Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ

АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Архангельской области

«Техникум судостроения и машиностроения»

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Конспект урока

Автор-составитель –

Звягина Светлана Павловна, преподаватель математики    

ГБПОУ АО «Техникум судостроения и машиностроения»

Северодвинск

2024

Данный конспект урока разработан для изучения алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Разработка может применяться при изучении курса алгебры и математического анализа для студентов 3 курса.  

Урок 31-32

Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке»

Цель урока: познакомить студентов с понятием наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; ввести алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; применять теоретический материал при решении задач.

Задачи урока:

- образовательная задача: познакомить с алгоритмом нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке; закрепление полученных знаний в процессе решения задач.

- воспитательная задача: повышать интерес к изучению математики; уважение к друг другу, к труду, развитие математического мышления, воспитание математической культуры.

- развивающая задача: создать условия для развития логического мышления, памяти, познавательного интереса учащихся; умения анализировать, способности делать выводы, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умения общаться.

Оборудование урока:

1. Ноутбук.
2. Мультимедийный проектор.
3. Интерактивная доска.
4. Раздаточный материал.

Методы обучения: репродуктивный метод; эвристическая беседа, частично поисковые методы.

Форма работы: Фронтальная, индивидуальная.

Применение образовательных технологий:

информационно-коммуникационные: использование интернет - ресурсов для подготовки к уроку; использование презентации с целью сделать общение со студентами интересным, увлекательным, эмоциональным, позволяющим увеличить темп урока, активизировать внимание студентов, повысить интерес к предмету;  

здоровьесберегающие: создание благоприятного психологического климата в группе; соблюдение организационно-педагогических условий проведения урока – чередование видов учебной деятельности, плотности проведения урока.

Структура урока:

1. Организационный этап, сообщение темы урока

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация опорных знаний

4.  Объяснение нового материала

5. Закрепление нового материала

6.  Домашнее задание

7. Подведение итогов урока

Ход урока.

1. Организационный этап.

Тема нашего урока “Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке”. Сегодня мы с вами научимся находить эти значения с помощью производной.

Сегодня каждый из вас получит оценку за работу на уроке: вы будете получать баллы за выполненные задания, а в конце урока переведёте баллы в оценку.

Эпиграфом к уроку я взяла слова математика 20 века Джорджа Пойа

(13 декабря 1887 - 7 сентября 1985)  (Окончил Будапештский университет (1912), в 1914-40 работал в Высшей технической школе в Цюрихе (с 1928 профессор). В 1940 переехал в США. Основные труды по теории чисел, функциональному анализу, математической статистике)

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения именно наибольшего и наименьшего значений функции. Это связано с тем, что в повседневной жизни приходится сталкиваться с тем, что надо определить наименьшие затраты на производство, наибольшую прибыль при сбыте продукции, определить оптимальную загрузку оборудования. И исходя из большой практической значимости, задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке включены в экзамен по математике.

2. Проверка домашнего задания.

а) На слайде изображены два графика функций y=f(x). Сейчас я зачитаю 11 утверждений, если вы согласны со мной, то в табличке пишите «да», если не согласны – «нет».

1. x1 – критическая точка
2. x1 – точка экстремума
3. x1 – точка максимума
4. x2 – критическая точка
5. x2 – точка экстремума
6. x2 – точка минимума
7. x3 – критическая точка
8. x3 – точка экстремума
9. x3 – точка минимума
10.  Всякая критическая точка является точкой экстремума.
11.  Всякая точка экстремума является критической точкой.

б) Найдите экстремумы функций. 

D = 16               -1; 3

Ответ: xmax = -1; xmin = 3

3. Актуализация опорных знаний.

а) Фронтальная работа

Сначала давайте вспомним основные понятия, которые мы с вами изучили на прошлом уроке.

1. Какие точки называются критическими точками функции? (Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, называются критическими точками) 
2.  Перед вами график функции, назовите точку максимума и точку минимума. Объясните ваш ответ.

(х1 – точка максимума, потому что функция принимает наибольшее значение из окрестности этой точки, а х2 – точка минимума, потому что функция принимает наименьшее значение из окрестности этой точки)

2) Как по-другому называются точки максимума и минимума? (точками экстремума)

3)Сформулируйте достаточное условие существования экстремума (В точке максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точке минимума с «-» на «+».)

4. Объяснение нового материала:

1.  Давайте рассмотрим графики функции (рисунки на слайде)  

Используя график функции, найдите x, при которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, найдите экстремумы функций.

Обратите внимание, что функция может принимать наибльшее и наименьшее значения, как на концах отрезка, так и в критических точках.

2. Ответьте на вопрос для следующего графика функции (рисункок на слайде)  

Найти х при которых    max y на [a; b] ;  max y на [c; b]

Для разных отрезков мы получили разные наибльшие значения!

3.  Давайте составим алгоритм нахождеения наибльшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Алгоритм нахождения наибольшего(наименьшего)

 значения функции на отрезке[a;b]

1. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. f(a) и f(b).

2. Найти критические точки.

3. Выяснить, принадлежат ли полученные критические точки данному отрезку.

4. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b).

5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Выполним задание.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции                                    
на отрезке  [-2 ; 0].

1. Найдём значения функции на концах отрезка: y(-2) = -1 y(0) = 1
2. Найдём производную и критические точки

                                                                 D = 9

Найдём значение функции в критической точке.  

3. Выберем наибольшее и наименьшее значение, запишем ответ.

Ответ:

5. Закрепление изученного материала.

В рабочей тетради выполнить задания из карточки. Затем проверим результаты выполнения с помощью контрольного листа.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

f(2) = 13          f(5) = 16                y′(x) = 8 – 2x          8 – 2x = 0     x = 4         f(4) = 17

Ответ:

f(1) = - 8          f(4) = 1               y′(x) = 6x – 12       6x – 12 = 0   x = 2         f(2) = - 11

Ответ:

f(-6) = 17          f(-3) = 20               y′(x) = - 8 – 2x      - 8 – 2x = 0   x = - 4         f(-4) = 21

Ответ:

f(4) = 33          f(5) = 116               y′(x) = 6x2 – 6x – 12       x2 – x – 2 = 0          D = 9

x1,2 = 2; - 1              2; - 1∉ [ 4 ; 5]

Ответ:  

f(- 1) = 12          f(2) = 3              y′(x) = 6x2 + 6x – 12       x2 + x – 2 = 0          D = 9

x1,2 = 1; - 2              - 2 ∉ [ - 1 ; 2]                   f(1) = -8

Ответ:

f(- 2) = -2          f(1) = 7              y′(x) = 6x2 + 6x       x2 + x  = 0   x1,2 = 0; -1  

 f(0) = 2        f(-1) = 3

Ответ:

f(- 1) = -14           f(4) = -19              y′(x) = 6x2 - 18x       x2 - 3x  = 0   x1,2 = 0; 3

 f(0) = -3        f(3) = -30

Ответ: 

Проверка результатов, подсчёт баллов, выставление оценок.

6. Домашнее задание: §52 (учебник), алгоритм знать.

7.  Подведение итогов урока.  Рефлексивно-оценочный этап.

Какова была цель урока? Выполнили ли мы её? Как мы её достигли?

8. Литература. 

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 384 с.
2. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. /Г. В. Дорофеев, Г. К. Муравин, Е. А. Седова. – 11-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 160 с.: ил.