Приёмы работы над текстовой задачей на уроках математики в основной школе
статья по алгебре

Приёмы работы над текстовой задачей на уроках математики

в основной школе

Oдной из приоритетных целей обучения школьников математике является формирование осознанного умения решать текстовые задачи. Это одна из наиболее сложных проблем, с которой сталкивается учитель при обучении детей математике. Моделирование в обучении математике служит тем методическим приемом, который формирует у учащихся математические понятия и прививает им навыки математических действий, организует мыслительную деятельность.

Что мы понимаем под моделированием текстовых задач?

Моделирование в широком смысле этого слова – это замена действий с обычными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами, а также их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т.п.

При графическом моделировании надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую ситуацию.

Прежде чем начинать работу по моделированию задач, рекомендуется проводить подготовительную работу, которая заключается в выполнении различных упражнений, позволяющих дать детям представление о символах и знаках используемых при моделировании. Каждая модель выступает как одна из форм отображения сущности задачи, помогающая детям выстроить логическую цепочку умозаключений приводящих к конечному результату.

При анализе данной задачи детям предлагается сразу несколько моделей, для того, чтобы познакомить с разными видами моделирования, во-первых. И, во- вторых, дети почти сразу определяют какая модель им «ближе». Причем делают это индивидуально, выбирая самый оптимальный вариант для себя, что дает положительный результат. При таком подходе развивается творческое мышление, активизируется мыслительная деятельность, нет закомплексованности, если вдруг предложенная модель не будет «принята» ребенком. И, что самое главное, такая работа при  решении даже сложных задач приводит к многообразию способов решения, причем дети делают это самостоятельно.

Использование приема моделирования простой задачи с помощью схемы снимает необходимость готовить ученика к решению составных задач как к чему- то новому. Он переносит свое умение на решения составной задачи.

Разница для него только в том, что данных стало больше и характер связей стал более разнообразным.

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Решить задачу – это значит раскрыть связи между данными, указанными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя эти общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения.

Четыре этапа решения задачи.

      Важнейшим этапом решения задачи является первый этап – восприятие задачи (анализ текста). Цель этапа – понять задачу, т.е. выделить все множества и отношения, величины и зависимости между ними, числовые данные, лексическое значение слов.

      Результатом выполнения этого этапа является понимание задачи. Не поймешь задачу – не решишь ее. Для того чтобы добиться понимания задачи, полезно воспользоваться разными приемами.

      Приемы выполнения анализа задачи:

• разбиение текста задачи на смысловые части;
• постановка специальных вопросов;
• построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель, выражение);
• определение вида задачи и выполнение соответствующей схемы – краткой записи.

        Второй этап – поиск плана решения. Цель этапа – соотнести вопрос с условием. Данный этап требует рассуждений, но если их осуществлять устно,  то многие дети, особенно «визуалы», не освоят умения искать план решения задачи. Нужны приемы графической фиксации подобных рассуждений.

Приемы выполнения этапа:

• рассуждения (от условия к вопросу; от вопроса к условию; по модели; по словесному заданию отношений);
• составление уравнения;

        Третий этап решения задачи – выполнение плана – наиболее существенный этап, особенно при арифметическом решении задачи. Цель этапа – выполнить операции в соответствующей математической области (арифметика, алгебра, геометрия, логика и др.) устно или письменно.

Приемы выполнения этапа:

• арифметические действия, оформленные выражением, по действиям (без пояснения, с пояснением, с вопросами);
• измерение, счет на модели;
• решение уравнений;
• логические операции;

        Четвертый этап – проверка выполненного решения. Цель этапа – убедиться в истинности выбранного плана и выполненных действий, после чего сформулировать ответ задачи.

           Примеры решения некоторых задач

       Задачи на проценты

При решении задач на проценты необходимо помнить, что:

 Процент − это сотая часть числа. Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01 этого числа, 23% составляют 0,23 этого числа и т.д. Поэтому, заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей числа, задачу на проценты сводят к задаче на части.

 Чтобы найти а % от числа В, нужно число В разделить на 100 и

умножить на а, т.е.        . Например, найти 45% от числа 56. Имеем

45 56

= 25,2,

100

т.е. число 25,2 составляет 45% от числа 56.

100

Если известно, что а % числа Х равно b, то число Х находится по

формуле Х =

. Эту формулу можно не запоминать, зная пропорцию:

a

Х        100% , откуда Х

b        a%        b

. Используя эту пропорцию, можно найти любое из

a

чисел Х, а, b при условии, что известны остальные.

 Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, нужно отношение этих

чисел умножить на 100%, т.е. a

b

100% .

N=a

Если величина а за некоторый промежуток времени (единицу времени) вырастет на p %, то через n единиц времени эта величина станет равной

. Но при этом предполагается, что по истечении каждой единицы

времени прирост за этот промежуток времени не присоединяется к а, так что за новый период времени прирост начисляется с первоначальной величины.

 Если величина а за единицу времени возрастает на р % и прирост

присоединяется к величине а (т.е. она становится равной а +

ар ), а за прирост за

100

новый период времени исчисляется с наращенной суммы, то по истечении n

единиц времени заданная величина станет равной N=a        −эта формула

называется формулой сложных процентов. В задачах на банковские расчѐты, как правило, считают, что речь идѐт о сложных процентах.

Пример 1. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 20 р., а окончательная − 11р.25к.?

Решение. Пусть цена снижалась каждый раз на х %. Это значит, что после

первого снижения цена товара стала меньше на

х        частей первоначальной

10

стоимости,        т.е. цена товара стала 20∙        р. После второго снижения цена

товара стала

1        х        частей стоимости после первого снижения, т.е. цена товара

100

стала 20∙

1        х        ∙

100

1        х        р.

100

Но по условию задачи после двух снижений товар стал стоить 11р.25к.

Значит,

= 11,25

10000

2 х        = 45

=11 1

4

5        500        4

х        80        45        0

125

125

5

х        35        0

5

х2 – 200х + 35∙125=0 х2 – 200х + 4375 =0

Решая уравнение, находим его корни:

х1 = 175 ,        х2 = 25.

Поскольку снизить цену товара на 175% нельзя, то условию задачи удовлетворяет х = 25.

Ответ: цену каждый раз снижали на 25%.

Пример 2. Свежие грибы содержат по массе 90 % воды, а сухие − 12%

воды.

Сколько получится сухих грибов из 22 килограммов свежих грибов?

Решение.        Пусть 22 кг грибов составляют 100% , х кг воды составляют

90%. Тогда 22 кг свежих грибов содержат воды х =

22 90

= 19,8 кг, значит, на

100

сухое вещество приходится 22 − 19,8 = 2,2 кг. Это же вещество составляет

100% − 12% = 88% в сухих грибах, составим пропорцию:

           2,2 ― 88%

                      х  —  100%,      найдём  х = = 2,5 кг

               Ответ: получится 2,5 кг сухих грибов.

Задачи на движение

Основными компонентами задач на движение являются: пройденный путь (S),скорость (V) и время (t). Зависимости между этими величинами выражаются формулами:

S = V ∙ t;        V =

S ;        t = S .

t        V

Указанные величины должны быть в одной системе единиц.

При решении задач на движение рекомендуется использовать следующие указания:

• Движение считается равномерным, если нет специальных оговорок.
• Скорость считается величиной положительной.
• Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считаются происходящими мгновенно.
• Если тела начинают двигаться одновременно, то в случае их встречи каждое из них с момента выхода до момента встречи затрачивает одинаковое время.
• Если тела выходят в разное время и одно догоняет другое, то до момента встречи больше времени затрачивает то из них, которое выходит раньше.
• Если одно тело, скорость которого х, догоняет другое, движущееся со скоростью у ( у < x ), то скорость сближения тел равна х − у. При этом, если в начале движения тела находились на расстоянии S друг от друга, то расстояние

между ними будет равно а через        единиц времени, а первое догонит второе

через        единиц времени.

• Если тела, находящиеся на расстоянии S друг  от друга,  движутся

навстречу друг другу со скоростями х и у, то скорость их сближения равна

х + у, а их встреча произойдѐт через        единиц времени.

• Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой у, то скорость движения тела по течению равна х + у, а

скорость против течения равна х − у.

• Если два тела, скорости которых х и у ( x > y ), движутся вниз по реке, скорость течения которой равна z, то скорость удаления первого тела от второго равна ( x + z ) − ( y + z ) = x − y. Если же эти тела движутся навстречу друг другу ( первое вниз, второе вверх по течению), то скорость сближения тел равна ( x + z ) + ( y − z ) = x + y.

Для лучшего понимания условий задачи полезно делать чертѐж.

Пример 1. Из пункта А в пункт В отправляются три велосипедиста. Первый из них едет со скоростью 10 км/ч. Второй отправляется через полчаса после первого и едет со скоростью 8 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, если известно, что он выезжает через полчаса после второго и что он догоняет первого через 4 ч после того, как он догонит второго?

Решение. Выразим время, которое потребуется третьему велосипедисту, чтобы догнать первого и второго велосипедистов.

Пусть скорость третьего велосипедиста равна х км/ч. Тогда, сокращая расстояние до первого велосипедиста по (х—10) километров в час, отставание, образовавшееся за 1 ч и, следовательно, равное 10 км, третий велосипедист

покроет за        ч.

Аналогично второго велосипедиста третий догонит за        ч.

(4 км — расстояние между третьим и вторым велосипедистами в момент старта третьего.) Таким образом, получаем следующее уравнение:

–        = 4.

Из этого уравнения находим Х1 = 12, х2 = 7,5. По смыслу задачи скорость третьего велосипедиста должна быть больше, чем скорости первого и второго велосипедистов, т. е. х > 10. Из найденных решений этому условию удовлетворяет только х = 12. Итак, скорость третьего велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Пример 2. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль, через час из А в В выехал легковой автомобиль. В пункт В машины прибыли одновременно. Если бы из пунктов А и В машины выехали одновременно навстречу друг другу, то встреча произошла бы через 1 ч 12 мин после их выезда. Найдѐм время, за которое проедет путь от  А до  В грузовик.

Решение. Пусть грузовик проезжает путь от А до В за х часов. Тогда легковой автомобиль проедет этот путь за (х-1) ч. Принимая путь АВ равным у км, найдём, что скорость грузового автомобиля равна км/ч, а легкового км/ч.        

Так        как        при        движении        навстречу        автомобили        сближаются        со        скоростью

нение:

6

5

км/ч, а весь путь они проезжают за

= у.

6 ч, то получаем следующее урав-

5

В этом уравнении величины две. Однако после деления обеих частей уравнения на у        0 получим уравнение

6        1        1

5        х        х        1

=1,

содержащее уже только искомую величину х. Решая это уравнение, находим х1=3, х2=0,4.

По смыслу задачи x > 1. Более того, ясно, что грузовик проедет путь АВ за

время большее чем

6 ч, т.е. x >

5

6 . Из найденных значений х, таким образом,

5

следует отобрать только х=3. В итоге приходим к выводу, что время, за которое грузовик проезжает путь от А до В, равно 3 ч.

Ответ: 3 ч.

Задачи на работу

Содержание таких задач обычно сводится к следующему: некоторую работу, объѐм которой часто не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно ( с постоянной для каждого производительностью).

Основными компонентами задач такого типа являются: объѐм работы, время работы, производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). При решении используются следующие допущения:

 Неизвестный объѐм работы, которую необходимо выполнить, обычно принимают за 1.

 Если Р − производительность, А − объѐм работы, t − время, требующееся для выполнения этой работы, то

P = A ,        t =

t

A ,        A = P ∙ t.

P

Если        Р1        −        производительность        одного        работающего,        Р2        −

производительность другого, то время их совместной работы равно

− объѐм выполняемой ими работы.

, где А

Пример 1. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трѐх тракторов?

Решение. Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за единицу. Пусть х ч — время, необходимое для вспашки поля первому

трактору,        у        ч        —        второму        и        z        ч        —        третьему        трактору.        Тогда        1        –

х

производительность первого трактора,

1 – второго и

у

1 – третьего. По условию

z

задачи z – х = 2 и х – у = 1. Далее, так как при совместной работе первого и

второго        тракторов        выполняется        часть        работы        в        час,        а        вся        работа

выполняется ими за 1 ч 12 мин, т. е. за

6 ч, то 6

5        5

=1.

Решив эту систему, получим (3; 2; 5), (–0,4; – 0,6; 2,4). По смыслу задачи

х > 1, у > 0 и z > 2. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение.

Теперь ответим на вопрос задачи. При совместной работе трѐх тракторов

производительность труда составит 1        1

3        2

1 , т.е.

5

31 . Значит, время на вспашку

30

поля тремя тракторами составляет

31 ч.

30

Ответ:ч.

Задачи на смеси

Для        решения        задач        на        смеси        необходимо        знать        такие        понятия        как

«концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т.д.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С, массы

которых m1, m2, m3 соответственно, то величина

m1  называется концентрацией

m

вещества А в смеси,

m2    − концентрацией вещества В, а

m

m3        − концентрацией

m

вещества С в смеси. Концентрация − это количество вещества в единице общей

массы. Величина

m1 ∙ 100% называется процентным содержанием вещества А

m

в смеси,

m2   ∙100%  и

m

m3   ∙ 100%        − процентным  содержанием веществ В и С

m

соответственно. Ясно, что        m1 + m2 + m3 = 1, т. е. от концентрации двух веществ

m        m        m

зависит концентрация третьего.

Если k (0 < k < 1) − концентрация вещества А в смеси, масса которой равна m, то масса вещества А в этой смеси равна km.

При решении задач на смеси обычно прослеживают содержание какого- либо одного вещества из тех, которые смешиваются.

Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т. д. и основано на следующих допущениях:

1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.
2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание

какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т. д.).

Пример 1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение. Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олова в первоначальном сплаве и в полученном.

В 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нѐм было 55%, т. е. 12∙

55   кг

100

олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили х кг олова. Тогда получилось

(12 + х) кг нового сплава, в котором олова стало 60%, т. е.

Таким образом, получается следующее уравнение:

60(12        х)

100

кг.

12∙ 55 + х =

100

60(12

100

х) .

Решив это уравнение, найдем, что х =1,5. По смыслу задачи х > 0. Найденное значение х этому условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова.

Замечание. Наметим коротко составление уравнения, основанное на про- слеживании за содержанием в первоначальном и полученном сплавах меди, а не

олова. В первоначальном сплаве меди было 12∙

45 кг.

100

Добавили х кг олова (меди не  добавляли). Тогда получилось (12+х) кг

нового сплава, в котором меди 40%, т. е.

40(12

100

х) кг. Получаем уравнение

12∙

45 =

100

40(12

100

х) .

Ответ: 1,5 кг.

Пример 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение. Проследим за содержанием никеля в сплавах. Взяв для переплавки х т стали, содержащей 5% никеля, непосредственно никеля взяли при

этом х∙

5        т, а взяв для переплавки у т стали, содержащей 40% никеля, никеля

100

взяли при этом у∙

40 т.

100

                 Так как в полученных 140 т нового сплава никеля стало содержаться 30%,

            т.е. 140·т, то получаем следующее уравнение:

х∙ 5        + у∙ 40 = 140∙ 30 . Кроме того, х + у =140. Таким образом, приходим

100

100

100

к следующей системе уравнений:

5х        40 у

140

30,

х        у        140.

Из этой системы находим х = 40, у = 100. По смыслу задачи 0 < х < 140,

0 < у < 140. Найденные значения х и у этим условиям удовлетворяют.

 Итак, стали с 5%-ным содержанием никеля следует взять 40 т, а стали с

40%- ным содержанием никеля следует взять 100т.

           Ответ: 40 т и 100 т.

       Обучение решению задач – это процесс творческий, требующий продуктивной деятельности.

        Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают  взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических  задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества.

Литература

1. Талызина Н.Ф. Формирование общих приѐмов решения арифметических задач//Формирование приѐмов математического мышления - М.: ТОО «Вентана -Граф», 1995
2. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи - М.: Просвещение, 1984
3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах.: Книга для учителя. - М/.Галс плюс, 1998. - 168 с.
4. Шевкин А.В. Материалы курса "Текстовые задачи в школьном курсе математики": Лекции 1 - 4. М.: Педагогический университет "Первое сентября", 2006. - 88 с.
5. Открытые банки заданий ЕГЭ и ГИА по математике.