Электронные информационно-образовательные ресурсы как средство изучения математики
статья (7 класс)

Множества и операции над ними

Буровникова В. Ю. ГОУ СОШ № 321

 Центральный район Санкт-Петербург

Цель урока: научить различать и грамотно формулировать изучен ные теоретические понятия: множество, числовое множество, под множество; правильно пользоваться математической терминологией и символикой для совершения операций над множествами: пересе чение, объединение, разность; проводить несложные систематиза ции; приводить примеры различных множеств и подмножеств, пра вильно проводить логические рассуждения.

План урока:

1. Организационный момент;
2. Устные упражнения;
3. Теоретическая часть урока;
4. Практическая часть урока;
5. Домашнее задание.

Устные упражнения

По ходу выполнения устных упражнений необходимо:

6. вспомнить основные определения и понятия, данные на преды дущем уроке: множество; числовое множество; пустое множество; конечное множество; подмножество; круги Эйлера; пересечение, объединение и разность;
7. использовать математическую символику и где возможно запи сать математические высказывания с помощью знаков:

 { },Ø

1.Дано множество {11; 34; 60; 16; 90}. Принадлежит ли этому множеству число, которое получится при сложении 60 и 30, при вычитании 9 из 17, при делении 72 на 8, при вычитании И из 48, при умножении 20 на 3? [да; нет; нет; да; да].

2.По какому признаку составлено множество {зима, весна, лето, осень}, {11. 13, 15, 17, 19}? [времена года, [нечетные числа большие 10 и меньшие 20].

3.По какому признаку составлено множество {6,3,5,2,4}? [Множество чисел, больших 1 и меньших 7. Является ли это мно жество подмножеством натуральных чисел? [Да].

4.Назовите множество дней одной недели; множество месяцев одного года. Является ли множество дней одной недели подмно жеством множества дней одного месяца? [Да].

5.Даны следующие множества:

А - множество учеников данной школы;

В - множество учеников пятых классов данной школы;

С - множество учащихся всех школ данного города;

Д - множество учащихся пятых классов, посещающих кружковые занятия по математике;

Е - множество всех учащихся школ России.

[ Д  ВАСЕ].

Перечислить буквы, обозначающие множества, так, чтобы каждая буква (кроме последней) обозначала подмножество следующего множества.

6.Даны множества:

А - множество натуральных чисел;

В - множество четных чисел;

С - множество нечетных чисел;

Д - множество чисел, делящихся на 5;

Е - множество чисел, делящихся на 10.

[ВА, СА, ДА, ЕА, ДС, ЕВ, ДЕ].

Указать, какие из данных множеств являются подмножествами других данных множеств.

7.Назовите множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22.

[Ø]

8.Глава II. № 28; № 29 из пособия «Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса» Е.В.Смыкаловой.

9.Назовите элементы, которые получатся, если:

а)   АВ={3,4,5};

б)  АД={4,5,7}        

в)        ВС={9};

г)             ЕС= Ø;

д)         ВС={3,4,5,6,8,9,10};

е)        ЕС={9,10,11};

ж)        А\В={ 1,2,7};

з)        Д\А={8,11,12,13}.

Сколько элементов содержит:

и)        | А |=6;  

к) | С\В |=1.

Является ли множество Е подмножеством:

 л) EB;

м) ЕД.

Назовите дополнение множества Е до множества Д.

[ 3={4,5,7,8,12,13}].

Теоретическая часть урока

(Объяснение учителя).

Решим ЗАДАЧУ № 1.

«В пятых классах школы училось 70 человек. Им было предложено записаться в 3 кружка: по математике, литературе и истории. Староста подсчитал число учащихся, желающих участвовать во внеклассной работе, и получил такие результаты. В кружок по математике записалось 51 человек, по литературе - 40, по истории - 22. 6 человек решили заниматься во всех кружках, математикой и литературой решили заниматься 32 человека, одновременно заниматься математикой и историей решили 11 человек, а литера турой и историей 8 человек. Получив результаты, староста сказал: «Можно подумать, что у нас в 5-х классах обучается не 70 человек, а 170. Все хотят заниматься в кружках».

Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»

Введем обозначения:

В - множество всех учащихся;

М — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся мате матикой;

JI — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся лите ратурой;

И - множество учащихся (кружковцев), увлекающихся историей.

Из условия задачи следует, что все условия пересекаются.

Для составления схемы воспользуемся «кругами Эйлера».

Пересечение множеств М, JI и Д содержит 6 элементов (МЛИ|=6 это следует из условия задачи).

Пересечение множеств М и Л содержит 32 элемента (|MЛ|=32), но 6 элементов принадлежат множеству И (смотри рисунок).

Можно определить, сколько человек записать в кружки по мате матике и литературе (32-6=26 человек).

Пересечение множеств М и И содержит 11 элемента (|МИ|=11), но 6 элементов принадлежат множеству JI; следовательно в кружки по математике и истории записалось 11-6=5 человек.

ЛИ содержит 8 человек (|ЛИ|=8), но 6 элементов принадлежат множеству М, значит в кружки по литературе и истории записалось 8-6=2 человека.

Теперь легко определить сколько учащихся посещают только один кружок:

1. по математике - 51-(6+26+5)= 14 человек;
2. по литературе - 40-(6+26+2)=6 человек;
3. по истории - 22-(6+5+2)=9 человек;
4. всего записалось — 14+6+9+26+5+6+2=68 человек;
5. не записалось - 70-68=2 человека.

Решим ЗАДАЧУ № 2.

«В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием - 25, ходят на лыжах - 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом - 15, баскетболом и лыжами - 16, пла ванием и лыжами - 18. Один человек освобожден от занятий по физ культуре. Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта? Сколько человек занимается только в одной спортивной секции?».

Введем обозначения:

Л - множество лыжников;

Б - множество баскетболистов;

П - множество пловцов.

По условию задачи все три множества пересекаются. Число эле ментов пересечения трёх множеств обозначим через X.

Пересечение множеств Б и П (БП) содержит 15 человек (|БП| = 15), но X человек принадлежат множеству Л. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и плава нием: 15-Х (чел.).

Пересечение множеств JI и П (ЛП) содержит 18 человек (|ЛП|=18), но X человек принадлежат множеству Б. Можно определить, сколько человек занимаются лыжами и плаванием: 18-Х (чел.).

Пересечение множеств Б и JI (БЛ) содержит 16 человек (|БЛ|= 16), но X человек принадлежат множеству П. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и лыжами: 16-Х (чел.).

Теперь легко определить, сколько учащихся занимаются только баскетболом:

26-(16-Х+Х+15-Х)=26-(31 -X).

Сколько учащихся занимаются только плаванием:

25-(18-Х+Х+15-Х)=25-(33-Х).

Сколько учащихся занимаются только лыжами:

27-(16-Х+Х+18-Х)=27-(34-Х).

По условию задачи известно, что в классе 40 человек и один чело век освобожден от занятий по физкультуре. Следовательно, можно составить уравнение:

25-(33-Х)+27-(34-Х)+26-(31 -Х)+15-X+l 8-Х+16-Х+Х+1 =40.

Отсюда, Х= 10, т. е. 10 человек одновременно занимаются баскет болом, плаванием и лыжами.

26-(31-10)=5 (чел.) занимаются только баскетболом.

3 (чел.) занимаются только лыжами.

25-(33-10)=2 (чел.) занимаются только плаванием.

Практическая часть

В классе решить ЗАДАЧУ №41

Отряд из 92 школьников собрался в поход.

47 человек взяли с собой бутерброды с колбасой;

38 – с сыром;

42 – с ветчиной;

28 – с колбасой и сыром;

31 – с колбасой и ветчиной;

25 – бутерброды всех трех сортов.

Некоторые взяли только по бутылке молока.

Сколько было таких, которые взяли только молоко?

1. |КСВ|=25; обозначим 25=|А|;т. к. |КС|=28, то |КС|\|А|=|28-25|=3;
2. т. к. |KB|=31, то |КВ|\|А|=|31-25|=6;
3. т. к. |СВ|=26,то |СВ|\|А|=|26-25|=1.

Из схемы Эйлера:

4. 47—(6+25+3)= 13 (чел.) - взяли бутерброды только с колбасой;
5. 38-(3+25+1)=9 (чел.) - только с сыром;
6. 42—(1 +25+6)= 10 (чел.) - только с ветчиной;
7. 92-(3+25+6+1 + 10+13+10+9)=25 (чел.).

Ответ: 25 человек взяли только молоко.

Домашнее задание Глава II. №33; 34; 37; 38.

ЗАДАЧА №33.

Задача № 33

Из 40 учащихся класса выписывают газету, 21 – журнал, 15 учащихся – и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?

1. 32-15=17 (чел.) - выписывают только газету.
2. 21-15=6 (чел.) - выписывают только журнал.
3. 40—(15+17+6)=2 (чел.).

Ответ: 2 человека не выписывают ни газеты, ни журнала.

Задача №34

В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

1. 35-10=25 (чел.) - посещают кружки.
2. Пусть X чел. посещают и биологический, и математический кружки, тогда 20-Х (чел.) - посещают математический кружок, а 11 -X (чел.) - посещают биологический кружок.

Известно, что всего в кружках занимаются 25 человек. Следо вательно, можно составить уравнение:

20-Х+11-Х+Х=25

Х=6

Ответ: 6 биологов увлекаются математикой.

ЗАДАЧА №37.

Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

Пусть X чел. владеют тремя языками, тогда (85-Х) чел. Владе ют только английским языком,(80-Х) чел. - только испанским, (75-Х) чел. - только немецким. По условию задачи известно, что среди 100 человек нет таких, которые знают только два иностранных языка, но все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Следовательно, можно составить уравнение:

85-Х+Х+80-Х+75-Х=100

Х=70.

Ответ: 70 человек знают три иностранных языка.

ЗАДАЧА №38.

Все участники поездки владеют по крайней мере одним иностранным языком.

6 из них владеют английским;

6 – немецким;

7 – французским;

4 – английским и немецким;

3 – немецким и французским;

2 – французским и английским;

1 – немецким, французским и английским.

Сколько участников поездки?

1. | АНФ|=1; обозначим 1=|В|;
2. т.к. |АН|=4, то |AH|\|B|=|4-11=3;
3. т.к. |НФ|=3, то |НФ|\|В|=|3-11=2;
4. т.к. |АФ|=2, то |АФ|\|В|=|2-1|=1.

Из схемы Эйлера:

5. 6-(3+1+2)=0 (чел.) - владеют только немецким;
6. 7-(2+1 + 1)=3 (чел.) - владеют только французским;
7. 6-(3+1 + 1)=1 (чел.) - владеют только английским;
8. 1+3+1 + 1+2+3=11 (чел.).

Ответ: 11 участников поездки.