Дифференциальные уравнения
план-конспект по математике по теме

Дифференциальные уравнения

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук, часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную.

Рассмотрим задачи, приводящие к таким уравнениям.

Задача 1. Найти закон движения частицы массы m по вертикальной прямой под действием силы земного притяжения.

Решение. Примем за ось Ox вертикальную прямую, по которой

движется частица, причем начало отсчета O поместим на поверхности

 Земли, а положительное направление будем отсчитывать вверх.

Очевидно, при движении частицы ее положение в любой момент времени t

 будет известным, если будет известно выражение координаты x этой

частицы как функции времени t. 

Из физического смысла второй производной следует, что ускорение частицы равно .

С другой стороны, известно, что ускорение силы тяжести g в каждой точке земной поверхности и вблизи нее постоянно () и направлено по прямой к центру Земли. Следовательно, в нашей системе координат ему необходимо придать знак минус.

Приравнивая два известных значения для ускорения, получим уравнение

Таким образом, искомая функция x=f(t), определяющая положение частицы в любой момент времени t, удовлетворяет последнему уравнению.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 2 (о радиоактивном распаде). Опытным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радиоактивного вещества. Требуется найти зависимость количества радиоактивного вещества от времени t.

Решение. Обозначим через m - количество вещества в момент времени t. Очевидно, масса вещества есть функция времени: m = f(t) и, поэтому, скорость изменения количества вещества будет равна первой производной функции m по времени t: . Обозначив через k коэффициент пропорциональности, согласно условию задачи, будем иметь

(знак минус берется потому, что скорость распада является отрицательной величиной в смысле, что с течением времени количество вещества уменьшается).

В рассмотренных задачах искомые функции удовлетворяют таким уравнениям, которые, кроме самих этих функций, содержат и их производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Определение. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решение дифференциальных уравнений - задача, обратная дифференцированию. В самом деле, если задача дифференциального исчисления заключается в том, что по заданной функции найти ее производную, то обратная задача - задача интегрального исчисления, заключается в том, что по данной функции f(x) найти ее первообразную (неопределенный интеграл).

Определение. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Решить дифференциальное уравнение - значит найти все его решения.

Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Определение. Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции. Дополнительное условие такого типа называется начальным условием Коши. Задача нахождения решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение  .

Множество решений этого уравнения является неопределенным интегралом функции :

,

где F(x) - первообразная функции , c - произвольная постоянная.

Задание.

1. Решите дифференциальное уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

2. Найти решение задачи Коши

а)

б)

в)

г)

д)

е)