Этап урока и его задачи

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Формируемые УУД

1. Организационный момент- 2 мин.  

Проверка готовности к уроку.  

Установить настрой на урок.                                                

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Слушают учителя, настраиваются на работу.

Регулятивные, коммуникативные.

2. Мотивация учебной деятельности -3 мин.

Сформировать мотивацию к познанию новой темы.

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства».

Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, поэтому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Учащиеся записывают дату и тему занятия.

Регулятивные, коммуникативные.

3. Первичное усвоение новых знаний- 20 мин.

Объяснить новый материал.

1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функций». Например:

Производная функции f(х)=х9,мы знаем чтоf′(х)=9х8.Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производнаяf′(х)=6х5. Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х6.

Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной).

Определение 1: Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во  всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)

Пример 1: Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х5-5х является первообразной для функцииf(х)=5х4-5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х5-5х)′=( х5)′-(5х)′=5х4-5.

Пример 2: Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=неявляется первообразной для функцииf(х)=.

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием. Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например:

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для  функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой  G(x)=F(x)+C, где С действительное число.

таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF– первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

 - первообразная для f(kx+b).

Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2:  Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

   Из определения имеем:

Неопределенный интеграл функцииf(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций дляf(x).

В равенстве (1) функциюf(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если  = f(x), то
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

4.    Таблица простейших интегралов

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

Регулятивные (оценка), познавательные.

4. Первичное закрепление знаний- 10 мин.

Выявить качества и уровня усвоения знаний и способ действий. Устранить причины недостатков.

Решение типовых заданий на новый способ действий.

А теперь решим задания. Желающие выходят к доске и решают на оценку. Остальные решают или вместе с доской, или самостоятельно.

Слушают объяснение учителя и одноклассников, где непонятно задают вопросы.

Личностные, коммуникативные.

5. Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению- 3 мин.

Обеспечить учеников домашней работой.

Учитель сообщает домашнее задание:

Выучить конспект.

Решить задачи:№20.1(а,в), 20.3(а,в), 20.5(а,в).

Записывают домашнее задание.

Личностные, регулятивные.

2. 6. Рефлексия- 2 мин.      
3. Организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.                      

Какие понятия и примеры вызвали у вас больше всего вопросов?

Применяя знания по новому материалу, вы справились с данной задачей. Учитель сообщает  оценки за урок.

Участвуют в беседе по подведению итогов.

Коммуникативные.