Интегрированный урок "Золотое сечение в природе и искусстве"
план-конспект занятия по геометрии (8, 9 класс) по теме

Интегрированный урок  «Золотое сечение в природе и искусстве».

Цели урока:

1. Сформировать понятие «золотого сечения».
2. Рассказать об истории исследования «золотого сечения» учеными античного мира и средневековья.
3. Теоретическое обоснование золотого сечения (уравнение, приводящее к расчету «золотой пропорции»).
4. Построение многоугольников, обладающих свойствами «золотого» сечения.
5. Познакомить учащихся со свойствами «золотого» прямоугольника.
6. Подтверждение теории «золотого» сечения в природе.
7. Использование свойств золотого сечения в античном искусстве.
8. Пробуждение интереса учащихся к данной проблеме.
9. Формирование у учащихся исследовательских навыков.

Урок сопровождается презентацией. Используемые слайды:

Слайды 1-2. Изречение Иоганна Кеплера; Портрет Пифагора.

Слайд 3. Пентаграмма и способ ее построения.

Слайд 4. «Золотой» треугольник и его свойства.

Слайд 5.Свойства «золотого» прямоугольника. «Золотой» прямоугольник в античной архитектуре.

Слайд 6.Леонардо Пизанский (Фибоначчи).

Слайды 7-8. Ряд Фибоначчи; Малое и большое число Фидия.

Слайды 9-10. Золотое сечение в природе.

Слайд 11. Леонардо да Винчи.

Слайды 12-14. Пропорции человеческого лица и тела.

Слайды 15-17. Использование свойств «золотого» сечения в античном искусстве.

Раздаточный материал к уроку:

       Карточки с индивидуальными заданиями.

Демонстрационный материал к уроку:

       Спиралевидные раковины, морские звезды, сосновые шишки, ананас.

Повторение материала различных разделов математики:

Геометрия:

1. Теорема Пифагора.
2. Свойства равнобедренного треугольника.
3. Определение и свойства биссектрисы угла.
4. Теорема о сумме углов треугольника.
5. Задачи на построение.

Алгебра:

1. Понятие отношения.
2. Определение пропорции и ее основное свойство
3. Последовательность.
4. Рекуррентный способ задания последовательности.
5. Решение квадратных уравнений.

Ход урока:

Ученики работают в парах постоянного состава.

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – это теорема Пифагора, а

 другое – «Золотое сечение». И если первое

 можно сравнить с мерой золота, то второе

 больше напоминает драгоценный камень».

 Иоганн Кеплер. (Первый слайд).

Рассказ учителя:

Термин «золотое сечение» появился, благодаря знаменитому художнику Леонардо да Винчи, который много занимался изучением пропорций человеческого лица и тела. Однако понятие золотой или божественной пропорции были известны задолго до него. Первые упоминания о божественной пропорции были обнаружены во второй книге знаменитых «Начал» Эвклида. А если говорить о Пифагоре (второй слайд) и его знаменитой школе, то известно, что тайным знаком и символом пифагорейцев была пентаграмма или звездчатый пятиугольник (третий слайд). Чем же привлекателен для древних ученых и наших современников этот многоугольник. Ведь его изображение часто используется в гербах и флагах различных государств.

Ученики выполняют первое практическое задание.

Помимо пентаграммы древние ученые рассматривали также золотой треугольник и золотой прямоугольник. На четвертом слайде показан способ построения золотого треугольника, который обладает следующими свойствами:

- биссектриса угла при основании равна основанию треугольника и делит его на два равнобедренных треугольника.

Ученики выполняют второе практическое задание.

Используя стороны золотого треугольника можно построить золотой прямоугольник.

Ученики выполняют третье практическое задание.

 Золотой прямоугольник обладает необычным свойством: если от него отрезать квадрат со стороной равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник снова будет «золотым».  Издревле считалось, что форма золотого прямоугольника приятна для человеческого глаза. В форме золотого прямоугольника построены многие античные здания, наиболее известным из которых является  древнегреческий Парфенон (шестой слайд).

Глядя на золотой прямоугольник, человеческий глаз отдыхает. Именно поэтому, дизайнеры часто используют форму золотого прямоугольника. (Приводятся примеры: магнитные и банковские карты имеют форму золотого прямоугольника. Форматы книг, фотографий, размеры государственных флагов близки к форме золотого прямоугольника.) Раскрытый двойной лист ученической тетради также является золотым прямоугольником.

Ученики выполняют четвертое практическое задание.

С понятием божественной пропорции также тесно связано имя итальянского ученого Леонардо Пизанского, чаще известного под прозвищем Фибоначчи (шестой слайд). В 1202 году вышла в свет его «Книга об Абаке», одна из задач которой гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». При решении этой задачи была создана последовательность, известная под названием «Ряд Фибоначчи». Каждый член этой последовательности, начиная с третьего равен сумме двух предыдущих.

 Ученики выполняют пятое практическое задание.

 Ряд Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144…. (Седьмой слайд).

Примечательно также, что отношение двух соседних членов этого ряда приблизительно равно 1,61803…, а обратное отношение приблизительно равно 0,61803…. С этими числами мы сегодня уже встречались в процессе наших исследований. Эти числа называются большим и малым числом Фидия и обозначаются буквами Ф и φ. Числа Ф и φ связаны двумя соотношениями: Ф = φ + 1 и Ф *φ = 1 (восьмой слайд). Древние математики вывели две красивые формулы для вычисления числа Фидия:

             ___________                        

  Ф = 1 + √1 + √1+ √1  …; вторая  формула выглядит так Ф=1+ 1                                   .

                                                                                  1+ 1                . 

                                                                                       1+1         .

                                                                                           1+…

Ученики выполняют шестое практическое задание.

Возможно, что ряд Фибоначчи так и остался бы лишь решением необычной  задачи, если бы не множество интересных подтверждений этого ряда  в природных явлениях (девятый и десятый слайды).

В начале урока мы уже говорили о том, что Леонарда да Винчи (одиннадцатый слайд) интересовала «божественная пропорция» человеческого лица и тела (слайды 12, 13, 14).

В античной скульптуре строго соблюдалась «золотая» пропорция:

Одним из примеров может служить статуя Аполлона Бельведерского и статуя Афины Парфенос, которая являлась одним из чудес света (пятнадцатый слайд).

Знаменитая «Джоконда» Леонардо да Винчи также написана по законам «золотого» сечения (шестнадцатый слайд).

На этом наш урок закончен. Если эта тема Вас заинтересовала, то литература по теме «золотое сечение» есть в школьной библиотеке.

 Литература:

1. Энциклопедия «Аванта +», том «Математика»
2. А.В. Волошинов «Пифагор»
3. Дэн Браун «Код да Винчи».