) движения?

3. Дайте определение мгновенной скорости точки (тела).

4. Дайте определение ускорения и напишите формулу для его расчета при равнопеременном (равноускоренном) движении. Какова единица ускорения в системе СИ?

5. Напишите кинематические уравнения равнопеременного (равноускоренного) движения точки (тела) в векторном и скалярном виде.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

19. Какую скорость разовьет автомобиль, который трогается с места и движется с ускорением 0,2 м/с2 в течение 6 с? Какой путь он при этом пройдет?

Решение. Воспользуемся кинематическими уравнениями равноускоренного движения:

.

В качестве тела отсчета выберем землю. Ось х направим в сторону движения автомобиля. Учтем, что в начальный момент времени автомобиль покоился, то есть .

Ноль координатной оси х совместим с точкой начала движения автомобиля.

Тогда , и кинематические уравнения движения автомобиля принимают следующий вид:

 – конечная скорость автомобиля (скорость автомобиля в момент времени t);

 – перемещение (путь) автомобиля.

Вычислим результаты:

.

.

20. Получить формулу, связывающую проекции на ось х перемещения , ускорения , начальной  и конечной  скорости равноускоренно движущейся точки (тела).

Решение.

Тогда

.

21. Тело, движущееся равноускоренно из состояния покоя, прошло за седьмую секунду путь . Какой путь пройдет тело за четвертую секунду?

Решение. Путь, пройденный телом за седьмую секунду, равен разности пути, пройденного за семь секунд, и пути, пройденного за шесть секунд:

Отсюда

 – ускорение тела.

Аналогично

 – путь, пройденный телом за четвертую секунду.

Подставим выражение для а в выражение для :

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

22. Машина, движущаяся равноускоренно из состояния покоя, за третью секунду движения проходит путь . Какой путь пройдет машина за первые пять секунд движения?

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи.

 – ускорение машины.

Тогда

 – путь, пройденный машиной за первые пять секунд движения.

23. Координата равноускоренно движущейся точки изменяется со временем по закону  (все величины измерены в системе СИ). Какова начальная координата точки? Каковы проекции на ось х начальной скорости и ускорения точки? Написать зависимость от времени проекции скорости точки на ось х.

Решение. Сравним приведенную в условии задачи зависимость  со стандартным кинематическим уравнением и получим значения .

= 3 м – начальная координата точки.

= 2 м/с – проекция начальной скорости точки на ось х (начальная скорость точки направлена вдоль оси х, т. к.  ).

= – 8 м/с2 – проекция ускорения точки на ось х (ускорение точки направлено против оси х, т. к.  ).

Зависимость    будет иметь вид

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

24. Автомобиль перед началом торможения движется со скоростью 90 км/час. Торможение должно произойти на пути 60 м. Считая движение автомобиля равнозамедленным, определить время его движения до остановки. С каким ускорением движется автомобиль?

Решение. Используем кинематическое уравнение

.

В момент остановки автомобиля его скорость становится равной нулю, т. е. .

Определим проекции векторов перемещения автомобиля  и его начальной скорости  на координатную ось х, направленную вдоль вектора : .

Тогда

,  где t – время торможения автомобиля.

Отсюда

с

= 90 км/час = 90 000 м/3600 с = 25 м/с – начальная скорость автомобиля.

Определим ускорение автомобиля.

.

Ускорение автомобиля направлено против координатной оси х (против направления движения автомобиля при торможении), т. к. .

25. Автобус проехал мимо населенного пункта со скоростью 43,2 км/час. Через 1 минуту вдогонку за ним из состояния покоя начинает движение с ускорением 4 м/с2 спортивная машина. Через какое время машина догонит автобус? На каком расстоянии от населенного пункта? Какую скорость будет иметь спортивная машина в момент обгона автобуса?

Решение. Будем считать телом отсчета землю. Координатную ось х направим в сторону движения обоих тел. Начало оси х совместим с населенным пунктом. Время будем отсчитывать от момента проезда автобуса мимо населенного пункта.

Запишем зависимости  для обоих тел:

 – для автобуса;

 – для спортивной машины.

В момент, когда машина поравняется с автобусом, координаты х обоих тел примут одинаковое значение, т. е. .

Отсюда

;  

Решим полученное приведенное квадратное уравнение:

.

Окончательно получим

 – время движения автобуса до момента обгона его машиной.

Подставим в полученное выражение численные значения ускорения      (а = 4 м/с2), скорости автобуса (= 43,2 км/час = 12 м/с) и отрезка времени  ( = 1 мин = 60 с).

Из двух корней квадратного уравнения выбираем корень = 82,2 с, т. к. время движения автобуса до встречи с машиной не может быть меньше отрезка времени .

Время движения спортивной машины до момента обгона автобуса составляет = 82,2 с – 60 с = 22,2 с.

Определим расстояние от населенного пункта до точки на дороге, в которой поравнялись спортивная машина и автобус.

Скорость спортивной машины в момент обгона автобуса составляет

.

26. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик с начальной скоростью 6 см/с. С каким ускорением движется шарик по доске, если при движении вверх он удаляется от начального положения на максимальное расстояние 18 см? Движение шарика считать прямолинейным равноускоренным. В какие моменты времени шарик побывает в точке, удаленной на расстояние 16 см от начального положения? Какой скоростью обладал шарик в этой точке при спуске? При подъеме?

Решение. Будем считать телом отсчета доску. Начало координатной оси х совместим с начальной точкой на доске, направление оси х – вдоль доски вверх. Отсчет времени будем вести с момента начала движения шарика по доске.

В этом случае справедливы выражения

.

Выразим значения ив выбранной системе отсчета:

 (ускорение шарика направлено против его движения, т. к. шарик при подъеме по доске тормозится).

Тогда

.

В точке максимального подъема скорость шарика становится равной нулю ().

Отсюда

 – модуль ускорения шарика.

Для определения моментов времени, в которые шарик будет на произвольном расстоянии х от начального положения, запишем зависимость  и решим квадратное уравнение относительно t.

с – момент времени, в который шарик будет находиться в точке с координатой х = 16 см при движении по доске вверх.

с – момент времени, в который шарик будет находиться в точке с координатой х = 16 см при движении по доске вниз      (t2 > t1).

Ответим на последний вопрос задачи.

см/с.

см/с.

Скорость шарика в точке с координатой х = 16 см в обоих случаях одинакова по модулю, но противоположна по направлению ().

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

27. В течение какого времени автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 2 м/с2, достигнет скорости 20 м/с? Какой путь пройдет автомобиль за время разгона?

О т в е т: 10 с; 100 м.

28. С каким ускорением должен тормозить автомобиль, чтобы на пути 100 м его скорость уменьшилась с 20 м/с до 5 м/с? За какое время произойдет уменьшение скорости автомобиля?

О т в е т: 1,875 м/с2; 8 с.

29. Тело, движущееся равноускоренно из состояния покоя, прошло за шестую секунду путь S. Какой путь пройдет тело за первые три секунды движения?

О т в е т: (9/11)S.

30. Координата равноускоренно движущейся точки изменяется со временем по закону х = 20 – 10t + 4t2 (все величины выражены в СИ). Какова начальная координата точки? Каковы проекции на ось х начальной скорости и ускорения точки? Написать зависимость от времени проекции скорости точки на ось х. Каково перемещение точки за 5 с ее движения?

О т в е т: 20 м; – 10 м/с; 8м/с2;   ; 50 м.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

31. Координаты двух автомобилей изменяются со временем по закону: x1 = 20 + 3t, х2 = 4t2. Определить начальную координату, проекции начальной скорости и ускорения каждого автомобиля на ось х. Через какое время после начала движения второй автомобиль догонит первый? На каком расстоянии от начала координатной оси? Написать зависимости  для каждого автомобиля.

О т в е т: 20 м, 0 м;  3 м/с, 0 м/с;  0 м/с2, 8м/с2;   2,64 с;   28 м;    м/с,  .

32. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 8 м от начального положения шарик побывал дважды: через 2 с и 8 с после начала движения. Считая движение шарика прямолинейным равноускоренным, определить: 1) начальную скорость шарика; 2) ускорение шарика; 3) максимальное расстояние, на которое шарик поднимется по доске; 4) скорость шарика в моменты времени 2 с и 8 с.

О т в е т: 5 м/с;  1 м/с2;  12,5 м;  3 м/с;  – 3 м/с.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ.

К р а т к и й   т е о р е т и ч е с к и й   м и н и м у м

1. Р а в н о м е р н о е   п р я м о л и н е й н о е   д в и ж е н и е.

                График координаты            График скорости

I                 I   (тело движется вдоль оси х)

II         (тело покоится)                          

III                II  (тело движется против оси х)

IV                                

V                

Перемещение точки (тела) за некоторый отрезок времени численно равно площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью t (площадь заштрихованной фигуры на рис 5). Этот вывод справедлив для любого вида движения точки (тела).

2. Р а в н о у с к о р е н н о е   д в и ж е н и е.

                     График скорости                      График ускорения

I                                     I    

II                

III                                     II  

IV          

V                

VI

К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы

1. Нарисуйте график зависимости  для равномерного прямолинейного движения в случае: а) , ;  б) , ;  в) , ;  г) , ;  д) , .

2. Нарисуйте график зависимости  для равномерного прямолинейного движения в случае: а) ;  б) .

3. Нарисуйте график зависимости  для прямолинейного равноускоренного движения в случае: а) , ; б) , ;  в) , ;  г) , ;  д) , ;  е) , .

4. Нарисуйте график зависимости  для прямолинейного равноускоренного движения в случае: а) ;  б) .

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

33. По графику зависимости координаты от времени, представленному на рисунке 8, определить проекцию скорости точки на ось х за отрезки времени 0 – 3 с, 3 с – 5 с, 5 с – 8 с. В каком направлении двигалась точка в течение указанных отрезков времени? Какова проекция перемещения точки на координатную ось х за отрезки времени 0 – 3 с, 3 с – 5 с, 5 с – 8 с и за все время движения? Каков пройденный точкой путь за время 0 с – 8 с? Какова средняя скорость точки за все время движения? Построить графики скорости точки и пути.

Решение. Рассмотрим движение точки за каждый отрезок времени отдельно.

1) 0 – 3 с.

Графиком зависимости  является отрезок прямой. Значит, точка двигалась равномерно прямолинейно. Для определения проекции скорости точки на ось х необходимо: а) взять на графике любые две точки, одна из которых соответствует более раннему моменту времени , другая – более позднему моменту ; б) определить (по графику) координаты  и  обеих выбранных точек; в) воспользоваться расчетной формулой: .

Выберем в качестве двух произвольных точек точки с координатами   (2 м; 0 с) и (8 м; 3 с).

Тогда

t1 = 0 c;   t2 = 3 c;   x1 = 2 м;   x2 = 8 м.

Точка двигалась равномерно прямолинейно со скоростью 2 м/с вдоль направления координатной оси .

Определим проекцию на ось х перемещения точки. Для этого воспользуемся формулой Sx = x2 – x1.

S1x = 8 м – 2 м = 6 м     (S1x > 0)

2) 3 с – 5 с.

Выберем две точки с координатами (8 м; 3 с) и (6 м; 5 с).

Точка двигалась равномерно прямолинейно со скоростью 1 м/с в направлении, противоположном координатной оси х ().

S2x = 6 м – 8 м = – 2 м     (S2x < 0)

3) 5 с – 8 с.

Выберем точки с координатами (6 м; 5 с) и (0 м; 8 с).

Точка двигалась равномерно прямолинейно со скоростью 2 м/с в направлении, противоположном оси х ().

S3x = 0 м – 6 м = – 6 м     (S3x < 0)

За все время движения проекция перемещения точки на ось х составляет Sx = S1x + S2x + S3x = 6 м – 2 м – 6 м = – 2 м     (Sx < 0).

Путь, пройденный точкой за первые три секунды движения, численно равен проекции ее перемещения: м, т. к. .

Путь, пройденный точкой за отрезок времени 3 с – 5 с, численно равен модулю ее перемещения: , т. к. .

Путь, пройденный точкой за отрезок времени 5 с – 8 с, численно равен модулю ее перемещения: , т. к. .

Путь, пройденный точкой за все время движения, равен сумме пути  и .

= 6 м + 2 м + 6 м = 14 м.

Вычислим среднюю скорость точки за отрезок времени 0 с – 8 с:

.

Нарисуем график скорости точки (рис. 9).

Заметим, что знак проекции скорости точки на координатную ось х можно определить по знаку тангенса угла наклона графика координаты к оси времени. Как известно из математики, тангенс острого угла положителен по знаку, тангенс тупого угла – отрицателен.

На рис. 8 угол  – острый, углы  и–тупые.  

Значит,

.

В отличие от графика координаты график пути, пройденного точкой при ее движении должен всегда составлять с осью времени острый угол (или угол, равный нулю, в случае покоя точки). Этот вывод есть следствие того факта, что при движении точки (вне зависимости от направления) путь всегда возрастает.

Поэтому для построения графика пути необходимо считать скорость точки равной , если , и –, если  (модуль проекции точки на координатную ось).

Тогда

 – зависимость пути от времени на первом временнóм интервале ().

 – зависимость пути от времени на втором временнóм интервале ().

 – зависимость пути от времени на третьем временнóм интервале ().

График пути примет следующий вид (рис. 10).

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

34. На рисунке 11 представлен график скорости точки. По графику определить: 1) проекцию скорости точки за отрезки времени 0 – 6 с, 6 с – 10 с, 10 с – 14 с; 2) проекцию перемещения точки на ось х за эти же отрезки времени; 3) путь, пройденный точкой за время 0 с – 14 с; 4) среднюю

скорость точки за время 0 с – 14 с. Построить график перемещения точки.

Решение.

1) Из графика скорости следует:

м/с     (0 с – 6 с)

          (6 с – 10 с)

м/с   (10 с – 14 с)

2)            (0 с – 6 с)

         (6 с – 10 с)

             (10 с – 14 с)

3)

    18 м + 0 +12 м = 30 м

4) ;   .

График проекции перемещения точки на ось х представлен на рисунке 12.

35. По графику, представленному на рисунке 13, определить: 1) проекции перемещения точки за отрезки времени 0 с – 4 с, 4 с – 8 с, 8 с – 10 с, 0 с – 10 с; 2) путь, пройденный точкой за эти отрезки времени; 3) модуль перемещения точки за время 0 с – 10 с; 4) среднюю путевую скорость точки за время 0 с – 10 с; 5) конечную координату точки при условии, что начальная координата была равна 2 м.

Решение.

1) Как было сформулировано в теоретическом минимуме, проекция перемещения тела (точки) на координатную ось х численно равна площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени.

Проекция перемещения точки на ось х за время 0 с – 4 с численно равна площади треугольника А0В, взятой с отрицательным знаком, так как значения проекции скорости точки в течение этого отрезка времени отрицательны по знаку.

.

Проекция перемещения точки на ось х за время 4 с – 8 с численно равна площади треугольника ВСК, взятой со знаком плюс, так как значения проекции скорости точки в течение этого отрезка времени положительны по знаку.

.

Проекция перемещения точки на ось х за время 8 с – 10 с численно равна площади прямоугольника KCDL, также взятой с положительным знаком.

.

Проекция перемещения точки на ось х за все время движения равна сумме проекций перемещений за отдельные отрезки времени: ;   .

2) Путь, пройденный точкой за некоторый отрезок времени, в течение которого направление скорости не менялось, численно равен модулю проекции перемещения точки на координатную ось.

6 м + 6 м + 6 м = 18 м – весь путь, пройденный точкой в течение отрезка времени 0 – 10 с.

3) Модуль перемещения точки за время 0 с – 10 с равен

.

4) Определим среднюю путевую скорость точки за время 0 с – 10 с. Для этого весь путь, пройденный точкой за 10 с, разделим на время движения:

.

5) Конечную координату точки найдем из соотношения:

;   2 м + 6 м = 8 м.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

36. По графику, представленному на рисунке 14, определить: 1) проекцию скорости точки на ось х за отрезки времени 0 с – 8 с, 8 с – 14 с; 2) проекцию перемещения точки за отрезки времени 0 с – 8 с, 8 с – 14 с, 0 с – 14 с; 3) путь, пройденный точкой за время 0 с – 14 с; 4) среднюю путевую скорость точки. Построить графики скорости точки и пути.

О т в е т: 0,5 м/с,  (4/3) м/с; 4 м,  8 м,  12 м;  12 м;  (6/7) м/с.

37. По графику, представленному на рисунке15, определить: 1) проекцию скорости точки на ось х за отрезки времени 0 с – 4 с, 4 с – 16 с; 2) проекцию перемещения точки за отрезки времени 0 с – 4 с, 4 с – 16 с, 0 с – 16 с; 3) путь, пройденный точкой за время 0 с – 16 с; 4) среднюю путевую скорость точки. Построить графики скорости точки и пути.

О т в е т: 1) – 2,5 м/с,  – 0,5 м/с; 2) – 10 м,  – 6 м,  – 16 м;   3) 16 м;         4) 1 м/с.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

38. По графику скорости, представленному на рисунке 16, определить: 1) проекцию скорости точки на ось х в моменты времени 0 с, 3 с, 5 с, 9 с; 2) в каком направлении двигалась точка в течение отрезка времени 0 с – 3 с, 3 с – 5 с, 5 с – 9 с? 3) проекцию перемещения точки на ось х за время 0 с – 3 с, 3 с – 5 с, 5 с – 9 с, 0 с – 9 с; 4) путь, пройденный точкой за 9 с движения; 5) среднюю путевую скорость точки; 6) конечную координату точки, если начальная координата была равна – 5 м.

О т в е т: 1) – 6 м/с,  0,  – 6 м/с,  – 6 м/с;  2) против оси х, против оси х, против оси х;  3) – 9 м,  – 6 м,  – 24 м,  – 39 м;   5)  4,3 м/с;   6) – 44 м.

39. По графику скорости, представленному на рисунке 17, определить: 1) проекцию скорости точки на ось х в моменты времени 0 с, 4 с, 6 с, 8 с, 12 с; 2) в каком направлении двигалась точка в течение отрезка времени 0 с – 4 с, 4 с – 6 с, 6 с – 10 с, 10 с – 12 с, 12 с – 14 с? 3) проекцию перемещения точки на ось х за время 0 с – 6 с, 6 с – 10 с, 10 с – 14 с, 0 с – 14 с; 4) путь, пройденный точкой за 14 с; 5) среднюю путевую скорость точки; 6) конечную координату, если начальная координата была равна 20 м.

О т в е т: 1) 0, 6 м/с,  0,  0,  – 6 м/с;   2) по оси х,  по оси х,  покоилась,  против оси х,  против оси х; 3) 18 м,  0,  – 12 м,  6 м; 4) 30 м;  5)  2,1 м/с;  6) 26 м.

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТЕЛА ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ РАВНОУСКОРЕННОМ  ДВИЖЕНИИ  БЕЗ  НАЧАЛЬНОЙ  СКОРОСТИ.

          ЗАКОНОМЕРНОСТИ, ПРИСУЩИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОМУ РАВНОУСКОРЕННОМУ ДВИЖЕНИЮ БЕЗ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ.

1. Sх  = v0х t+ ахt2/2 ; если v0х = 0, то Sх = ахt2/2, а S = at2/2,  модуль вектора перемещения прямо пропорционален квадрату промежутка времени, в  течение которого это перемещение было совершено.
2. Если за время t1   S1 = at1 2/2, за время t2 = 2t1     S2 = 4a t1 2/2, за время t3 = 3 t1    S3 = 9a t1 2/2, отношение модулей перемещений равно отношению квадратов последовательных натуральных чисел:

S1 : S2 : S3  = 1 : 4 : 9 .

(Арабские цифры используются около символов величин, характеризующих движение от его начала.)

3. Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных нечётных чисел

SI : SII :  SIII : SIV = 1 : 3 : 5 :7 .

( Римские цифры указывают на то, что данная физическая величина не связана с началом движения. Например SIV – модуль перемещения, совершённого за четвёртую секунду, т.е. от конца третьей до конца четвёртой секунды движения.)

4. При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости модуль перемещения, совершённого телом за первую секунду, численно равен половине модуля ускорения.

S1 = at2/2, при t1 = 1c; t12 = 1c2;  S1 = a/2.

     Эти закономерности используются для доказательства равноускоренного характера движения.

5.  ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ.

К р а т к и й   т е о р е т и ч е с к и й   м и н и м у м

Относительность механического движения означает, что не существует абсолютное движение (абсолютный покой); любое движение (покой) материальной точки (тела) необходимо рассматривать лишь в данной системе отсчета, которая сама движется относительно других тел.

Относительно и положение тела: оно различно относительно разных систем отсчета.

Формула сложения перемещений в классической механике: перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной (геометрической) сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

, где – перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;  – перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;  – перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Формула сложения скоростей в классической механике: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной (геометрической) сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

, где  – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;  – скорость тела относительно подвижной системы отсчета;  – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы

1. Что понимают под системой отсчета?

2. Что понимают под относительностью механического движения?

3. Приведите примеры, когда тело в одной системе отсчета покоится, а в другой – движется.

4. Движутся ли относительно друг друга самолеты, выполняющие групповой полет? Относительно земли?

5. Прочтите и запишите формулу сложения перемещений.

6. Прочтите и запишите формулу сложения скоростей.

7. Приведите примеры, когда для вычисления модуля скорости тела относительно неподвижной системы отсчета необходимо модуль скорости тела относительно подвижной системы отсчета и модуль скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы складывать. Вычитать.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч  

40. Два эскалатора метро, расположенные параллельно в одном тоннеле, движутся с одинаковой по модулю скоростью 0,8 м/с в противоположные стороны: один вверх, другой вниз. С какой скоростью относительно спускающегося эскалатора и в каком направлении надо двигаться по нему человеку, чтобы быть неподвижным относительно пассажиров, стоящих на поднимающемся вверх эскалаторе?

Решение. Для того чтобы найти скорость первого тела относительно второго необходимо считать второе тело неподвижным, а к скорости первого тела векторно (геометрически) прибавить скорость второго тела, взятую в противоположном направлении.

Для нахождения скорости второго тела относительно первого необходимо считать первое тело неподвижным, а к скорости второго тела векторно (геометрически) прибавить скорость первого тела, взятую в противоположном направлении.

Запишем этот алгоритм нахождения скорости одного тела относительно другого в виде формулы:  – скорость второго тела относительно первого;  – скорость первого тела относительно второго.

Свяжем систему отсчета с поднимающимся вверх эскалатором. В этом случае пассажиры, стоящие на поднимающемся вверх эскалаторе (и сам эскалатор) становятся неподвижными, а пассажиры, стоящие на опускающемся вниз эскалаторе, движутся со скоростью, равной векторной сумме двух скоростей: 1) скорости опускающегося эскалатора относительно стен тоннеля метро и 2) взятой в противоположном направлении скорости поднимающегося эскалатора относительно стен тоннеля метро. , где  – скорость опускающегося эскалатора относительно стен метро (скорости эскалаторов равны по модулю и противоположны по направлению),  – скорость поднимающегося эскалатора относительно стен метро,  – скорость опускающегося эскалатора относительно поднимающегося вверх.

Тогда   .

Условие неподвижности человека на опускающемся эскалаторе относительно пассажиров, стоящих на поднимающемся эскалаторе, будет выглядеть в соответствии с формулой сложения скоростей следующим образом:   .

Отсюда   .

Человек должен бежать вверх по опускающемуся вниз эскалатору со скоростью, модуль которой равен удвоенному значению скорости движения эскалаторов относительно стен метро:

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

41. Одна моторная лодка движется по озеру со скоростью = 10 м/с, направленной под углом  к меридиану, другая – со скоростью    = 15 м/с на восток (рис. 18). Определить направление и численное значение скорости второй лодки относительно первой и первой относительно второй.

Решение. Изобразим вектор скорости первой лодки относительно второй (вектор на рис 19).

Этот вектор получен следующим образом: 1) к концу вектора  приложен своим началом вектор –; 2) из начала вектора  в конец вектора – проведен результирующий вектор , который и показывает скорость первой лодки относительно второй.

Вычислим модуль вектора . Для этого используем теорему косинусов в треугольнике, образованном векторами ,  и – (рис. 19).

м/с

 Изобразим вектор скорости второй лодки относительно первой (вектор  на рис. 20).

Для этого к концу вектора  приложим начало вектора – и проведем из начала вектора  в конец вектора – результирующий вектор  .

Вектор  равен вектору  по модулю и противоположен ему по направлению, т. е.  (сравни рис. 19 и 20).

42. Два поезда, движущиеся по параллельным железнодорожным путям, имеют скорости 57,6 км/час и 25 м/с. Длина первого поезда равна 400 м, второго – 500 м. Какова величина относительной скорости поездов в случаях, если поезда движутся в одном направлении и навстречу друг другу? За какое время один поезд пройдет мимо другого в первом и во втором случае?

Решение. Рассмотрим движение поездов с различной скоростью в одном направлении.

 – скорость первого поезда относительно второго (рис 21).

Вектор  направлен против вектора  и равен по модулю разности модулей векторов  и :

= 25 м/с – 16 м/с = 9 м/с.

Построим вектор скорости второго поезда относительно первого (вектор  на рис. 22).

.

Относительные скорости поездов одинаковы по модулю и противоположны по направлению (сравни рис 21 и 22):

= 9 м/с = 32,4 км/час.

Определим время, в течение которого второй поезд пройдет мимо первого при движении поездов в одном направлении.

Второй поезд проходит мимо первого с относительной скоростью   = 9 м/с.

Проход второго поезда мимо первого начинается, когда конец второго поезда находится от начала первого на расстоянии, равном сумме длин обоих поездов, а заканчивается, когда конец второго поезда поравняется с началом первого (рис. 23).

Свяжем систему отсчета с первым поездом. Начало координатной оси х совместим с концом второго поезда в момент начала обгона.

Любая точка второго поезда в данной системе отсчета движется равномерно прямолинейно со скоростью  (рис. 23).

Уравнение движения конца второго поезда имеет вид: .

В момент окончания обгона вторым поездом первого координата х принимает значение .

Отсюда = 100 с.

Рассмотрим движение поездов во встречных направлениях.

 – скорость первого поезда относительно второго (рис. 24).

 – скорость второго поезда относительно первого (рис. 25).

Как следует из рис. 24 и 25, модуль относительной скорости поездов равен сумме модулей скоростей поездов относительно земли:

 16 м/с + 25 м/с = 41 м/с.

Время прохода одного поезда мимо другого составит с.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

43. Катер курсирует по реке между двумя пристанями, расположенными на некотором расстоянии друг от друга. Время движения катера вниз по течению в k = 9/7 раза меньше времени, затраченного катером на движение вверх по реке. Каково отношение скорости катера относительно воды к скорости течения реки?

Решение. Пусть S расстояние между пристанями на реке. Скорость катера относительно берега при движении вниз по реке равна в соответствии с формулой сложения скоростей сумме скорости катера относительно воды и скорости воды относительно берега (скорости течения реки): , где  – скорость катера относительно воды, u – скорость течения реки.

Проведем с выражением для  математические преобразования:

, где  – искомое отношение скорости катера относительно воды к скорости течения.

При движении против течения скорость катера относительно берега равна, в соответствии с формулой сложения скоростей, разности скорости катера относительно воды и скорости течения реки:

.

 – время движения катера вверх по реке.

 – время движения катера вниз по реке.

Тогда

 – отношение времени движения катера вверх по реке ко времени его движения вниз по реке.

Отсюда

Окончательно получим

.

Скорость катера относительно воды в восемь раз больше скорости течения воды в реке.

44. Пловец переплывает реку шириной 150 м, двигаясь перпендикулярно течению со скоростью 1 м/с относительно воды. Скорость течения воды в реке 1,5 м/с. Определить: 1) скорость движения пловца относительно берега; 2) угол, который образует с берегом результирующая скорость пловца; 3) время, за которое пловец достигнет противоположного берега; 4) на сколько снесет пловца течением относительно точки, из которой он начал движение? 5) угол, который должен составить вектор скорости пловца относительно воды с вектором скорости течения, при котором снос пловца вдоль противоположного берега будет минимальным; 6) величину сноса в этом случае (см. условие 5).

Решение. 1) Свяжем одну систему отсчета (неподвижную) с берегом, другую (подвижную) с водой.

Скорость пловца относительно берега определим, используя формулу сложения скоростей: , где  – вектор результирующей скорости пловца относительно берега (относительно неподвижной системы отсчета);  – скорость пловца относительно воды (скорость тела относительно подвижной системы отсчета);  – скорость течения (скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной).

Векторный треугольник скоростей  представлен на рисунке 26.

Модуль вектора скорости пловца относительно берега найдем по теореме Пифагора:

;  

.

2) Угол, который вектор  составляет с линией берега, определим из прямоугольного векторного треугольника скоростей:

3) Время движения пловца от одного берега к другому легко определить в системе отсчета, связанной с водой (подвижной системе отсчета). В этой системе отсчета вода покоится, а пловец перемещается относительно нее со скоростью  перпендикулярно линии берега.

Тогда , где h – ширина реки.

t = 150 м / (1 м/с) = 150 с – время движения пловца от одного берега к другому.

4) Величина сноса пловца определяется временем движения пловца и скоростью течения реки:

 (рис. 26).

5) Построим в точке отправления пловца (т. А на рис. 27) векторный треугольник скоростей следующим образом: из конца вектора , изображенного в определенном масштабе, проведем окружность радиусом, равным длине вектора , отложенного в том же масштабе (рис. 27).

Снос пловца примет наименьшее значение в случае, если его скорость относительно воды  будет перпендикулярна вектору результирующей скорости  (рис. 27).

.

Отсюда .

При любом другом расположении векторов  и  смещение (снос) пловца возрастает (рис. 28).

6)  – минимальное значение сноса пловца (рис. 27).

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

45. Самолет движется относительно воздуха со скоростью км/час вдоль меридиана на север. Во время полета дует западный ветер со скоростью м/с. Какова скорость самолета относительно земли? Какой угол с меридианом составляет вектор результирующей скорости самолета?

Решение. В системе отсчета, связанной с землей (неподвижной системе отсчета) скорость самолета равна, в соответствии с формулой сложения скоростей, векторной (геометрической) сумме двух скоростей: скорости самолета относительно воздуха (скорости самолета относительно подвижной системы отсчета) и скорости ветра (скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета).

, где  – скорость самолета относительно земли,  – скорость самолета относительно воздуха,  – скорость ветра (рис. 29).

Определим модуль и направление скорости  самолета относительно земли (результирующей скорости).

Самолет летит относительно земли со скоростью 74,3 м/с под углом 20 к меридиану.

46. Самолету необходимо двигаться относительно земли строго в северном направлении со скоростью 250 км/час при наличии восточного ветра, скорость которого равна 26 м/с. Каковы модуль и направление скорости самолета относительно воздуха ?

Решение. Построим векторный треугольник скоростей и . Скорость самолета относительно воздуха  должна иметь составляющую, направленную к востоку, чтобы компенсировать скорость восточного ветра  (рис. 30).

Из векторного треугольника скоростей следуют математические соотношения:

Скорость самолета относительно воздуха  должна быть равна по модулю приблизительно 267 км/час и направлена под углом 20 к меридиану в восточном направлении.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

47. Два корабля движутся в море различными курсами. Скорость первого направлена на восток и равна по модулю м/с. Капитан первого корабля заметил, что относительно его корабля второй корабль движется на северо-запад со скоростью м/с. Определить направление и модуль скорости  второго корабля относительно воды.

Решение. Скорость второго корабля относительно первого равна  (см. решение зад. 40). Построим векторный треугольник скоростей  и  (рис. 31).

Направление на северо-запад составляет с направлением запад-восток угол 45 (рис. 31).

Модуль скорости второго корабля относительно воды  найдем по теореме косинусов из векторного треугольника скоростей:

Определим (по теореме синусов) угол  между векторами  и :

Используем формулу приведения  и вычислим по углу  направление вектора :

Скорость  второго корабля относительно воды равна по модулю 8,7 м/с и направлена под углом  к меридиану (направлению юг-север) в западном направлении.

48. Массивная плита, двигаясь со скоростью  по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно упруго сталкивается с шаром, движущимся со скоростью  навстречу плите (рис. 32). Какую скорость приобретет шар после удара относительно плиты и относительно горизонтальной поверхности? Массой шара по сравнению с массой плиты пренебречь.

Решение. Упругое взаимодействие плиты и шара удобно описывать в системе отсчета, связанной с плитой. В этой системе отсчета скорость налетающего шара равна по модулю  и направлена к плите (рис. 33). После упругого соударения шар отскочит от плиты с той же по модулю скоростью , но направленной теперь вдоль вектора  скорости движения плиты (рис. 34). Скорость шара после соударения с плитой относительно горизонтальной поверхности в проекциях на направление движения плиты найдем по формуле сложения скоростей:  (рис. 35). Считаем, что скорость массивной плиты после соударения с шаром не изменилась.

49. Решить предыдущую задачу при условии, что плита, двигающаяся со скоростью , догоняет шар, движущийся в том же направлении со скоростью  (рис. 36).

Решение. Проекция скорости шара относительно плиты на направление ее движения составляет  (рис. 37). Модуль этой скорости после упругого соударения останется неизменным, направление же изменится на противоположное; проекция относительной скорости шара на направление движения плиты станет равной  (рис. 38). По формуле сложения скоростей  – скорость шара относительно горизонтальной поверхности после соударения с плитой (рис. 39).

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

50. Две машины приближаются по прямолинейным дорогам к перекрестку. Скорость первой машины 60 км/час, второй – 80 км/час. Вычислить скорость одной машины относительно другой, если: 1) дороги взаимно перпендикулярны; 2) дороги расположены под углом 60 друг к другу.

О т в е т: 100 км/час;  72 км/час.

51. Катер проплывает по реке от одной пристани к другой вниз по течению за 6 часов, вверх по реке – за 12 часов. Во сколько раз скорость катера относительно воды больше скорости течения?

О т в е т: в 3 раза.

52. Пловец переплывает реку, двигаясь все время со скоростью 1 м/с перпендикулярно течению. При достижении противоположного берега снос составил 60 м. Какова ширина реки, если скорость течения равна 0,5 м/с?

О т в е т: 120 м.

53*. Моторная лодка, переплывая реку шириной 300 м, движется относительно воды под некоторым постоянным углом к линии берега и причаливает к противоположному берегу в точке, находящийся на расстоянии 150 м от места отплытия вверх по течению. Вычислить угол  между вектором скорости лодки относительно воды и линией берега, если эта скорость в 3 раза больше скорости течения реки. Во сколько раз скорость лодки относительно берега меньше ее скорости относительно воды?

О т в е т:

                .

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

54. Вертолет движется при северо-западном ветре. Какова должна быть скорость вертолета относительно воздуха по модулю и направлению, чтобы он двигался относительно земли строго на север и мог пролететь за 3 часа 300 км? Скорость ветра 90 км/час.

О т в е т:  176 км/час;   21 к меридиану в сторону запада.

55*. Скорость течения реки 0,50 м/с. По реке плывет квадратный плот со стороной 10 м. Человек проходит вдоль плота и обратно за 20 с. Найти модуль перемещения и путь человека в системе отсчета «Плот» и в системе отсчета «Берег».

О т в е т: 0;   20 м;   10 м;   20 м.

56*. Решить предыдущую задачу для случая, когда человек идет поперек плота туда и обратно.

О т в е т: 0;   20 м;   10 м;    22 м.

57. Массивная плита, двигаясь со скоростью  по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно упруго сталкивается с шаром, движущимся со скоростью  навстречу плите. Какую скорость относительно плиты и относительно поверхности приобретет шар после соударения? Массой шара по сравнению с массой плиты пренебречь.

О т в е т: .

58. Массивная плита, двигаясь со скоростью  по гладкой горизонтальной поверхности, догоняет шар, движущийся с некоторой скоростью в том же направлении. После упругого соударения с плитой шар движется относительно поверхности со скоростью . С какой скоростью относительно поверхности шар двигался до соударения с плитой?

О т в е т:

6. Равномерное движение по окружности.

Краткий теоретический минимум

Равномерное движение по окружности – движение материальной точки (тела) по окружности, при котором скорость остается неизменной по модулю.

Линейная скорость – скорость, с которой материальная точка (тело) движется по окружности.

Линейная скорость материальной точки (тела) направлена по касательной к траектории в каждой точке, т. е. перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному из центра окружности в эту точку.

Угловая скорость – физическая величина, равная отношению угла поворота радиуса, проведённого из центра окружности к движущейся материальной точке (телу), ко времени поворота.

Формула для расчета угловой скорости: , где  (омега) – угловая скорость;  (фи) – угол поворота радиуса; t – время поворота.

Единица угловой скорости: 1 рад/с.

Период обращения (Т) – время одного полного оборота материальной точки (тела).

Единица периода – 1 с.

Частота обращения (n) – физическая величина, равная числу полных оборотов, совершаемых материальной точкой (телом) в единицу времени.

Единица частоты: 1/с или с–1.

Связь между частотой и периодом: Т = 1/n;   n = 1/Т.

Связь между угловой скоростью и частотой: .

Связь между угловой скоростью и периодом: .

Связь между линейной и угловой скоростью: .

Связь между линейной скоростью и частотой: .

Связь между линейной скоростью и периодом: .

Нормальное (центростремительное) ускорение – направленное по радиусу окружности к её центру ускорение материальной точки (тела) при движении с неизменной скоростью.

Нормальное (центростремительное) ускорение изменяет скорость обращающейся по окружности материальной точки (тела) по направлению.

Формулы для расчета модуля центростремительного ускорения:

К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы

1. Как направлена линейная скорость в каждой точке криволинейной траектории? Сделайте пояснительный рисунок.

2. Дайте определение угловой скорости и напишите формулу для её расчета.

3. Какова единица угловой скорости?

4. Что называют периодом обращения материальной точки по окружности? частотой?

5. Каковы единицы периода обращения и частоты? Как взаимосвязаны период и частота обращения точки по окружности?

6. Напишите формулы, связывающие угловую скорость и частоту, угловую скорость и период.

7. Напишите формулы, связывающие линейную скорость и 1) угловую скорость, 2) частоту, 3) период.

8. Как направлено нормальное (центростремительное) ускорение в каждой точке траектории? Сделайте пояснительный рисунок.

9. Как изменяется линейная скорость обращающейся по окружности материальной точки (тела) при наличии у неё нормального (центростремительного) ускорения? Напишите формулы для расчета модуля нормального (центростремительного) ускорения.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

59. Точка обращается по окружности радиусом 25 см с частотой 5 с–1. Определить: 1) период её обращения; 2) угловую скорость; 3) линейную скорость; 4) нормальное (центростремительное) ускорение.

Решение. Воспользуемся формулами, приведенными в теоретическом минимуме:

1)    

2) ;

3) ;

4) .

60. На какой угол повернулся радиус колеса, если колесо сделало 10 оборотов? Какова угловая скорость, если поворот колеса был совершен за 5 с?

Решение. За один полный оборот колеса любой его радиус повернется на  радиан. За N оборотов угол поворота составит . Таким образом, за 10 оборотов колеса угол поворота радиуса будет равен .

Вычислим угловую скорость:

.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

61. Какова линейная скорость точки, обращающейся по окружности радиусом 30 см с частотой 15 с–1? Каков период обращения? С каким центростремительным ускорением движется точка?

Решение. Воспользуемся формулой, связывающей линейную скорость точки, частоту её обращения и радиус окружности:

.

Вычислим период обращения точки и центростремительное ускорение:

;

.

62. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 50 м, чтобы его центростремительное ускорение было равно 8 м/с2?

Решение.

 – искомая скорость автомобиля.

О б р а з ц ы   р е ш е н и я   з а д а ч

63. Сравните линейные скорости и центростремительные ускорения двух точек вращающегося диска, расположенных на расстояниях  и  от его центра (R – радиус диска).

Решение. Частота обращения и угловая скорость одинаковы для всех точек вращающегося диска.

Тогда

Линейная скорость и центростремительное ускорение второй точки в два раза больше.

64. Во сколько раз изменится центростремительное ускорение точки при увеличении в 4 раза частоты ее обращения, если радиус окружности остается неизменным?

Решение. Воспользуемся формулой, связывающей центростремительное ускорение и частоту обращения точки по окружности: .

Тогда

;

 – по условию;   .

Центростремительное ускорение увеличится в 16 раз.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

65. Чему равна угловая скорость обращающейся по окружности точки, если радиус, соединяющий ее с центром окружности, повернулся за 10 мин на 360? Ответ выразить в град/с и рад/с.

О т в е т: 0,6 град/с;   0,01 рад/с.

66. За какое время обращающаяся по окружности точка пройдет половину окружности при угловой скорости  рад/с?

О т в е т: 2 с.

67. Как изменится линейная скорость точки при увеличении частоты ее обращения в 5 раз и уменьшении радиуса окружности в 4 раза?

О т в е т: увеличится в 1,25 раза.

К о н т р о л ь н ы е   з а д а н и я

68. Как изменится центростремительное ускорение обращающейся по окружности точки при увеличении частоты обращения в 3 раза и уменьшении радиуса окружности в 2 раза?

О т в е т: увеличится в 4,5 раза.

69. Каков период обращения точки по окружности радиусом 2 м, если центростремительное ускорение точки составляет 0,5 м/с2. С какой линейной скоростью движется точка?

О т в е т: с  12,6 с;   1 м/с.

70. Как отличаются угловые скорости двух точек, если радиус окружности, по которой обращается вторая точка, в 3 раза больше радиуса окружности, по которой обращается первая точка, а центростремительное ускорение второй точки в 6 раз меньше центростремительного ускорения первой точки?

О т в е т: .

Решение задач по теме : «Кинематика точки»

1. С каким ускорением движется автомобиль по кольцевой трассе, имеющей вид окружности радиусом 100 м, если скорость автомобиля

72 км/ч? Во сколько раз это ускорение меньше ускорения свободного падения?

2. Во сколько раз скорость конца минутной стрелки башенных часов больше скорости конца минутной стрелки наручных часов, если длина стрелки башенных часов 1,5 м, а длина стрелки наручных часов 1,5 см?

3.  За какое время автомобиль, двигаясь с ускорением 0,2 м/с2 увеличивает скорость с 36 км/ч до

          54  км/ч ?

4. Автомобиль, подъезжая к уклону, имел скорость

 15 м/с и начал двигаться с ускорением 0,5 м/с2. Какую скорость приобретет автомобиль через

0,5 мин ? 

5.     Каков модуль ускорения автомобиля при

торможении, если при начальной скорости

72  км/ч  время торможения до полной остановки 10 с? Запишите формулу зависимости vx (t).

6.     Какой должна быть длина взлетной полосы, если известно, что самолет для взлета должен приобрести скорость 240 км/ч, а время разгона самолета равно примерно 30 с?

7.    Автомобиль, двигаясь с постоянным ускорением, прошел за 30 с расстояние 450 м и приобрел скорость 18  м/с. Какова была его начальная скорость?

8.        Уравнение движения тела имеет вид

           x = 5 + 2t  – 0,2t2. Определите x0, v0x и ax .

          Запишите уравнение скорости.