Методы решения иррациональных неравенств.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА № 1 Г.О. ЕНАКИЕВО»

Учитель математики

 Фоменко Н.Г.

Методы решения иррациональных неравенств.

 Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, Правило : Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства 

равносильны на этом множестве,  преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство,  − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство  уже верным не является.

Как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида:            

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств: 

Пример 1

Решение:

Пример 2

Решение:

Неравенства вида 

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x  ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат:  Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически  ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство 

Решение:

Пример 4

Решение:

Неравенства вида 

ОДЗ данного неравенства:  Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

Заметим, что из неравенства  следует, что  то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему:  а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде  Следовательно, в ОДЗ

Эти  же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать вывод:

Знак разности  совпадает со знаком выражения 

Отсюда же получается ещё одно следствие:

 в ОДЗ: 

Пример 5

Решить неравенство: 

Перейдём к равносильной системе: 

Решая эту систему методом интервалов, получаем:

Ответ. 

Пример 6

Решить неравенство. 

Решение:

 ОДЗ неравенства: 

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует  и значит, 

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку  который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень  обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем: 

Учтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ. 

Неравенства вида 

ОДЗ данного неравенства:  Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство 

1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено 

2. Если g (x) ≥ 0, то выражение  может иметь любой знак, но выражение  всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число  не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству 

Таким образом, в ОДЗ 

Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности  совпадает со знаком разности  в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности. 

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решить неравенство: 

Решение:

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования :. 

Не случайно сделано последнее преобразование. Важно знать, чему конкретно равняется функция g (x) = 2x – 8. Часто ошибкой является считать, что g (x) = 2x + 8.

ОДЗ данного неравенства:  то есть  Перейдём к равносильной системе.

С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ. 

Вывод.

Иррациональными называются неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное неравенство сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств:

Литература:

1.Математика: алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубленный уровни /( Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др.)-М. : Просвещение, 2023.

2.Дорофеев Г., Потапов М., Розов Н. Математика для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 2002.