Урок алгебры в 8 классе.Тема: «Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения».
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок алгебры в 8 классе. Автор учебника Макарычев Ю.Н. Учитель Гончарова Е.Б.

Тема: «Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения».

Цели: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена,  вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать, проводить подготовку к ОГЭ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка д/з.

III. Подготовка к ОГЭ.

IV. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х2 – 17х + 4 = 0;                в)  – х2 = 0;

б) 2х – х2 + 1 = 0;                г) х2 + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х2 = 1,21;                        в) х2 = - ;

б) х2 = ;                        г) х2 = 0,0049.

3. Разложите на множители:

а) х2 – 4х + 4;                        в)  y2 + y + 1 ;

б) а2 + 6а + 9;                        г) 3х2 – 6х + 3.

V. Изучение нового материала.

Решите  уравнение:

а) (х + 2)2 = 16;                        г) (2х – 7)2 = - ;

б) (х – 3)2 = ;                                 д) (1 – 3х)2 = ;

в) (х + 1)2 = 4;                        е) (2х + 1)2 = 0.

Ознакомление с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х2 + 10х + 25 = 0;

х2 – 6х + 9 = 0;

х2 + х +  = 0.

После этого появляется возможность подвести учащихся к мысли о том, что  для  решения  квадратного  уравнения  нужно  привести  его  к виду (х + k)2 = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х2 – 6х – 7 = 0.

1-й  ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х – 7.

2-й  ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х – n)2 = х2 – 2 · х · п + n2, необходимо прибавить п2 и одновременно вычесть его:

х2 – 2 · 3х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й  ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)2 – 16.

4-й  ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)2 – 16 = 0;

(х – 3)2 = 16;

х – 3 = 4       или        х – 3 = –4;

х = 7             или        х = –1.

О т в е т: –1; 7.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

1. Решить уравнение.

2. а) х2 – 8х + 15 = 0;

       (х2 – 8х + 16) – 16 + 15 = 0;

       (х – 4)2 – 1 = 0;

       (х – 4)2 = 1;

О т в е т: 3; 5.

б) х2 – 5х – 6 = 0;

    (х2 – 2 · 2,5х + 6,25) – 6,25 – 6 = 0;

    (х – 2,5)2 – 12,25 = 0;

    (х – 2,5)2 = 12,25;

О т в е т: –1; 6.

в) х2 – 6х + 14 = 0;

    (х2 – 2 · 3х + 9) – 9 + 14 = 0;

    (х – 3)2 + 5 = 0;

    (х – 3)2 = –5.

Уравнение не имеет решений.

О т в е т: нет корней.

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание учащихся на  д в а   м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Указанные пункты позволяют предположить, что можно провести рассуждения о решении квадратного уравнения приёмом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.

Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на несколько шагов, записывая при этом на доске параллельно решение конкретного уравнения и уравнения общего вида.

Замечаем,  что  в  левой  части  уравнения  находится  квадрат  выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а2 > 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b2 – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b2 – 4ac («дискриминант» в переводе с латинского – различитель).

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы полезно записать памятку:

VI. Итог урока, рефлексия.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

– В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

– Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

Домашнее задание.

№1. Решить методом выделения квадрата двучлена:

1) 5х2 + 3х – 8 = 0;

2) х2 – 8х – 9 = 0.

№ 534 (б, г, д).

№ 653 (а).